直线的倾斜角与斜率的教学设计 教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程度的 几何量的形成过程。 2、通过教学,使学生从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜 率,感受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的,从而 渗透辩证唯物主义思想 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于ⅹ轴 倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直 线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想 二、教学重点与难点 重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点:用代数方法推导斜率的过程 、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学 生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构
- 1 - 直线的倾斜角与斜率的教学设计 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的 几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜 率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而 渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于 x 轴 倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直 线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构
四、教学过程 (一)创设情境,揭示课题 问题1、(出示幻灯片)给出的两点P、Q相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点P) 可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还 有其他方法吗?可以增加一个什么样的几何量?(估计不少学生能意 识到需要有一个角) 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就 必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回答ⅹ轴或y轴) 以x轴或y轴为基准都可以,习惯上我们用x轴。 问题4、过点P与x轴形成45角的直线有几条? (学生可能答一条或两条,投影 演示结果)如何区分清楚这两条直线 呢?估计学生能想到还需要确定方 向
- 2 - p o y · x 45。 135。 L2 L1 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题 1、（出示幻灯片）给出的两点 P、Q 相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题 2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点 P） 可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还 有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意 识到需要有一个角） 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题 3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就 必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x 轴或 y 轴） 以 x 轴或 y 轴为基准都可以，习惯上我们用 x 轴。 问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条？ （学生可能答一条或两条，投影 演示结果）如何区分清楚这两条直线 呢？估计学生能想到还需要确定方 向
选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何 条直线都有唯一的角与它对应呢? (教师引导学生选取不同的方向来描述角,并区分L1与L2) 数学概念来刻画事物时,讲求统一美与简洁美,如何用数学语言 准确描述这个角呢?(揭示课题) 1、倾斜角的定义:在直角坐标系下,以x轴为基准,当直线/与x 轴相交时,x轴正向与直线向上方向之间所成的角a,叫做直线l的 倾斜角。 学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。 (1) 学生容易忽略与x轴平行的直线,补出图(4),问倾斜角在哪儿? 如何规定? 规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°。 自然有倾斜角的范围是[0°,180°) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角α 与它对应。倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直 线,其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 条直线的倾斜程度
- 3 - y l p o x y p o x l p o y x l p o y x l (1) (2) (3) (4) 选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一 条直线都有唯一的角与它对应呢？ （教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分 L1与 L2）。 数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言 准确描述这个角呢？（揭示课题） 1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以 x 轴为基准，当直线 l 与 x 轴相交时， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ，叫做直线 l 的 倾斜角。 学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。 学生容易忽略与 x 轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？ 如何规定？ 规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 0 。 自然有倾斜角的范围是[0 ，180 ） 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度
(二)巩固旧知,同化新知 生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,对于斜坡的倾斜程度, 可以用什么量来反映?(坡角与坡度) 初中对坡度是如何定义的? 升高量 坡度(比)= (即坡角a的正切值) 前进量 当坡角a增大时,坡度如何变化? 当坡角∝=90°与0时,升高量、前进量分别是什么?坡度又分别 是什么? 坡角、坡度都能反映倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线 的倾斜角,而坡度则对应于直线的斜率 2、斜率:倾斜角不是90·的直线,其倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率。即k=tana(α≠90°) 问题5、当a为钝角时,直线的斜率如何求?(转化到其补角上) a=180°-0(0是锐角) k= tan a=tan(180-0)=-tan 0 如:倾斜角α=120°,则斜率k=-√3 问题6、当α在[0°,180°)内变化时,斜率k如何变化?
- 4 - （二）巩固旧知，同化新知 生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度， 可以用什么量来反映？（坡角与坡度） 初中对坡度是如何定义的？ 当坡角 增大时，坡度如何变化？ 当坡角 =90 与 0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别 是什么？ 坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线 的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。 2、斜率：倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率。即 k tan ( 90 ) = 问题 5、当 为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角 上） 问题 6、当 在[0 ，180 ）内变化时，斜率 k 如何变化？ 坡度（比）= 升高量 前进量 x y o （即坡角 的正切值） = = − = − = − k tan tan(180 ) tan 180 ( ) 是锐角 如：倾斜角 =120 ，则斜率 k = − 3
以 0°<<90 C=90 90° C<180 k不存在 k=0 问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度,而斜率是比值,实质是数值, 它能从数的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些。 (三)尝试推导,深化认识 两点确定一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即 倾斜角与斜率。看来,直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系 问题8、在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2 y2)且x1≠x2,能否用P1、P2的坐标来表示直线斜率k? (学生活动):随意在坐标系下画两点P1、P2及直线P1P2,探究各种 图形并尝试推导,可以先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似升高量,前进 量,用点的坐标表示线段长,并请同学叙述各个图的推导过程与结果
- 5 - p o y x l y p o x l p o y x l p o y x l 0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0° k >0 k不存在 k<0 k=0 问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？ 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值， 它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。 （三）尝试推导，深化认识 两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即 倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题 8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点 P1（x1，y1），P2（x2， y2）且 x1 x2，能否用 P1 、P2的坐标来表示直线斜率 k？ （学生活动）：随意在坐标系下画两点 P1 、P2及直线 P1 P2，探究各种 图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进 量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果
P,( P,( Q Q(x1;y2) 2(x2,y2) y O 解:设直线P1P2倾斜角为a(a≠90°)当直线P1P2方向向上时,过 点P作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线交于点Q,则点 Q为(x2,y1) (1)当a为锐角时,a=∠P,x<x2,y1<y2 在NPQ中,如a=m∠QP==一 (2)当a为钝角时,a=180°-0(设∠QPP2=0),x<x2,y1<y2 tan a =tan(180-0)=-tan8 在 RPPQ中,tnb= loP2y2-y_y2-y OPI x2-x, x2-x tana=22-n(可让学生分组推导) 同理,当直线PP1方向向上时,无论a为锐角或钝角,也有 卫-",即k=y2
- 6 - P2（x2，y2） x x y O P1（x1，y1） α Q （x2，y1） P2（x2，y2） P1（x1，y1） α y O Q （x2，y1） x y O α Q （x1，y2） P2（x2，y2） P1（x1，y1） α P2（x2，y2） x y O Q （x1，y2） P1（x1，y1） 解：设直线 P1 P2倾斜角为 （ 90 ）当直线 P1 P2方向向上时，过 点 P1作 x 轴的平行线，过点 P2作 y 轴的平行线，两线交于点 Q，则点 Q 为（x2，y1） （1）当 为锐角时， = QP1P2， 1 2 x x ，y1 y2 在 RtP1P2Q 中， 2 1 2 1 1 2 1 2 tan tan x x y y PQ QP QP P − − = = = （2）当 为钝角时， = − 180 （设 QP1P2 = ）， 1 2 x x ，y1 y2 tan = tan(180 −) = −tan 在 RtP1P2Q 中， 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 tan x x y y x x y y QP QP − − = − − − = = 2 1 2 1 tan x x y y − − = （可让学生分组推导） 同理，当直线 P2P1 方向向上时，无论 为锐角或钝角，也有 2 1 2 1 tan x x y y − − = ，即 2 1 2 1 x x y y k − − =
思考:1、各种一般情形得出的结论一致吗?与P1、P2这两点坐标顺 序有关系吗? 2、当直线垂直于x轴或y轴时,上述结论适用吗? 3、斜率公式使用时应注意什么问题? 巩固练习:求经过下列两点直线的斜率,并判断倾斜角是锐角还是钝 角。 (1)A(3,2),B(-4,1)(k=1) (2)A(3,2),B(4,1)(k△B=-1) (3)A(3,2),B(3,-1)(不存在) (4)A(3,2),B(-4,2)(k=0) (四)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?) 、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率),知道了求斜率的 两种方法(定义法、坐标法)k=tana=y-y1 X2-X1 经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 (五)板书设计 直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的定义 (学生展示推导斜 范围[0°,180°) 率公式的图形) 2、直线的斜率 k=tana(a≠90°) α为钝角时, k= tan a= tan(180-0)=-tan 0
- 7 - 思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与 P1、P2 这两点坐标顺 序有关系吗？ 2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，上述结论适用吗？ 3、斜率公式使用时应注意什么问题？ 巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝 角。 （1）A（3,2）,B（-4,1）（ 7 1 k AB = ） （2）A（3,2）,B（4,1）（ k AB = −1 ） （3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在） （4）A（3,2）,B（-4,2）（ kAB = 0 ） （四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？） 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的 两种方法（定义法、坐标法） 3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 (五)板书设计 直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的定义 范围[0 ，180 ） 2、直线的斜率 k = tan （ 90 ） 为钝角时， k = tan = tan(180 − ) = − tan （学生展示推导斜 率公式的图形） x x y y 2 1 2 1 k tan − − = =
(六)作业:①自学课本P3s:例1、例2 ②作业本:Ps9:1、2、3 【教案说明】直线的倾斜角与斜率 教学内容与地位作用解析 本节课是新人教版A版高一数学必修(2)的3.1.1节的内容。 1、内容分析 本节课的主要内容有两个概念(直线的倾斜角、直线的斜率)及 一个公式(斜率计算公式) 直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量,它也是确定直线位置的 一个重要的几何要素,它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度 直线的斜率指倾斜角不是90°的直线,其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值,实质上是数值,所以直线的斜率从本 质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。华罗庚先生说过: “数缺形时少直观,形少数时难入微”。显然,与倾斜角相比,用斜 率刻画倾斜程度会更细致。 关于过已知两点的直线斜率公式:因为过两点的直线是唯一确定 的,所以其倾斜程度也就确定(即直线的斜率也是确定的)。从而在 直角坐标系中,直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联
- 8 - （六）作业：①自学课本 P85：例 1、例 2； ②作业本：P89：1、2、3。 【教案说明】直线的倾斜角与斜率 一、教学内容与地位作用解析 本节课是新人教版 A 版高一数学必修（2）的 3.1.1 节的内容。 1、内容分析 本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及 一个公式（斜率计算公式） 直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量，它也是确定直线位置的 一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度。 直线的斜率指倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本 质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。华罗庚先生说过： “数缺形时少直观，形少数时难入微”。显然，与倾斜角相比，用斜 率刻画倾斜程度会更细致。 关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定 的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）。从而在 直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联
系。斜率k=2-不仅反映了这种联系,并用代数方法表示了出来, X, 而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思 相 2、地位作用分析 本节课是高中解析几何部分的起始课,学生具备的知识基础是在 直角坐标系中会用坐标表示点,明确了坐标平面上的点与有序数对可 建立一一对应的关系。这节课的教学内容,不仅能反映出数学概念离 不开生活,数学是自然有用的,而且蕴含了几何问题代数化的思想, 从知识点及研究方法上,为后继判断两条直线的位置关系以及建立直 线的方程等内容起着关键性的铺垫作用 二、教学目标解析 、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程 度的几何量的形成过程; 2、通过教学,使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜 率的过程,感受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的, 从而渗透辩证唯物主义思想 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想; 经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点 的直线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 三、教学问题诊断分析 关于倾斜角的概念:为什么要引入倾斜角?如何描述这个角?
- 9 - 系。斜率 2 1 2 1 x x y y k − − = 不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来， 而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思 想。 2、地位作用分析 本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在 直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可 建立一一对应的关系。这节课的教学内容，不仅能反映出数学概念离 不开生活，数学是自然有用的，而且蕴含了几何问题代数化的思想， 从知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直 线的方程等内容起着关键性的铺垫作用。 二、教学目标解析 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程 度的几何量的形成过程； 2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜 率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的， 从而渗透辩证唯物主义思想； 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想； 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点 的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 三、教学问题诊断分析 1、关于倾斜角的概念：为什么要引入倾斜角？如何描述这个角？
这些地方都是教学中易忽略的,也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义,会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的,你只要接 受就可以了,这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的, 为聪明人准备的学科,会渐渐使许多学生变得被动学习,缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以,在引入这节课时,应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性,要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向” 从而能自然地、准确地描述清楚定义。 2、对于斜率,学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来,当 倾斜角为90及0·时可以特殊认识,当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有 不同)斜率的求法应重点分析,突出转化思想的同时,引导学生认识 Pε3页的脚注,使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。 另外,倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度,相比较斜率更具有优越性。 3、斜率计算公式的得出,学生有两点不易把握。一方面,怎样 将两点坐标与tanα相联系;另一方面,图形分析不够全面。对前者, 可提供学生探究发现的机会,对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度,找升髙量与前进量,再引导其转化为坐标表示。 公式的推导过程是多数学生能独立解决的,教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想,有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。 教学重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式
- 10 - 这些地方都是教学中易忽略的，也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义，会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的，你只要接 受就可以了，这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的， 为聪明人准备的学科，会渐渐使许多学生变得被动学习，缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以，在引入这节课时，应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性，要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向”， 从而能自然地、准确地描述清楚定义。 2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当 倾斜角为 90 及 0 时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有 不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，引导学生认识 P83页的脚注，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。 另外，倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度，相比较斜率更具有优越性。 3、斜率计算公式的得出，学生有两点不易把握。一方面，怎样 将两点坐标与 tan 相联系；另一方面，图形分析不够全面。对前者， 可提供学生探究发现的机会，对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度，找升高量与前进量，再引导其转化为坐标表示。 公式的推导过程是多数学生能独立解决的，教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想，有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。 教学重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；