空间几何体的表面积与体积 适用学科数学 适用年级 高二 适用区域新课标 课时时长(分钟)60 几何体的表面积 知识点几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问 考情分考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与 视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大 教学重点柱、锥、台的表面积和体积的求法。 教学难点柱体、锥体和台全的全积,台体与术体和锥体之间的转换关系 教学过程 复习预习 教师引导学生复习上节内容,并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点易错点1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧=2h V=Sh=rh V=-Sh=rh 圆锥 Sm=trl =3(S上+S下+VSSh=2 圆台 S侧=π(n+n2)l 丌(+r2+nnh 直棱柱 S侧=Ch V= Sh 正棱锥 侧一 正棱台 Sa=nctch' v=SI+S++VSeSi)h 球 S球面=4πR2 ==πR
1 / 13 空间几何体的表面积与体积 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60 知 识 点 几何体的表面积 几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问题 考情分析 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与 三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 教学重点 柱、锥、台的表面积和体积的求法。 教学难点 柱体、锥体和台全的全积，台体与术体和锥体之间的转换关系。 教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点 1 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 体 积 圆柱 S 侧＝2πrh V＝Sh＝πr 2h 圆锥 S 侧＝πrl V＝ 1 3 Sh＝ 1 3 πr 2h＝ 1 3 πr 2 l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l V＝ 1 3 (S 上＋S 下＋ S上S下)h＝ 1 3 π(r 2 1＋r 2 2＋r1r2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S 侧＝ 1 2 Ch′[来源: Z。xx。k. Com ] V＝ 1 3 Sh 正棱台 S 侧＝ 1 2 (C＋C′)h′ V＝ 1 3 (S 上＋S 下＋ S上S下)h 球 S 球面＝4πR 2 V＝ 4 3 πR 3
考点易错点2几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面 积等于侧面积与底面面积之和 三、例题精析 【例题1】 【题干】右图是.一个几何体的三视图(侧视图中的弧 线是半圆),则该几何体的表面积是() 正视图侧视图 A.20+3 B.24+3 俯视图 C.20+4π D.24+4π 【答案】A 【解析】根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的 组合体,其中,正方体的棱长为2,半圆柱的底面半径为1,母线长为2故该几 何体的表面积为4×5+2×兀+2×兀=20+3π 【例题2】 【题干】某几何体的正(主视图与俯视图如图所示,侧(左)视图与正视图相同 且图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积 是() 【答案】A 2/13
2 / 13 考点/易错点 2 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面 积等于侧面积与底面面积之和． 三、例题精析 【例题 1】 【题干】右图是 一个几何体的三视图(侧视图中的弧 线是半圆)，则该几何体的表面积是( ) A . 20＋3π B. 24＋3π C. 20＋4π D. 24＋4π 【答案】A 【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的 组合体，其中，正方体的棱长为 2，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 2.故该几 何体的表面积为 4×5＋2×π＋2× 1 2 π＝20＋3π. 【例题 2】 【题干】某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，侧(左)视图与正视图相同， 且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积 是( ) A. 20 3 B. 4 3 C. 6 D. 4 【答案】A
【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示 其构成是一个正方体的上方除掉了一个正四棱锥, 故I=23-×22X1≈20 B 【例题3】 【题干】如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD =CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC, 如图2所示 (1)求证:BC⊥平面ACD (2)求几何体DABC的体积 【解析】(1)在图中,可得AC=BC=2VE, 从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC, 取AC的中点O,连接DO, 则DO⊥AC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,DOC平面 ADC,从而DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面ACD (2)由(1)可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2 3/13
3 / 13 【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示， 其构成是一个正方体的上方除掉了一个正四棱锥， 故 V＝2 3－ 1 3 ×2 2×1＝ 20 3 . 【例题 3】 【题干】如图 1，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD ＝CD＝2，将△ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC⊥平面 ABC，得到几何体 DABC， 如图 2 所示． (1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 DABC 的体积． 【解析】(1) 在图中，可得 AC＝BC＝2 2， 从而 AC2＋BC2＝AB2，故 AC⊥BC， 取 AC 的中点 O，连接 DO， 则 DO⊥AC，又平面 ADC⊥平面 ABC，平面 ADC∩平面 ABC＝AC，DO⊂平面 ADC，从而 DO⊥平面 ABC，∴DO⊥BC， 又 AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面 ACD. (2) 由(1)可知，BC 为三棱锥 BACD 的高，BC＝2 2，S△ACD＝2，∴VBACD＝
S△ ACD BC=×2×2V2= 3 由等体积性可知,几何体DABC的体积为42 【例题4】 【题干】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) 正视图 俯视 (1)试画出它的直观图 (2)求它的表面积和体积 【解析】(1)直观图如图所示 (2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以 A1A,A1D1,AB1为棱的长方体的体积的 在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E, 则四边形A1EB是正方形, AA=BE=1 在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1 4/
4 / 13 1 3 S△ACD·BC＝ 1 3 ×2×2 2＝ 4 2 3 ， 由等体积性可知，几何体 DABC 的体积为4 2 3 . 【例题 4】 【题干】 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)： (1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．[来源:Zx x k .Com] 【解析】(1)直观图如图所示． (2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以 A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的3 4 ， 在直角梯形 AA1B1B 中，作 BE⊥A1B1于 E， 则四边形 AA1EB 是正方形， ∴AA1＝BE＝1， 在 Rt△BEB1 中，BE＝1，EB1＝1， ∴BB1＝ 2
几何体的表面积 S=S正方称ABCD十S矩形A1B1C1D1十2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方 形AA1D1D =1+2×1+2××(1+2)×1+1×2+1=7+2(m2) 几何体的体积V=×1×2×1=(m3), 该几何体的表面积为(7+√2)m2,体积为;m3 四、课堂运用 【基础】 1.棱长为2的正四面体的表面积是() 3 4 解析每个面的面积为:×2×2×5=3.:正四面体的表面积为:4V 答案C 如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体 积为() 正视图 侧视图 俯视图 280 D.140 解析根据三视图的知识及特点,可画出多面体 的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积 5/13
5 / 13 ∴几何体的表面积 S＝S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋S 正方 形 AA1D1D ＝1＋2×1＋2× 1 2 ×(1＋2)×1＋1× 2＋1＝7＋ 2(m2 )． ∴几何体的体积 V＝ 3 4 ×1×2×1＝ 3 2 (m3 )， ∴该几何体的表面积为(7＋ 2) m2，体积为3 2 m3 . 四、课堂运用 【基础】 1．棱长为 2 的正四面体的表面积是( )． A. 3 B．4 C．4 3 D．16 解析 每个面的面积为：1 2 ×2×2× 3 2 ＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3. 答案 C 2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体 积为( )． A. 142 3 B. 284 3 C. 280 3 D. 140 3 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积
284 =V长方体一V正三棱锥=4×4×6—××2×2×2= 答案 3.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆的半径为1,则该几何 体的体积为() 正视图 侧视图 俯视图 A.24 C.24-π D.24 解析据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱,其中长方体的棱 长分别为:2,3,4,半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积=2×3×4 3π 答案A 【巩固 1.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=√3,∠ASC=∠ BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为() B.2√3 C D.1 解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上,作过AB的小圆交直 径SC于D,设SD=x,则DC=4一x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和 V3 C-ABD,在△SAD和△SBD中,由已知条件可得AD=BD=°x,又因为SC为直径, 所以∠SBC=∠SAC=90°,所以∠DCB=∠DC=60°,在△BC中,BD=√3(4 x),所以yx=3(4-x),所以x=3,AD=BD=V3,所以三角形ABD为正三 6/13
6 / 13 V＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－ 1 3 × 1 2 ×2×2 ×2＝ 284 3 . 答案 B 3．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何 体的体积为( ) A．24－ 3 2 π B．24－ π 3 C．24－π D．24－ π 2 解析 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱 长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体积 V＝2×3×4 － 1 2 ×π×12×3＝24－ 3π 2 . 答案 A 【巩固】 1．已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝ 3，∠ASC＝∠ BSC＝30°，则棱锥 S-ABC 的体积为( )． A．3 3 B．2 3 C. 3 D．1 解析 由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直 径 SC 于 D，设 SD＝x，则 DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得 AD＝BD＝ 3 3 x，又因为 SC 为直径， 所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC 中 ，BD＝ 3(4 －x)，所以 3 3 x＝ 3(4－x)，所以 x＝3，AD＝BD＝ 3，所以三角形 ABD 为正三
角形,所以=-5m×4=√3 答案C 2.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这 个圆柱的体积与这个球的体积之比为 解析设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是 2r·2r=4xr2,设球的半径是R,则球的表面积是4f,根据己知4xR=4mr 所以R=E所以圆柱的体积是n2·2r=2丌r3,球的体积是r,所以圆柱的 体积和球的体积的比是N3:2 4-3 答案3:2 3.如图,半径为R的球0中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的 表面积与该圆柱的侧面积之差是 解析由球的半径为R,可知球的表面积为4丌R.设内接圆柱底面半径为r, 高为2h,则F+2=R.而圆柱的侧面积为2xr·2h=4mh≤4m 2πR(当且仅当r=h时等号成立),即内接圆柱的侧面积最大值为2πR,此时 球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2 答案2丌R 【拔高】 个几何体的三视图如图所示,已知正视图是底边长为1的平 行四边形,侧视图是一个长为√3,宽为1的矩形,俯视图为两个边长 为1的正方形拼成的矩形 正视图侧视图 (1)求该几何体的体积V 俯视图 (2)求该几何体的表面积S 7/13
7 / 13 角形，所以 V＝ 1 3 S△ABD×4＝ 3. 答案 C 2．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这 个圆柱的体积与这个球的体积之比为________． 解析 设圆柱的底面半径是 r，则该圆柱的母线长是 2r，圆柱的侧面积是 2πr·2r＝4πr 2，设球的半径是 R，则球的表面积是 4πR 2，根据已知 4πR 2＝4πr 2， 所以 R＝r.所以圆柱的体积是 πr 2·2r＝2πr 3，球的体积是4 3 πr 3，所以圆柱的 体积和球的体积的比是2πr 3 4 3 πr 3 ＝3∶2. 答案 3∶2 3．如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的 表面积与该圆柱的侧面积之差是________． 解析 由球的半径为R，可知球的表面积为4πR 2 .设内接圆柱底面半径为r， 高为 2h，则 h 2＋r 2＝R 2 .而圆柱的侧面积为 2πr·2h＝4πrh≤4πr 2＋h 2 2 ＝ 2πR 2 (当且仅当 r＝h 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为 2πR 2，此时 球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 2πR 2 . 答案 2πR 2 【拔高】 1 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为 1 的平 行四边形，侧视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长 为 1 的正方形拼成的矩形． (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的表面积 S
解析(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长 为1的正方形,高为, 所以V=1×1×V3=3. (2)由三视图可知,该平行六面体中, A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1, 所以AA1=2,侧面 ABBIAL, CDDICI均为矩形 s=2×(1×1+1×3+1×2)=6+2V3 2.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一 个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、 高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V (2)求该几何体的侧面积S 解析由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥, 其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相 对侧面均为底边长为8,高为h的等腰三角形,左、 右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如右图所示 (1)几何体的体积为:上.5矩形·=×6X8×4=64 (2)正侧面及相对侧面底边上的高为:h=V+32=5.左、右侧面的底边上 的高为:h=4+4=42 故几何体的侧面面积为 S=2××8×5+×6×4V2=40+24 12 课程小结 l、(1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认真 分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的 截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球 的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于 8/13
8 / 13 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长 为 1 的正方形，高为 3， 所以 V＝1×1× 3＝ 3. (2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D⊥平面 ABCD，CD⊥平面 BCC1B1， 所以 AA1＝2，侧面 ABB1A1，CDD1C1 均为矩形， S＝2×(1×1＋1× 3＋1×2)＝6＋2 3. 2．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一 个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、 高为 4 的等腰三角形． (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S. 解析 由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥， 其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相 对侧面均为底边长为 8，高为 h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为 6，高为 h2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V＝ 1 3 ·S 矩形·h＝ 1 3 ×6×8×4＝64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝ 4 2＋3 2＝5.左、右侧面的底边上 的高为：h2＝ 4 2＋4 2＝4 2. 故几何体的侧面面积为： S＝2× 1 2 ×8×5＋ 1 2 ×6×4 2 ＝40＋24 2. 课程小结 1.(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真 分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的 截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球 的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于
球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组 合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图 (2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何 体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的 高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通 过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值 课后作业 【基础】 1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的() A.2倍 倍 √2倍 D.√2倍 解析由题意知球的半径扩大到原来的√2倍,则体积=4m,知体积扩 大到原来的2倍 答案B 2.某几何体的三视图如下,则它的体积是( 正视图侧视图 B.8 解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半 径为1,高为2的圆锥,所以V=2-×m×2= 2 答案A 某品牌香水瓶的三视图如图(单位:cm),则该几何体的表面积为() 9/13
9 / 13 球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组 合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何 体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的 高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通 过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 课后作业 【基础】 1．把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( )． A．2 倍 B．2 2倍 C. 2倍 D. 3 2倍 解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积 V＝ 4 3 πR 3，知体积扩 大到原来的 2 2倍． 答案 B 2．某几何体的三视图如下，则它的体积是( ) A．8－ 2π 3 B．8－ π 3 C．8－2π D. 2π 3 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半 径为 1，高为 2 的圆锥，所以 V＝2 3－ 1 3 ×π×2＝8－ 2π 3 . 答案 A 3．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
俯视图 A.95 C.94+|cm D.|95+ m2 解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是 个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2×3×3+12×1 ;中间部分的 表面积为2××1=π,下面部分的表面积为2×4×4+16×2 故其表面积是94+2 答案C 【巩固】 1.三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角 形,则三棱锥PABC的体积等于 解析依题意有,三棱锥PMBC的体积=-sm·|P|=1×283×2x×3=V3 答案√3 2.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4 个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是
10 / 13 A. 95－ π 2 cm 2 B. 94－ π 2 cm 2 C. 94＋ π 2 cm 2 D. 95＋ π 2 cm 2 解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一 个四棱柱．上面四棱柱的表面积为 2×3×3＋12×1－ π 4 ＝30－ π 4 ；中间部分的 表面积为 2π× 1 2 ×1＝π，下面部分的表面积为 2×4×4＋16×2－ π 4 ＝64－ π 4 . 故其表面积是 94＋ π 2 . 答案 C 【巩固】 1．三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角 形，则三棱锥 PABC 的体积等于________． 解析 依题意有，三棱锥 PABC 的体积 V＝ 1 3 S△ABC·|PA|＝ 1 3 × 3 4 ×22×3＝ 3. 答案 3 2．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是________．