空间几何体的表面积与体积 基础知识 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S國柱侧=2Tr S锥侧=兀 S瞬台侧=(r+r′)l ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和 ②圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圓柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆 锥,由此可得 S柱侧=2πrl S园台侧=π(r+r)l S锥侧=丌rL 2.空间几何体的表面积与体积公式 名称 表面积 体积 几何体 柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S 锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S+S底 台体(棱台和圆台)S表面积=S+S上+S下 =3(S上+Sx+√SSh 球 、常用结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球,则2R=√3a ②若球为正方体的内切球,则2R=a
空间几何体的表面积与体积 一、基础知识 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r＋r′)l ①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. ②圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆 锥，由此可得： 2．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝ 1 3 Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝ 1 3 (S 上＋S 下＋ S上S下)h 球 S＝4πR 2 V＝ 4 3 πR 3 二、常用结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切,则2R=√Ea (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R √a2+b2+c (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1 考点一空间几何体的表面积 典例(1)2018全国卷1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O,过直线OO 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为() D.10π (2)(2019沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是() 视图侧视图 俯视图 A.4+42 B.4√2+2 C.8+4 解析](1)设圆柱的轴截面的边长为x, 则 得x=2E .Smk=2Sk+S=2×兀×(V22+2xV×2V =12π故选B (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥 P-ABCD, 图所示,其中PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2,AB 2. PB 所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和, 即S=2×(×2×2+×2x2V2)=4+4互,故选A 答案](1)B(2)A 1.(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为()
③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a 2＋b 2＋c 2 . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 考点一 空间几何体的表面积 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π (2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( ) A．4＋4 2 B．4 2＋2 C．8＋4 2 D.8 3 [解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为 x， 则 x 2＝8，得 x＝2 2， ∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2) 2＋2π× 2×2 2 ＝12π.故选 B. (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥 PABCD，如 图所示，其中 PA⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 PA＝2，AB ＝2，PB＝2 2，所以该四棱锥的侧面积 S 是四个直角三角形的面积和， 即 S＝2× 1 2 ×2×2＋ 1 2 ×2×2 2 ＝4＋4 2，故选 A. [答案] (1)B (2)A [题组训练] 1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
正视图 侧视图 俯视图 A.28 B.24+2 C.20+45 解析:选B如图,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别 2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABE-DCMH,则该几何体的 表面积S=(2×2)×5+(1×1×2)×2+2×1+2×√5=24+2故选 2.(2018郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 正视图 侧视图 俯视图 A.20+√2x B.24+( 2 C.24+(2-V2 D.20+(V2+1)x 解析:选B由三视图知,该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、 高为1的圆锥后所剩余的部分,所以该几何体的表面积S=6×2-m×12+x×1×2=24+ (V2-1)元,故选B 考点二空间几何体的体积 「典例(1)(2019开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为()
A．28 B．24＋2 5 C．20＋4 5 D．20＋2 5 解析：选 B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为 2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱 ABIEDCMH，则该几何体的 表面积 S＝(2×2)×5＋ 1 2 ×1×2 ×2＋2×1＋2× 5＝24＋2 5.故选 B. 2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ( ) A．20＋ 2π B．24＋( 2－1)π C．24＋(2－ 2)π D．20＋( 2＋1)π 解析：选 B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个底面半径为 1、 高为 1 的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积 S＝6×2 2－π×1 2＋π×1× 2＝24＋ ( 2－1)π，故选 B. 考点二 空间几何体的体积 [典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为( )
正视图 俯视图 (2)(2018天津高考)如图,已知正方体 ABCD-AIB1C1D1的棱长为1,则四棱锥A-BB1D1D 的体积为 「解析 (1)直接法 由题意知该几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分,设底面扇形 的圆心角为a,由tna=3=√5 得a=,故底面面积为××23’ 3 几何体的体积为 ×3=2π (2)法一:直接法 连接A1C1交B1D1于点E,则A1E⊥B1D1,A1E⊥BB1,则A1E⊥平 面BB1D1D 所以A1E为四棱锥A1BDD的高,且AE=Y2 矩形BB1D1D的长和宽分别为√2,1, 故H121D=5×(1×√V2) 法二:割补法 连接BD1,则四棱锥A1-BB1D1D分成两个三棱锥B-A1DD1与B-A1B1D1, 所以H4122D=VB4D1+BA1121=××1×1×1+3××1×1×1 答案](1)B(2)
A．4π B．2π C.4π 3 D．π (2)(2018·天津高考)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为________． [解析] (1)直接法 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形 的圆心角为 α，由 tan α＝ 3 1 ＝ 3，得 α＝ π 3 ，故底面面积为1 2 × π 3 ×2 2＝ 2π 3 ，则该 几何体的体积为2π 3 ×3＝2π. (2)法一：直接法 连接 A1C1 交 B1D1 于点 E，则 A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则 A1E⊥平 面 BB1D1D， 所以 A1E 为四棱锥 A1BB1D1D 的高，且 A1E＝ 2 2 ， 矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 2，1， 故 VA1 BB1 D1 D＝ 1 3 ×(1× 2)× 2 2 ＝ 1 3 . 法二：割补法 连接 BD1，则四棱锥 A1BB1D1D 分成两个三棱锥 BA1DD1 与 BA1B1D1， 所以 VA1 BB1 D1 D＝VBA1 DD1＋VBA1 B1 D1＝ 1 3 × 1 2 ×1×1×1＋ 1 3 × 1 2 ×1×1×1＝ 1 3 . [答案] (1)B (2)1 3
[题组训练] (等体积法)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且 AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( 12 解析:选A三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-BBC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高 为,底面积为,故其体积为 12 2(割补法)某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是() 正视图 侧视图 A.13 D.16 解析:选C所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体,在长方体中还原该几何体,如图中 ABCD-4′B′CD′ 所示,长方体的长、宽、高分别为4,2,3,两个三棱柱的高为2,底 面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形,故该几何体的体积V 4×2×3-2××3××2=15,故选C 3(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积 正视图 侧视图 俯视图
[题组训练] 1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1 的体积为( ) A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 解析：选 A 三棱锥 B1ABC1 的体积等于三棱锥 AB1BC1 的体积，三棱锥 AB1BC1 的高 为 3 2 ，底面积为1 2 ，故其体积为1 3 × 1 2 × 3 2 ＝ 3 12 . 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( ) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：选 C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中 ABCDA′B′C′D′ 所示，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，两个三棱柱的高为 2，底 面是两直角边长分别为 3 和 1.5 的直角三角形，故该几何体的体积 V ＝4×2×3－2× 1 2 ×3× 3 2 ×2＝15，故选 C. 3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积 为( )
T 解析:选C由三视图知,四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,结合三视图可 得半球半格为从而该几何体的体积1+x()-}+2 考点三与球有关的切、接问题 考法(一)球与柱体的切、接问题 [典例(2017江苏高考)如图,在圆柱OO2内有一个球O,该球与圆柱的上、(C 下底面及母线均相切,记圆柱OO2的体积为,球O的体积为,则的值是 「解析]设球O的半径为R,因为球O与圆柱OO2的上、下底面及母线均相切,所以 圆柱的底面半径为R、高为2R,所以 V1πR2·2R 答案]2 考法(二)球与锥体的切、接问题 典例(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为3,则三棱锥DABC体积的最大值为() B.18√3 3 解析)由等边△ABC的面积为叭5,可得AB2=9万,所以AB=6,所以等边△ABC 的外接圆的半径为r=AB=囚V3设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距 离为a,则d=√R2-=√l6-12=2所以三棱锥DABC高的最大值为2+4=6,所以三棱 锥DABC体积的最大值为x9×6=18 答案]B 题组训练]」
A.1 3 ＋ 2 3 π B.1 3 ＋ 2 3 π C.1 3 ＋ 2 6 π D．1＋ 2 6 π 解析：选 C 由三视图知，四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可 得半球半径为 2 2 ，从而该几何体的体积为1 3 ×1 2×1＋ 1 2 × 4π 3 × 2 2 3＝ 1 3 ＋ 2 6 π. 考点三 与球有关的切、接问题 考法(一) 球与柱体的切、接问题 [典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1 V2 的值是 ________． [解析] 设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，所以 圆柱的底面半径为 R、高为 2R，所以V1 V2 ＝ πR 2 ·2R 4 3 πR 3 ＝ 3 2 . [答案] 3 2 考法(二) 球与锥体的切、接问题 [典例] (2018·全国卷Ⅲ)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( ) A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3 [解析] 由等边△ABC 的面积为 9 3，可得 3 4 AB2＝9 3，所以 AB＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为 r＝ 3 3 AB＝2 3.设球的半径为 R，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距 离为 d，则 d＝ R 2－r 2＝ 16－12＝2.所以三棱锥 DABC 高的最大值为 2＋4＝6，所以三棱 锥 DABC 体积的最大值为1 3 ×9 3×6＝18 3. [答案] B [题组训练]
1.(2018福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2,底面半径为3,若该圆柱的 两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于() 解析:选D如图,由题意知圆柱的中心O为这个球的球心, 于是,球的半径r=OB=VO4+AB=√12+0)=2 故这个球的表面积S=4m2=16π故选D 2.三棱锥PABC中,AB=BC=√15,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的 外接球表面积为 解析:由题可知,△ABC中AC边上的高为√l5-3=√6,球心O在底面ABC的投影 即为△ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,所以x=32+(6-x)2,解得 5√6 所以 R=+(9=3+1-=3其中R为三棱锥外接球的半径,所以外接球的表面积S=4R 答案:83 [课时跟踪检测 1.(2019深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所 得截面的面积与球的体积的比值为() 9 B 解析:选A由题意知所得截面为圆,设该圆的半径为r,则22=12+r2,所以P2=3, 所以所得截面的面积与球的体积的比值为xX39故选A x×23 2.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为()
1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为 2，底面半径为 3，若该圆柱的 两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( ) A．4π B.16 3 π C.32 3 π D．16π 解析：选 D 如图，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心， 于是，球的半径 r＝OB＝ OA2＋AB2＝ 1 2＋( 3) 2＝2. 故这个球的表面积 S＝4πr 2＝16π.故选 D. 2．三棱锥 PABC 中，AB＝BC＝ 15，AC＝6，PC⊥平面 ABC，PC＝2，则该三棱锥的 外接球表面积为________． 解析：由题可知，△ABC 中 AC 边上的高为 15－3 2＝ 6，球心 O 在底面 ABC 的投影 即为△ABC 的外心 D，设 DA＝DB＝DC＝x，所以 x 2＝3 2＋( 6－x) 2，解得 x＝ 5 6 4 ，所以 R 2＝x 2＋ PC 2 2＝ 75 8 ＋1＝ 83 8 (其中 R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积 S＝4πR 2 ＝ 83 2 π. 答案：83 2 π [课时跟踪检测] 1．(2019·深圳摸底)过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所 得截面的面积与球的体积的比值为( ) A. 9 32 B. 9 16 C.3 8 D. 3 16 解析：选 A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为 r，则 2 2＝1 2＋r 2，所以 r 2＝3， 所以所得截面的面积与球的体积的比值为 π×3 4 3 π×2 3 ＝ 9 32，故选 A. 2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
正视图 侧视图 俯视图 C.16 解析:选B由三视图知,此几何体是一个三棱锥,底面为一边长为6,高为2的三角 形,三棱锥的高为4,所以体积为V=××6×2×4=8故选B 3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如 下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几 何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四 分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为162立方尺,圆周率约 为3,估算出堆放的米约有() A.14斛 B.22斛 66斛 解析:选B设米堆的底面半径为r尺,则=8,所以产16所以米堆的体积为V= 又×hx产2×5=12×(兀/xS、以多人,故堆放的米约、162≈22斛) 4.(2018贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成的,其 图如图所示,则该几何体的体积为 3 正视图 侧视图 5 cm 俯视图 A. 35 cm B. 40 cm3 D. 75 cm3 解析:选A结合题中三视图可得,该几何体是个组合体,该组合体从下到上依次为长、 宽、高分别为5cm,5cm,1cm的长方体,长、宽、高分别为3cm,3cm,lcm的长方体,棱长 为1cm的正方体,故该组合体的体积V=5×5×1+3×3×1+1×1×1=35(cm3).故选A
A．4 B．8 C．16 D．20 解析：选 B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为 6，高为 2 的三角 形，三棱锥的高为 4，所以体积为 V＝ 1 3 × 1 2 ×6×2×4＝8.故选 B. 3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如 下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几 何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四 分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和 堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约 为 3，估算出堆放的米约有( ) A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 解析：选 B 设米堆的底面半径为 r 尺，则π 2 r＝8，所以 r＝ 16 π ，所以米堆的体积为 V＝ 1 4 × 1 3 π×r 2×5＝ π 12 × 16 π 2×5≈ 320 9 (立方尺)．故堆放的米约有320 9 ÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为 1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三 视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．35 cm3 B．40 cm3 C．70 cm3 D．75 cm3 解析：选 A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、 宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长 为 1 cm 的正方体，故该组合体的体积 V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3 )．故选 A
5.(2019安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 正视图 侧视图 俯视图 B 解析:选C法一:该几何体的直观图为四棱锥S∽ABCD,如图,SD⊥平面ABCD,且 SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连接BD,由题意 知BD⊥DC,BD⊥AB,且BD=1,所以S边形ABCD=1,所以 SabCo 边BCDD了 ,故选C 法二:由三视图易知该几何体为锥体,所以V=Sh,其中S指的是锥体的底面积,即 俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知h=1,所 以=1sh=1.故选C 6.(2019重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为() 正视图 侧视图 俯视图 8V3兀8√3 4 8√3,4√3 解析:选B由三视图知,该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的,其中圆 锥的底面半径为2、高为4-2=2√5,三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角 形,三棱锥的高为2√万,所以该组合体的体积=1××2×2+1×1×4×2×2=
5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A．1 B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析：选 C 法一：该几何体的直观图为四棱锥 S ABCD，如图，SD⊥平面 ABCD，且 SD＝1，四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝DC＝1，连接 BD，由题意 知 BD⊥DC，BD⊥AB，且 BD＝1，所以 S 四边形 ABCD＝1，所以 VSABCD＝ 1 3 S 四边形 ABCD·SD＝ 1 3 ，故选 C. 法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 V＝ 1 3 Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即 俯视图中四边形的面积，易知 S＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知 h＝1，所 以 V＝ 1 3 Sh＝ 1 3 ，故选 C. 6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( ) A.8 3π 3 ＋ 8 3 3 B.4 3π 3 ＋ 8 3 3 C.4 3π 3 ＋ 4 3 3 D.8 3π 3 ＋ 4 3 3 解析：选 B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆 锥的底面半径为 2、高为 4 2－2 2＝2 3，三棱锥的底面是斜边为 4、高为 2 的等腰直角三角 形，三棱锥的高为 2 3，所以该组合体的体积 V＝ 1 2 × 1 3 π×2 2×2 3＋ 1 3 × 1 2 ×4×2×2 3＝
4 +2,故选B. 7.(2019湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同, 则该几何体的表面积为() 视图 侧视图 俯视图 A.16+12 B.32+12 C.24+12 D.32+20π 解析:选A由三视图知,该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体,且正四棱柱的高 为√E,底面对角线长为4,球的半径为2,所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2,该 几何体的表面积S=×4x×22+π×2+2××4=12x+16,故选A 8(2019.州质检)已知正三棱柱 ABC-A,B,C中,底面积为32,一个侧面的周长为65, 则正三棱柱ABC-A1BC1外接球的表面积为() C.16 D.32π 解析:选C如图所示,设底面边长为a,则底面面积为=3NE, 所以a=√3又一个侧面的周长为65,所以A1=2N3设E,D分别为A 上、下底面的中心,连接DE,设DE的中点为O,则点O即为正三棱 柱ABC·A1B3C1的外接球的球心,连接OA,A1E,则OE=3,A1E=3 x￥×2=1在直角三角形OEA中,O1=√P+5=2,即外接球的 半径R=2,所以外接球的表面积S=4πR2=16π,故选C. 9.(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积 为18,则这个球的体积为 解析:由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为√5 设该正方体外接球的半径为R,则2R=3,R=2 所以这个球的体积为R=4×27
4 3π 3 ＋ 8 3 3 ，故选 B. 7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同， 则该几何体的表面积为( ) A．16＋12π B．32＋12π C．24＋12π D．32＋20π 解析：选 A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高 为 2，底面对角线长为 4，球的半径为 2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为 2 2，该 几何体的表面积 S＝ 1 2 ×4π×2 2＋π×2 2＋2 2× 2×4＝12π＋16，故选 A. 8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABCA1B1C1 中，底面积为3 3 4 ，一个侧面的周长为 6 3， 则正三棱柱 ABCA1B1C1 外接球的表面积为( ) A．4π B．8π C．16π D．32π 解析：选 C 如图所示，设底面边长为 a，则底面面积为 3 4 a 2＝ 3 3 4 ， 所以 a＝ 3.又一个侧面的周长为 6 3，所以 AA1＝2 3.设 E，D 分别为 上、下底面的中心，连接 DE，设 DE 的中点为 O，则点 O 即为正三棱 柱 ABCA1B1C1 的外接球的球心，连接 OA1，A1E，则 OE＝ 3，A1E＝ 3 × 3 2 × 2 3 ＝1.在直角三角形 OEA1 中，OA1＝ 1 2＋( 3) 2＝2，即外接球的 半径 R＝2，所以外接球的表面积 S＝4πR 2＝16π，故选 C. 9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 18，则这个球的体积为________． 解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为 R，则 2R＝3，R＝ 3 2 ， 所以这个球的体积为4 3 πR 3＝ 4π 3 × 27 8 ＝ 9π 2