选择题(每小题5分,共计60分。请把选择答案填在答题卡上) 1.以三棱锥各面重心为顶点,得到一个新三棱锥,它的表面积是原三棱锥表面积的 D 2.正六棱锥底面边长为a,体积为a3,则侧棱与底面所成的角等于 A D. 3.有棱长为6的正四面体S-ABC,A',B',C'分别在棱SA,SB,SC上,且SA'=2,SB'′=3, SC"=4,则截面ABC"将此正四面体分成的两部分体积之比为 4.长方体的全面积是11,十二条棱长的和是24,则它的一条对角线长是 A.2√3 B 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍,侧面展开图的圆心角为a,则角a的取值范围是 A.(0°909]B(180°270°]c(90,180 DΦ 6.正四棱台的上、下底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面 积的和,则其斜高与高分别为 5 B.2与 C.5与4 D.2与3 2 2 7.已知正四面体A-BCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体E-FGH 的表面积为T,则一等于 8.三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点O,点P到三个平面的距离比为1:2 3,PO=2√14,则P到这三个平面的距离分别是 A.1,2,3B.2,4,6 C.1,4,6 D.3,6,9 9.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球,这个大铁球的半径是 A 3cm B 6cm C. 8cm D. 12cm 9.如图,在细面体 ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方E 形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该 多面体的体积为 A√2/3B√3/3c4/3D3/2 10.如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的 内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别交于E、F,如果截面将四面 体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A一EFC的 表面积分别是S、S2,则必有 ASS2C.S1=S2D.S1与S2的大小关系不能确定
1 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的 A. 3 1 B. 4 1 C. 9 1 D. 16 1 2．正六棱锥底面边长为 a，体积为 3 2 3 a ，则侧棱与底面所成的角等于 A. 6 B. 4 C. 3 D. 12 5 3．有棱长为 6 的正四面体 S-ABC，A ,B ,C 分别在棱 SA，SB，SC 上，且 S A =2，S B =3， S C =4，则截面 ABC 将此正四面体分成的两部分体积之比为 A. 9 1 B. 8 1 C. 4 1 D. 3 1 4.长方体的全面积是 11，十二条棱长的和是 24，则它的一条对角线长是 A． 2 3 . B. 14 C. 5 D.6 5.圆锥的全面积是侧面积的 2 倍，侧面展开图的圆心角为 ，则角 的取值范围是 A． (0 ,90 B (180 ,270 C (90 ,180 D 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程 9 18 0 2 x − x + = 的两根，其侧面积等于两底面 积的和，则其斜高与高分别为 A． 2 5 与 2 B.2 与 2 3 C.5 与 4 D.2 与 3 7.已知正四面体 A-BCD 的表面积为 S，其四个面的中心分别为 E、F、G、H，设四面体 E-FGH 的表面积为 T，则 S T 等于 A． 9 1 B. 9 4 C. 4 1 D. 3 1 8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点 O，点 P 到三个平面的距离比为 1∶2∶ 3，PO=2 14 ，则 P 到这三个平面的距离分别是 A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9 9.把直径分别为 6cm,8cm,10cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是 A． 3cm B. 6cm C. 8cm D. 12cm 9. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方 形，且 ADE、BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该 多面体的体积为 A. 2 /3 B. 3 3 C. 4 3 D.3 2 10．如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的 内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别交于 E、F，如果截面将四面 体分成体积相等的两部分，设四棱锥 A－BEFD 与三棱锥 A－EFC 的 表面积分别是 S1、S2 ，则必有 A.S1S2 B. S1S2 C. S1=S2 D. S1与S2 的大小关系不能确定 D B A O C E F
11.三角形ABC中,AB=2√3,BC=4,∠ABC=120°,现将三角形ABC绕BC旋转一周, 所得简单组合体的体积为 A.4丌 B.3(4+3)zC.12x D.(4+√3)x 12.棱台的上、下底面面积分别为4和9,则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 2-3 填空题:请把答案填在题中横线上(每小题5分,共20分) 13.一个四面体的所有棱长都为√2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为 14.已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b, 那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是 15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6, BC=CC1=√2,P是BC上一动点,则CP+PA1的最小值是 16.圆柱的轴截面的对角线长为定值,为使圆柱侧面积最大,轴截面对角线与底面所成的 角为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共4个大题,共20分) 17.圆锥的底面半径为5cm,高为12cm,当它的内接圆柱的底面半径为何值时,圆锥的 内接圆柱全面积有最大值?最大值是多少? 18.如图,已知正三棱柱ABC一A1BC1的侧面对角线AB与侧面ACCA成45°角,AB=4,求 棱柱的侧面积 A组 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面 积与侧面积的比是() (A)1+2x(B (C)1+2 (D) 1+4丌 2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体, 则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是() (A) (B) (C) (D) 3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是6cm 和8cm,高是5cm,则这个直棱柱的全面积是 4.已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积 之比为1:2,则它们的高之比为 5.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为1cm,2cm,3cm,则 此棱锥的体积
2 11.三角形 ABC 中，AB= 2 3 ，BC=4，ABC =120 ，现将三角形 ABC 绕 BC 旋转一周， 所得简单组合体的体积为 A． 4 B. 3(4 + 3) C.12 D. (4 + 3) 12.棱台的上、下底面面积分别为 4 和 9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 A． 2 1 B. 3 1 C. 3 2 D. 4 3 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分）. 13. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 14.已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a ，最小值为 b ， 那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是 15.在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6， BC＝CC1＝ 2 ，P 是 BC1 上一动点，则 CP＋PA1 的最小值是 16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的 角为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 4 个大题，共 20 分）. 17.圆锥的底面半径为 5cm ，高为 12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的 内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少？ 18．如图，已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面对角线 A1B 与侧面 ACC1A1 成 45°角，AB=4，求 棱柱的侧面积. A 组 1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面 积与侧面积的比是（ ）. （A） 1 2 2 + （B） 1 4 4 + （C） 1 2 + （D） 1 4 2 + 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体， 则截去与 8 个顶点相关的 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）. （A） 3 2 （B） 4 3 （C） 5 4 （D） 6 5 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是 6cm 和 8cm，高是 5cm，则这个直棱柱的全面积是 。 4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积 之比为 1：2，则它们的高之比为 。 5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1cm，2cm，3cm，则 此棱锥的体积_______________
6.矩形两邻边的长为a、b,当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体 的体积之比为 7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的,经过这三 点的小圆周长为4x,则这个球的表面积为 B组 1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H,则四面体EFGH的表面 积与四面体ABCD的表面积的比值是 2.半径为R的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,另四个顶点在半 球的球面上,则该正方体的表面积是 3.如图,一个棱锥S-BCD的侧面积是O,在高SO上取一点A, 使SA=o,过点A作平行于底面的截面得一棱台,求这个棱 台的侧面积 4.如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是正方形,边长AB=,且PD=a, PA=PC=√2a,若在这个四棱锥内放一个球,求球的最大半径
3 6．矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体 的体积之比为 。 7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的1 6 ，经过这三 点的小圆周长为 4π，则这个球的表面积为 。 B 组 1．四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H，则四面体 EFGH 的表面 积与四面体 ABCD 的表面积的比值是 。 2．半径为 R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半 球的球面上，则该正方体的表面积是 。 3．如图，一个棱锥 S－BCD 的侧面积是 Q，在高 SO 上取一点 A， 使 SA= 3 1 SO，过点 A 作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱 台的侧面积. 4．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，边长 AB=a，且 PD=a， PA=PC= 2 a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径
题号12 101112 谷案 CB 叶 CDIAJABLB CCB 3 14.(a+b)r2z 15.√37+1 17.当r=30/7cm时,S的最大值是360 18.棱柱的侧面积为24√2 A组1.解:设展开图的正方形边长为a,圆柱的底面半径为r,则2x=a, 底面圆的面积是,于是全面积与侧面积的比是2 1+2丌 2正方体的体积为1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的 体积是×(1X11 322×2)x=1,8个三棱锥的体积是,剩余部分的体积是 3.底面菱形中,对角线长分别是6cm和8cm,所以底面边长是5cm,侧面面 积是4×5×5=100cm2,两个底面面积是48cm2,所以棱柱的全面积是148cm2 4.解:设圆柱的母线长为l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且 它们的侧面积之比为1:2,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是二和 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式=2x,得r= 所以它们的高的比是 22 √5 5.解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为lcm, 2cm的两条)确定的侧面看作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积 是1,高为3,则它的体积是×1×3=1cm3 6.解:矩形绕a边旋转,所得几何体的体积是V1=πba,矩形绕b边旋转,所 得几何体的体积是V2=xa2b,所以两个几何体的体积的比是 b2a b v2 Tab a 7解:小圆周长为4π,所以小圆的半径为2,又这三点A、B、C之间距离相等
4 13.3 . 14. 2 ( ) 2 a + b r . 15. 37 +1 16. 450 . 17.当 r=30/7cm 时，S 的最大值是 7 360 18.棱柱的侧面积为 24 2 A 组 1．解：设展开图的正方形边长为 a，圆柱的底面半径为 r，则 2πr=a， 2 a r = ，底面圆的面积是 2 4 a ，于是全面积与侧面积的比是 2 2 2 2 1 2 2 a a a + + = ，. 2 正方体的体积为 1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的 体积是 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 2 2 2 2 48 = ， 8 个三棱锥的体积是 6 1 ，剩余部分的体积是 6 5 ， 3．底面菱形中，对角线长分别是 6cm 和 8cm，所以底面边长是 5cm，侧面面 积是 4×5×5=100cm2，两个底面面积是 48cm2，所以棱柱的全面积是 148cm2 . 4．解：设圆柱的母线长为 l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且 它们的侧面积之比为 1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是 2 3 和 4 3 ， 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 2 r l = ，得 1 3 l r = ， 2 2 3 l r = ， 所以它们的高的比是 2 2 2 2 ( ) 3 2 2 2 5 ( ) 3 l l l l − = − . 5．解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为 1cm， 2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积 是 1，高为 3， 则它的体积是 3 1 ×1×3=1cm3 . 6．解：矩形绕 a 边旋转，所得几何体的体积是 V1=πb 2a，矩形绕 b 边旋转，所 得几何体的体积是 V2=πa 2b，所以两个几何体的体积的比是 2 1 2 2 V b a b V a b a = = . 7 解：小圆周长为 4π，所以小圆的半径为 2，又这三点 A、B、C 之间距离相等， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D A A B B A C C B
所以每两点间的距离是AB=BC=AC=2√3,又A、B之间的大圆劣弧长等于 大圆周长的,所以A、B在大圆中的圆心角是60° 所以大圆的半径R=2√3,于是球的表面积是47R2=48 B组解:如图,不难看出四面体EFGH与四面体ABCD是 相似的。所以关键是求出它们的相似比, 连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N 由于F、G分别是三角形的重心,所以M、N分别是BC CD的中点,且AF:AM=AG:AN=2:3, 所以FG:MN=2:3,又MN:BD=1:2, 所以FG:BD=1:3,即两个四面体的相似比是1:3 所以两个四面体的表面积的比是 解:如图,过正方体的对角面AC1作正方体和半球的面。 则OC1=R,CC1=a,OCs 2a所以a+(2)=R,得=R, 所以正方体的表面积是6a2=4R2 3.解:棱锥S-BCD的截面为BCD',过S作SF⊥B'C,垂足为F,延长SF 交BC于点E,连结AF和OE,平面BCD∥平面BCD,平 面BCD∩平面SOE=AF,平面BCD∩平面SOE=OE,∴ AF∥OE,于是 OES-sE=3,即=SE,同理可得 AF SA SF 1 B'C'=-BC,∴S, AsBD=→△sBD SACD,=SD,∴S棱锥S-BCD=Q,∵S棱台Q 4.解:设放入的球的半径为R,球心为S,当且仅当球与四棱锥的各个面都相 切时,球的半径最大, 连结SA、SB、S、SD、SP,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱 锥,这些小棱锥的高均为R,底面为原四棱锥的侧面或底面由体积关系,得 R PABCd=(SPAB+ SAPBC SApce Sapap + saBco) R R 又VP-ABCD=S正方形 IBCD PD=-a3, (2+√2)a2=a3
5 所以每两点间的距离是 AB=BC=AC=2 3 ，又 A、B 之间的大圆劣弧长等于 大圆周长的 6 1 ，所以 A、B 在大圆中的圆心角是 60°， 所以大圆的半径 R=2 3 ，于是球的表面积是 4πR 2=48π. B 组 解：如图，不难看出四面体 EFGH 与四面体 ABCD 是 相似的。所以关键是求出它们的相似比， 连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N， 由于 F、G 分别是三角形的重心，所以 M、N 分别是 BC、 CD 的中点，且 AF：AM=AG：AN=2：3， 所以 FG：MN=2：3，又 MN：BD=1：2， 所以 FG：BD=1：3，即两个四面体的相似比是 1：3， 所以两个四面体的表面积的比是 1：9. 2．解：如图，过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的面。 则 OC1=R，CC1=a，OC= 2 2 a 所以 2 2 2 2 ( ) 2 a a R + = ，得 a 2= 3 2 R 2， 所以正方体的表面积是 6a 2=4R 2 . 3．解：棱锥 S－BCD 的截面为 B’C’D’，过 S 作 SF⊥B’C’，垂足为 F，延长 SF 交 BC 于点 E，连结 AF 和 OE，∵ 平面 BCD//平面 B’C’D’，平 面 B’C’D’∩平面 SOE=AF，平面 BCD∩平面 SOE=OE，∴ AF//OE，于 是 1 3 AF SA SF OE SO SE = = = ，即 1 3 SF SE = ，同 理可得 1 ' ' 3 B C BC = ， ∴ ' ' 1 9 SB C SBC S S = ， ' ' 1 9 SB D SBD S S = ， ' ' 1 9 SC D SCD S S = ，∴ S 棱锥 S－B’C’D’= 9 1 Q，∴ S 棱台侧= 9 8 Q. 4．解：设放入的球的半径为 R，球心为 S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相 切时，球的半径最大， 连结 SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱 锥，这些小棱锥的高均为 R，底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系，得 ( ) 3 P ABCD PAB PBC PCD PAD ABCD R V S S S S S − = + + + + 2 2 1 1 2 2 2 2 2 ( ) 3 2 2 2 2 R = + + + + a a a a a 2 (2 2) 3 R = + a 又 VP－ABCD= 3 1 S 正方形 ABCD·PD= 3 1 a 3，∴ 2 3 1 (2 2) 3 3 R + = a a ， M N H F G E D C B A A1 C1 A O C
解得R2,故所放入的球的最大半径为2=5
6 解得 R= 2 2 2 a − ，故所放入的球的最大半径为 2 2 2 a −