空间几何体的表面积与体积专题 、选择题 1.棱长为2的正四面体的表面积是(C) A B.4 D.16 解析每个面的面积为:×2×2×3=.∴正四面体的表面积为:4 2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的(B A.2倍 B.22倍 C.√2倍 Dv2倍 4 解析由题意知球的半径扩大到原来的倍,则体积|=4π,知体积扩大到原来的2V倍 3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为(B) 142 280 140 B 3 c 解析根据三视图的知识及特点,可画出多面体 的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截去 个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积 正视图 侧视图 284 =V长方体一V正三棱锥=4×4×6 ×2×2×2 3 4.某几何体的三视图如下,则它的体积是(A) 俯视图 A.8 3B.8- C.8-2 D. 视图侧视图 解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半 俯视图 径为1,高为2的圆锥,所以=2-××2=8 2 5.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆的半径为1,则该几何 正视图 体的体积为(A)A.24-。B.24 24 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱,其中长方体的棱长分视图 别为:2,3,4,半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积=2×3×4-×m×12×3=24 6.某品牌香水瓶的三视图如图(单位:cm),则该几何体的表面积为(C
1 空间几何体的表面积与体积专题 一、选择题 1．棱长为 2 的正四面体的表面积是( C )． A. 3 B．4 C．4 3 D．16 解析 每个面的面积为：1 2 ×2×2× 3 2 ＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3. 2．把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A．2 倍 B．2 2倍 C. 2倍 D. 3 2倍 解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积 V＝ 4 3 πR 3，知体积扩大到原来的 2 2倍． 3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A. 142 3 B. 284 3 C. 280 3 D. 140 3 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－ 1 3 × 1 2 ×2×2 ×2＝ 284 3 . 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A．8－ 2π 3 B．8－ π 3 C．8－2π D. 2π 3 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半 径为 1，高为 2 的圆锥，所以 V＝2 3－ 1 3 ×π×2＝8－ 2π 3 . 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何 体的体积为( A)A．24－ 3 2 π B．24－ π 3 C．24－π D．24－ π 2 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分 别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体积 V＝2×3×4－ 1 2 ×π×12×3＝24－ 3π 2 . 6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )
A95-2)cm B.94 C.94+ D.95+ 解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、正视图 侧视图 下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为2×3×3+12×1-4 中间部分的表面积为2× 下面部分的表面 积为2×4×4+16×2-=64-故其表面积是94+ 俯视图 已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=V3,∠AC=∠BSC=30°,则棱锥S-4BC 的体积为(C) 3 解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上,作过AB的小圆交直径SC于D,设SD=x, 则DC=4一x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD,在△SAD和△SBD中,由已知条件 可得AD=B=x,又因为SC为直径,所以∠S=∠SC=90°,所以∠DCD=∠DCA=60°,在 △BC中,B=(4=),所以=5(4-,所以x=3,D=B=,所以三角形4B 正三角形,所以=smx4=3 、填空题 8.三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥PABC的体 积等于5解析依题意有,三校锥P的体积=5m,P=×x2×3= 9.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球 的体积之比为_3:2 解析设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2xr·2r=4丌r,设球的 半径是R,则球的表面积是4R,根据已知4=4mr2,所以R=r所以圆柱的体积是rp2·2r 2r3 =2mr,球的体积是r,所以圆柱的体积和球的体积的比是=3:2 10.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形
2 A. 95－ π 2 cm 2 B. 94－ π 2 cm 2 C. 94＋ π 2 cm 2 D. 95＋ π 2 cm 2 解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、 下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为 2×3×3＋12×1－ π 4 ＝30－ π 4 ；中间部分的表面积为 2π× 1 2 ×1＝π，下面部分的表面 积为 2×4×4＋16×2－ π 4 ＝64－ π 4 .故其表面积是 94＋ π 2 . 7．已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝ 3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥 S-ABC 的体积为( C)． A．3 3 B．2 3 C. 3 D．1 解析 由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D，设 SD＝x， 则 DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件 可得 AD＝BD＝ 3 3 x，又因为 SC 为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在 △BDC 中 ，BD＝ 3(4－x)，所以 3 3 x＝ 3(4－x)，所以 x＝3，AD＝BD＝ 3，所以三角形 ABD 为 正三角形，所以 V＝ 1 3 S△ABD×4＝ 3. 二、填空题 8．三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 PABC 的体 积等于__ 3______．解析 依题意有，三棱锥 PABC 的体积 V＝ 1 3 S△ABC·|PA|＝ 1 3 × 3 4 ×22×3＝ 3. 9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球 的体积之比为_ 3∶2_______． 解析 设圆柱的底面半径是 r，则该圆柱的母线长是 2r，圆柱的侧面积是 2πr·2r＝4πr 2，设球的 半径是 R，则球的表面积是 4πR 2，根据已知 4πR 2＝4πr 2，所以 R＝r.所以圆柱的体积是 πr 2·2r ＝2πr 3，球的体积是4 3 πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 3 4 3 πr 3 ＝3∶2. 10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形
组成,则该多面体的体积是y2 解析由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜高为°,连 接顶点和底面中心即为高,可求得高为。,所以体积。×1×1× 11.如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是2πR 解析由球的半径为R,可知球的表面积为4πR.设内接圆柱底面半径为r,高为 2h,则f+p2=.而圆柱的侧面积为2r·2h=4m≤4P2+D=2m(当且仅 -<R 当r=h时等号成立),即内接圆柱的侧面积最大值为2πf,此时球的表面积与内 接圆柱的侧面积之差为2πR 12.如图,已知正三棱柱 ABCABC的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点 A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A的最短路线的长为13cm 解析根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展 开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为3+12=13(cm 、解答题 1某高速公路收费站入口处的安全标识如图1所示,墩的上 半部分是正四棱锥PEFG,下半部分是长方体 ABCDEFG图2、图 G 3分别是该标识墩的正视图和俯视图 60 cm 视 图 (1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)求该安全标识墩的体积 解析(1)侧视图同正视图,如图所示:(2)该安全标识墩的体积为 =m+Vaw=×402×60+40×20=6400(cm) 正视图 14.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形, 侧视图是一个长为3,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成解图 的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S. 解析(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为
3 组成，则该多面体的体积是___ 2 6 _____． 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 3 2 ，连 接顶点和底面中心即为高，可求得高为 2 2 ，所以体积 V＝ 1 3 ×1×1× 2 2 ＝ 2 6 . 11．如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是____2πR 2 ____． 解析 由球的半径为 R，可知球的表面积为 4πR 2 .设内接圆柱底面半径为 r，高为 2h，则 h 2＋r 2＝R 2 .而圆柱的侧面积为 2πr·2h＝4πrh≤4πr 2＋h 2 2 ＝2πR 2 (当且仅 当 r＝h 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为 2πR 2，此时球的表面积与内 接圆柱的侧面积之差为 2πR 2 . 12．如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为___13_____cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展 开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 5 2＋122＝13 (cm)． 三、解答题 13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示，墩的上 半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的正视图和俯视图． (1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积． 解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为 V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝ 1 3 ×402×60＋402×20＝64 000(cm3 )． 14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为 1 的平行四边形， 侧视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成 的矩形．(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S. 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为
1的正方形,高为3,所以V=1×1X√3=3 (2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCCB1 所以AA1=2,侧面AB1A1, CDDIC1均为矩形, S=2×(1×1+1×√3+1×2)=6+21V3 15已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底 边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为 4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V(2)求该几何体的侧面积S 解析由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面 及其相对侧面均为底边长为8,高为h的等腰三角形,左、 右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如右图所示 (1)几何体的体积为:=·S矩形·h=×6×8×4=64 (2)正侧面及相对侧面底边上的高为:h1=√42+32=5左、右侧面的底边上的高为:h=y42+42= 4故几何体的侧面面积为:S=2××8×5+×6×42=40+24 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是() 解:设展开图的正方形边长为a,圆柱的底面半径为r,则2π=a,r=2,底面圆的面积是, 2丌 于是全面积与侧面积的比是xa2 1+2丌 2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去与8个顶点 相关的8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是() 2.解:正方体的体积为1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是 3×(222)2=48,于是8个三棱锥的体积是,剩余部分的体积是5 3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是6cm和8cm,高是5cm 则这个直棱柱的全面积是 3.答案:148cm2 解:底面菱形中,对角线长分别是6cm和8cm,所以底面边长是5cm 侧面面积是4×5×5=100cm2,两个底面面积是48cm2, 所以棱柱的全面积是148cm2 4.已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1:2,则它 们的高之比为 4.答案:2√2:√5 解:设圆柱的母线长为l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1:
4 1 的正方形，高为 3，所以 V＝1×1× 3＝ 3. (2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面 ABCD，CD⊥平面 BCC1B1， 所以 AA1＝2，侧面 ABB1A1，CDD1C1 均为矩形， S＝2×(1×1＋1× 3＋1×2)＝6＋2 3. 15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底 边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S. 解析 由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面 及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为 6，高为 h2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V＝ 1 3 ·S 矩形·h＝ 1 3 ×6×8×4＝64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝ 4 2＋3 2＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝ 4 2＋4 2＝ 4 2.故几何体的侧面面积为：S＝2× 1 2 ×8×5＋ 1 2 ×6×4 2 ＝40＋24 2. 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. . 解：设展开图的正方形边长为 a，圆柱的底面半径为 r，则 2πr=a， 2 a r = ，底面圆的面积是 2 4 a ， 于是全面积与侧面积的比是 2 2 2 2 1 2 2 a a a + + = ， 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与 8 个顶点 相关的 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）. 2．解：正方体的体积为 1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 2 2 2 2 48 = ，于是 8 个三棱锥的体积是 6 1 ，剩余部分的体积是 6 5 ， 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是 6cm 和 8cm，高是 5cm， 则这个直棱柱的全面积是 。 3．答案：148 cm2 解：底面菱形中，对角线长分别是 6cm 和 8cm，所以底面边长是 5cm， 侧面面积是 4×5×5=100cm2，两个底面面积是 48cm2， 所以棱柱的全面积是 148cm2 . 4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它 们的高之比为 。 4．答案：2 2 ： 5 解：设圆柱的母线长为 l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：
2,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是27和4, 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式的2兀r得r、3 所以它们的高的比是 2 5.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为lcm,2cm,3cm,则此棱锥的体积 5.答案:1cm3 解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为lcm,2cm的两条)确定的侧面 看作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积是1,高为3, 则它的体积是×1×3=lcm 6.矩形两邻边的长为a、b,当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体的体积之比为 6.答案:b 解:矩形绕a边旋转,所得几何体的体积是V=πBa,矩形绕b边旋转,所得几何体的体积是V=πab, 所以两个几何体的体积的比是=xba=b 16.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a (1)求该四面体的体积的最大值:(2)当四面体的体积最大时,求其表面积 P 解析(1)如图,在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取,B BC的中点为E,连接BP、F、CP得到AD⊥平面BPC,∴=V+VB x 44 129=a(当且仅当x=。a时取等号)∴该四面体的体积的最大值为a (2)由(1)知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形,△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰 长为,底边长为,:=2x￥8+2x×y5ax/a-(M6 4 6y0a58
5 2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是 2 3 和 4 3 ， 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 2 r l = ，得 1 3 l r = ， 2 2 3 l r = ， 所以它们的高的比是 2 2 2 2 ( ) 3 2 2 2 5 ( ) 3 l l l l − = − . 5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_________ 5．答案：1cm3 解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为 1cm，2cm 的两条)确定的侧面 看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是 1，高为 3， 则它的体积是 3 1 ×1×3=1cm3 . 6．矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为 6．答案： b a 解：矩形绕 a 边旋转，所得几何体的体积是 V1=πb 2 a，矩形绕 b 边旋转，所得几何体的体积是 V2=πa 2 b， 所以两个几何体的体积的比是 2 1 2 2 V b a b V a b a = = 16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积． 解析 (1)如图，在四面体 ABCD 中，设 AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取 AD 的中点为 P， BC 的中点为 E，连接 BP、EP、CP.得到 AD⊥平面 BPC，∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC ＝ 1 3 ·S△BPC·AP＋ 1 3 S△BPC·PD＝ 1 3 ·S△BPC·AD＝ 1 3 · 1 2 ·a a 2－ x 2 4 － a 2 4 ·x＝ a 12 3a 2－x 2 x 2 ≤ a 12· 3a 2 2 ＝ 1 8 a 3 (当且仅当 x＝ 6 2 a 时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为1 8 a 3 . (2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为 a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰 长为 a，底边长为 6 2 a，∴S 表＝2× 3 4 a 2＋2× 1 2 × 6 2 a× a 2－ 6 4 a 2 ＝ 3 2 a 2＋ 6 2 a× 10a 4 ＝ 3 2 a 2＋ 15a 2 4 ＝ 2 3＋ 15 4 a 2