41中高三数学第一轮复习一空间几何体的表面积和体积 命题走向 由于本讲公式多反映在考题上,预测008年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题 要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 名称 侧面积(Sm)全面积(S) 体积(V) 棱L柱|直截面周长×1 S底·h=S直截面·h S侧+2S 柱直棱柱 h 棱锥各侧面积之和 棱 S侧+S底 S13 S底·h 锥正棱锥 棱台各侧面面积之和 h(S上底+S 棱 台|正棱台 S+S上底+下底 S 表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h’表示斜高,l表示侧棱长。 旋转体的面积和体积公式 名称圆柱 圆锥 圆台 S侧 2πrl πrl (r1+r2)1 (r1+r2)1+π(r21+r2) 2rr(1+r) r(1+r) 4πR2 r2h(即rr21) h h(rtriratr 2 R3 表中1、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,n1、n2分别表示圆台上、 下底面半径,R表示半径 四.典例解析 题型1:柱体的体积和表面积 例1.一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: (xy+ y=+ =x) 4(x+y+二)=24 (2) 由(2)2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得x2+y2+z2=16 即P=16 所以上4(cm)
41 中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积 一．命题走向 由于本讲公式多反映在考题上，预测 008 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题； 二．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V) 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S 侧+2S 底 S 底·h=S 直截面·h 直棱柱 ch S 底·h 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 S 侧+S 底 3 1 S 底·h 正棱锥 2 1 ch′ 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S 侧+S 上底+S 下底 3 1 h(S 上底+S 下底 + S下底 S下底 ) 正棱台 2 1 (c+c′)h′ 表中 S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S 侧 2πrl πrl π(r1+r2)l S 全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r2 1+r2 2) 4πR 2 V πr 2 h(即πr 2 l) 3 1 πr 2 h 3 1 πh(r2 1+r1r2+r2 2) 3 4 πR 3 表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2 分别表示圆台 上、 下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型 1：柱体的体积和表面积 例 1．一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得： + + = + + = 4( ) 24 2( ) 20 x y z xy yz zx (2) (1) 由（2）2 得：x 2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得 x 2+y2+z2=16 即 l 2=16 所以 l=4(cm)
点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系 例2.如图,三棱柱ABC-ABC中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EBC将三棱柱分 成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2= 解:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V+V2=Sh E、F分别为AB、AC的中点 V1=-h(S+-S+ V2=Sh-V=-Sh E ∴V1:V2=7:5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型2:锥体的体积和表面积 例3.(2006上海,19)在四棱锥P一ABCD中,底面是 边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交 于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角 为60°,求四棱锥P一ABCD的体积? 解:(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD, 得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60° 在Rt△AOB中BO= ABsin30°=1,由PO⊥BO 于是PO= bOtany60°=√3,而底面菱形的面积为2√3 四棱锥P一ABCD的体积V=×23×3 点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力 例4.(2006江西理,12)如图,在四面体ABCD中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心0,且与BC, DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分, 设四棱锥A一BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1 必有() A. SSz D.S1,S2的大小关系不能确定
P A B C D O 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。 例 2．如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1 将三棱柱分 成体积为 V1、V2 的两部分，那么 V1∶V2= ____ _。 解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则 V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点， ∴S△AEF= 4 1 S, V1= 3 1 h(S+ 4 1 S+ 4 1 S )= 12 7 Sh V2=Sh-V1= 12 5 Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型 2：锥体的体积和表面积 例 3．（2006 上海，19）在四棱锥 P－ABCD 中，底面是 边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角 为 60 ，求四棱锥 P－ABCD 的体积？ 解：（1）在四棱锥 P-ABCD 中，由 PO⊥平面 ABCD, 得∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO=60°。 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO， 于是 PO=BOtan60°= 3 ，而底面菱形的面积为 2 3 。 ∴四棱锥 P－ABCD 的体积 V= 3 1 ×2 3 × 3 =2。 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。 例 4．（2006 江西理，12）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC， DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分， 设四棱锥 A－BEFD 与三棱锥 A－EFC 的表面积分别是 S1，S2，则 必有（ ） A．S1S2 B．S1S2 C．S1=S2 D．S1，S2 的大小关系不能确定 D B A O C E F
解:连OA、OB、OC、OD, 则ⅤA-BEFD=Vo-ABD+Vo-ABE+Vo-BEFD VA-EFC=Vo-ADc+Vo-AEC+Vo-Ec又ⅤA-BED=ⅤA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD+SABE+ SBEFD=SADC+SAEC +SEC又面AEF公共,故选C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 题型3:棱台的体积、面积 例5.(1)(1998全国,9)如果棱台的两底面积分别是S、S′,中截面的面积是S,那么 A.2√S。=√s+√SB.S。=√SSc.2=s+sD.S2=2ss (2)(1994全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体 积为() C.24 √3 解析:(1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为A: (2)正六棱台上下底面面积分别为:S上=6 √3 =hS上+S:·S下+S)=28√3,答案B 点评:本题考査棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种 解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等 题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例6.(2000全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与 侧面积的比是() 1+4 1+2丌 1+4丌 2丌 4丌 丌 解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h2xr S全=22+(2丌r)2=2mP2(1+2x),S侧=h2=4x2r2, s 1 答案为A 点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识
解：连 OA、OB、OC、OD， 则 VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又 VA－BEFD＝VA－EFC， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故 SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC ＋SEFC又面 AEF 公共，故选 C 点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 题型 3：棱台的体积、面积 例 5．（1）（1998 全国，9）如果棱台的两底面积分别是 S、S′，中截面的面积是 S0，那么 （ ） A． S = S + S 2 0 B． S0 = SS C．2S0＝S＋S′ D．S0 2＝2S′S （2）（1994 全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体 积为（ ） A．32 3 B．28 3 C．24 3 D．20 3 解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为 A； （2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6· 4 3 ·2 2＝6 3 ，S 下＝6· 4 3 ·4 2＝24 3 ， V 台＝ ( ) 28 3 3 1 h S上 + S上 S下 + S下 = ，答案 B。 点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种 解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型 6：圆柱的体积、表面积及其综合问题 例 6．（2000 全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与 侧面积的比是（ ） A． 2 1+ 2 B． 4 1+ 4 C． 1+ 2 D． 2 1+ 4 解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题设知 h=2πr. ∴S 全=2πr 2+（2πr）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2 r 2， ∴ 2 1+ 2 = 侧 全 S S 。答案为 A。 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识
例7.(2003京春理13,文14)如图9—9,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适 量的水若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则一= (2 解析:水面高度升高r,则圆柱体积增加xR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积, 因此有x}=R。故 3·答案为23 R 2 点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 题型4圆锥的体积、表面积及综合间题 例8.(1)(202京皖春,7)在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如 图所示),若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是() 9 2 图 (2)(2001全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为√3,则这个圆锥的 全面积是()A.3xB.3√3xC.6xD.9x 解析:(1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥C一ADE与圆锥B-ADE体积之差,又 ∵求得AB=1 ∴V=V B-ADE 3·1 答案D (2)∵S=- absin0,∴-a2sin60° ∴a=4,a=2,a=2r, =1,S全=2丌r+xp2=2+=3丌,答案A 点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志,是高考从深层上考査空间想象能力的主要方向
例 7．（2003 京春理 13，文 14）如图 9—9，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 r R = 。 解析：水面高度升高 r，则圆柱体积增加πR 2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积， 因此有 3 4 πr 3=πR 2 r。故 3 2 3 = r R 。答案为 3 2 3 。 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 题型 4：圆锥的体积、表面积及综合问题 例 8．（1）（2002 京皖春，7）在△ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如 图所示），若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A． 2 9 π B． 2 7 π C． 2 5 π D． 2 3 π （2）（2001 全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的 全面积是（ ）A．3π B．3 3 π C．6π D．9π 解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥 C—ADE 与圆锥 B—ADE 体积之差，又 ∵求得 AB=1。 ∴ 2 3 3 1 3 1 2 5 3 3 1 V =VC−ADE −VB−ADE = − = ，答案 D。 （2）∵S＝ 2 1 absinθ，∴ 2 1 a 2 sin60°＝ 3 ， ∴a 2＝4，a＝2，a=2r， ∴r＝1，S 全＝2πr＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案 A。 点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 图
例9.(2000全国文,12)如图所示,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线 OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的 余弦值为 B 式入 解析:如图所示,由题意知,一丌2h=-丌R2h ∴r= 又△ABO∽△CAO r OA R ,∴OA2=r·R OA R OA R 2 v’谷案为t 点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 题型5:球的体积、表面积 例10.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,求球的表面积。 解:设截面圆心为O,连结OA,设球半径为R, 则OA=2x5x2=25 在R△OOA中,OA2=OA2+OO2 R- √ R 4 ∴R 64 点评:正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系
例 9．（2000 全国文，12）如图所示，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线， OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的 余弦值为（ ） A． 3 2 1 B． 2 1 C． 2 1 D． 4 2 1 解析：如图所示，由题意知， 3 1 πr 2h＝ 6 1 πR 2h， ∴r＝ 2 R ． 又△ABO∽△CAO， ∴ R OA OA r = ，∴OA2＝r·R＝ 4 2 2 , 2 R OA R = ， ∴cosθ＝ 4 2 1 = R OA ，答案为 D。 点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 题型 5：球的体积、表面积 例 10 ． 已知过球面上 A B C , , 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 ， 且 AB BC CA = = = 2 ，求球的表面积。 解：设截面圆心为 O ，连结 OA ，设球半径为 R ， 则 2 3 2 3 2 3 2 3 O A = = ， 在 Rt O OA 中， 2 2 2 OA O A O O = + ， ∴ 2 2 2 2 3 1 ( ) 3 4 R R = + ， ∴ 4 3 R = ， ∴ 2 64 4 9 S R = = 。 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。 图 图
例11.如图所示,球面上有四个点P、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。 解析:如图,设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心到该圆面 的距离为d。 在三棱锥P一ABC中,∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a AB=BC=CA=√2a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O 由正弦定理,得 6 sn60° 又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC P、O、O′共线,球的半径R=√r2+d2。又PO′=√PA2 ∴0O′=R a=d=√R2-r2(R )2=R2-(a)2,解得 S球=4R2=3a 点评:本题也可用补形法求解。将P一ABC补成一个正方体,由对称性可知,正方体 内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R=√a下略 题型9:球的面积、体积综合问题 例12.(1)(2006四川文,10)如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶 点A,BC,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,如果=16 则球O的表面积是() B.8丌C.12丌 (2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为√6, 求球的表面积和体积 解析:(1)如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点
例 11．如图所示，球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。 解析：如图，设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r，圆心为 O′，球心到该圆面 的距离为 d。 在三棱锥 P—ABC 中，∵PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。 由正弦定理，得 sin 60 2a =2r,∴r= 3 6 a。 又根据球的截面的性质，有 OO′⊥平面 ABC，而 PO′⊥平面 ABC， ∴P、O、O′共线，球的半径 R= 2 2 r + d 。又 PO′= 2 2 PA − r = 2 2 3 2 a − a = 3 3 a， ∴OO′=R － 3 3 a=d= 2 2 R − r ,(R－ 3 3 a) 2=R2 – ( 3 6 a) 2，解得 R= 2 3 a, ∴S 球=4πR 2=3πa 2。 点评：本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体 内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R= 2 3 a,下略。 题型 9：球的面积、体积综合问题 例 12．（1）（2006 四川文，10）如图，正四棱锥 P ABCD − 底面的四个顶 点 A B C D , , , 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上，如果 16 3 VP ABCD − = ， 则球 O 的表面积是（ ） A． 4 B．8 C．12 D．16 （2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 6 ， 求球的表面积和体积。 解析：（1）如图，正四棱锥 P ABCD − 底面的四个顶点
AB,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,PO⊥底面ABCD,PO=R, s=2R2 16 VP-ABCd 3 所以.2R2.R=2,球O的表面积是16x,选D (2)作轴截面如图所示 CC"=√6,AC=√2·√6=2√3 设球半径为R 则R2=OC2+CC (√6)2+(√3)2=9 R=3 S=4zR2=36,V=1R3=36z 点评:本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素 例13.表面积为324丌的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积 解:设球半径为R,正四棱柱底面边长为a, 则作轴截面如图,A=14,AC=√2a, 又∵4丌R2=324丌,∴R=9, AC= =√AC"-CC"2=8√,∴a=8, ∴S=64×2+32×14=576
A B C D , , , 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上，PO⊥底面 ABCD，PO=R， 2 2 ABCD S R = ， 16 3 VP ABCD − = ，所以 1 16 2 2 3 3 = R R ，R=2，球 O 的表面积是 16 ，选 D。 （2）作轴截面如图所示， CC = 6 ， AC = = 2 6 2 3 ， 设球半径为 R ， 则 2 2 2 R OC CC = + 2 2 = + = ( 6) ( 3) 9 ∴ R = 3， ∴ 2 S R 球 = = 4 36 ， 4 3 36 3 V R 球 = = 。 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素。 例 13．表面积为 324 的球，其内接正四棱柱的高是 14 ，求这个正四棱柱的表面积。 解： 设球半径为 R ，正四棱柱底面边长为 a ， 则作轴截面如图， AA =14， AC a = 2 ， 又∵ 2 4 324 R = ，∴ R = 9， ∴ 2 2 AC AC CC = − = 8 2 ，∴ a = 8， ∴ S表 = + = 64 2 32 14 576
题型6;球的经 求面距高问题 例14.在半径为13cm的球面上有A,B,C三点,AB=BC=AC=12cm,求球心到经过 这三点的截面的距离。 解:设经过A.B.C三点的截面为⊙O 设球心为O,连结OO,则OO⊥平面ABC AO=y3×12×2=43, OO=√Or2-OH2=11 所以,球心到截面距离为llcm 例15.在北纬45圈上有A,B两点,设该纬度圈上A,B两点的劣弧长为~2丌R(R为地 球半径),求A,B两点间的球面距离 解:设北纬45圈的半径为r,则r=yR,设O为北纬45圈的圆心,∠AOB=a R Ro 4冷 AB=√2r=R, R ∴△4BC中,∠AOB=, 所以,A,B两点的球面距离等于-R 点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角, 例16.地球半径为R,A、B两地都在北纬45°线上,且A、B的球面距离为3,求A、B 两地经度的差. 解:90度
题型 6：球的经纬度、球面距离问题 例 14．在半径为 13cm 的球面上有 A B C , , 三点， AB BC AC cm = = =12 ，求球心到经过 这三点的截面的距离。 解：设经过 A B C , , 三点的截面为⊙ O， 设球心为 O ，连结 OO ，则 OO ⊥ 平面 ABC ， ∵ 3 2 12 4 3 2 3 AO = = ， ∴ 2 2 OO OA OA = − =11， 所以，球心到截面距离为 11cm ． 例 15．在北纬 45 圈上有 A B, 两点，设该纬度圈上 A B, 两点的劣弧长为 2 4 R （ R 为地 球半径），求 A B, 两点间的球面距离。 解：设北纬 45 圈的半径为 r ，则 2 4 r R = ，设 O 为北纬 45 圈的圆心， AO'B = ， ∴ 2 4 r R = ，∴ 2 2 2 4 R R = ， ∴ 2 = ，∴ AB r R = = 2 ， ∴ ABC 中， 3 AOB = ， 所以， A B, 两点的球面距离等于 3 R ． 点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角， 例 16．地球半径为 R，A、B 两地都在北纬 45°线上，且 A、B 的球面距离为 ，求 A、B 两地经度的差. 解：90 度
空间几何体的表面积和体积思维总结 正四面体的性质设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的 (1)全面积:S全=√3a 2)体积:V=a3 (3)对棱中点连线段的长:d √6 (4)内切球半径:r=a 6 (5)外接球半径 (6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2.直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角 四面体有下列性质: 如图,在直角四面体AOCB中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c 则:①不含直角的底面ABC是锐角三角形 A ②直角顶点0在底面上的射影H是△ABC的垂心; ③体积V=-abc H ④底面△=1√ab2+b2c2+ca2 △ABC-△BHC ⑥S2△B0C=S2△Moe+S32△AC=S2 △ABL oH- a b- c ⑧外切球半径R=√a2+b2+c2; 内切球半径r=SAm+S-S a+b+c 3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角 ①如图,圆锥的顶角为β,母线与下底面所成角为a,母线为1,高为h,底面半径为 Sin a =cos
空间几何体的表面积和体积思维总结 1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全= 3 a 2； (2)体积：V= 12 2 a 3； (3)对棱中点连线段的长：d= 2 2 a； (4)内切球半径：r= 12 6 a； (5)外接球半径 R= 4 6 a； (6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角 四面 体有下列性质： 如图，在直角四面体 AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。 则：①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形； ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 6 1 abc； ④底面△ABC= 2 1 2 2 2 2 2 2 a b + b c + c a ； ⑤S 2 △ABC=S△BHC·S△ABC； ⑥S 2 △BOC=S2 △AOB+S2 △AOC=S2 △ABC ⑦ 2 1 OH = 2 1 a + 2 1 b + 2 1 c ; ⑧外切球半径 R= 2 1 2 2 2 a + b + c ； ⑨内切球半径 r= a + b + c AOB + BOC SABC S S - 3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为 l，高为 h，底面半径为 r，则 sinα=cos 2 = l h ， α+ 2 =90°
cos a= p=r ②圆台如图,圆台母线与下底面所成角为a,母线为1,高为h,上、下底面半径分 别为r 则h= Isin a,rr′= Icos a ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面 (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆 2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面 (3)球心和截面距离d,球半径R,截面半径r有关系: R-d 4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆 北极 地 Q线 纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆; 南极 经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平 面所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。 (665北极圈 a2北回归线
cosα=sin 2 = l r . ②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为 l，高为 h，上、下底面半径分 别为 r ′、r，则 h=lsinα，r-r′=lcosα。 ③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面； (3)球心和截面距离 d,球半径 R，截面半径 r 有关系： r= 2 2 R - d . 4．经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆； 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平 面所成的二面角的度数。 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数