3.1.1倾斜角与斜率 (一)教学目标 知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念 (2)理解直线倾斜角的唯一性 (3)理解直线斜率的存在性 (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式 2.过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题,进而转化为倾斜角的 正切即斜率问题(代数问题)进行解决,使学生不断体会“数形结合”的思想方法 3.情感、态度与价值观 (1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观 察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力 (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合的思想, 培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 (二)教学重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式 (三)教学方法 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 我们知道,经过两点有且只学生回答(不能确定) 有(确定)一条直线,那么 (1)它们都经过点P 过一点P的直线l的位置能确定 (2)它们的倾斜程度不 提出问题吗?如图,过一点P可作无数多同 设疑激趣 引入条直线a,b,c,…易见,答案接着教师提出:怎样描述导入课题 是否定的,这些直线有什么联系这种倾斜程度的不同?由此引 呢 入课题 直线的倾斜角的概念 1.直线倾斜角的概念 教师提问: 当直线l与x轴相交时,取 倾斜角α的取值范围是什 x轴作为基准,x轴正向与直线 么?0≤a<180 概念形成/7向上方向之间所成的角a叫做 直线l的倾斜角特别地,当直线 当直线|与x轴重合时 与x轴平行或重合时,规定 a=90 (由学生结合图形回答) 因为平面直角坐标系内的教师提问 每一条直线都有确定的倾斜程 如左图,直线a∥b∥c,那这种师生 度,引入直线的倾斜角之后,我么它们的倾斜角a相等吗? 互动引导 概念深化/们就可以用倾斜角a来表示平 学生回答后作出结论 学生明确 面直角坐标系内的每一条直线 个倾斜角a不能确定一确定一条 的倾斜程度 条直线,进而得出.确定一条直直线位置 线位置的几何要素 的两个几 何要素
3.1.1 倾斜角与斜率 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. （2）理解直线倾斜角的唯一性. （3）理解直线斜率的存在性. （4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 2．过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的 正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3．情感、态度与价值观 （1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观 察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想， 培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. （二）教学重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. （三）教学方法 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出问题 引入 我们知道，经过两点有且只 有（确定）一条直线，那么，经 过一点 P 的直线 l 的位置能确定 吗？如图，过一点 P 可作无数多 条直线 a，b，c，…易见，答案 是否定的，这些直线有什么联系 呢？ 直线的倾斜角的概念. 学生回答（不能确定） （1）它们都经过点 P. （2）它们的倾斜程度不 同. 接着教师提出：怎样描述 这种倾斜程度的不同？由此引 入课题. 设疑激趣 导入课题 概念形成 1．直线倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做 直线 l 的倾斜角.特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定 = 0 . 教师提问： 倾斜角 的取值范围是什 么？ 0 180 当直线 l 与 x 轴重合时 = 90 （由学生结合图形回答） 概念深化 因为平面直角坐标系内的 每一条直线都有确定的倾斜程 度，引入直线的倾斜角之后，我 们就可以用倾斜角 来表示平 面直角坐标系内的每一条直线 的倾斜程度. 教师提问： 如左图，直线 a∥b∥c，那 么它们的倾斜角 相等吗？ 学生回答后作出结论. 一个倾斜角 不能确定一 条直线，进而得出. 确定一条直 线位置的几何要素. 通 过 这种师生 互动引导 学生明确 确定一条 直线位置 的两个几 何要素
确定平面直角坐标系内的 条直线位置的几何要素:一个 点P和一个倾斜角a 2.直线的斜率 教师提问:(由学生讨论后 条直线的倾斜角a(a≠回答) 90°)的正切值叫做这条直线的 (1)当直线l与x轴平行 斜率斜率常用小写字母k表示,或重合时,k为多少? 设疑激发 概念形成 即k=tana 由此可知,一条直线l的倾 (2)当直线|与x轴垂/学生思考 斜角a一定存在,但是斜率k时,k还存在吗? 得出结论 不一定存在例如a=45°时 a=90°,k不存在 k=tan45°=1 3.直线的斜率公式 教师提出问题: 给定两点P1(x1,y),P2(x y2),x1≠x2,如何用两点的坐标 对于上面的斜率公式要注来表示直线P1、P2的斜率? 意下面四点: 可用计算机作动画演示: (1)当x1=x2时,公式右直线PP2的四种情况,并引导 边无意义,直线的斜率不存在,学生如何作辅助线,共同完成 倾斜角a=90°,直线与x轴垂|斜率公式的推导 借助多媒 (2)k与P1、P2的顺序无 体演示让 概念形成关,即y、均和x、x在公式中 学生亲自 的前后次序可以同时交换,但分 体会斜率 子与分母不能交换; 公式的推 (3)斜率k可以不通过倾 导过程 斜角而直接由直线上两点的坐 标求得 (4)当y=y2时,斜率k 0,直线的倾斜角a=0°,直线 与x轴平行或重合 (5)求直线的倾斜角可以 由直线上两点的坐标先求斜率 而得到
确定平面直角坐标系内的 一条直线位置的几何要素：一个 点 P 和一个倾斜角 . 概念形成 2．直线的斜率 一条直线的倾斜角 （ ≠ 90°）的正切值叫做这条直线的 斜率.斜率常用小写字母 k 表示， 即 k = tan . 由此可知，一条直线 l 的倾 斜角 一定存在，但是斜率 k 不一定存在. 例如 = 45°时 k = tan45°= 1 = 135°时 k = tan135°= –1 教师提问：（由学生讨论后 回答） （1）当直线 l 与 x 轴平行 或重合时，k 为多少？ k = tan0°= 0 （2）当直线 l 与 x 轴垂直 时，k 还存在吗？ = 90°，k 不存在 设疑激发 学生思考 得出结论 概念形成 3．直线的斜率公式 2 1 2 1 y y k x x − = − 对于上面的斜率公式要注 意下面四点： （1）当 x1 = x2 时，公式右 边无意义，直线的斜率不存在， 倾斜角 = 90°，直线与 x 轴垂 直； （2）k 与 P1、P2 的顺序无 关，即 y1、y2 和 x1、x2 在公式中 的前后次序可以同时交换，但分 子与分母不能交换； （3）斜率 k 可以不通过倾 斜角而直接由直线上两点的坐 标求得； （4）当 y1 = y2 时，斜率 k = 0，直线的倾斜角 = 0°，直线 与 x 轴平行或重合. （5）求直线的倾斜角可以 由直线上两点的坐标先求斜率 而得到. 教师提出问题： 给定两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2， y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标 来表示直线 P1、P2 的斜率？ 可用计算机作动画演示： 直线 P1P2 的四种情况，并引导 学生如何作辅助线，共同完成 斜率公式的推导. 借助多媒 体演示让 学生亲自 体会斜率 公式的推 导过程. y a b c O x
例1已知A(3,2),B(-4 学生分析求解,教师板书 1),C(0,-1),求直线AB,BC, 例1略解:直线AB的斜 CA的斜率,并判断它们的倾斜率k=17>0,所以它的倾斜角 角是钝角还是锐角(用计算机a是锐角 作直线,图略) 直线BC的斜率k=-0.50时,倾斜 角α是锐角 通过应用 而当k=tana=0时,倾叙 进一步理 应用举例角a是0 解倾斜角 例2在平面直角坐标系例2略解:设直线a上的斜率的有 中,画出经过原点且斜率分别为另个一点M的坐标为x,y),根关定义 1,-1,2及3的直线a,b,c,据斜率公式有1=(-0(x-0) 所以x=y 分析:要画出经过原点的直可令x=1,则y=1,于是 线a,只要再找出a上的另个一点M的坐标为(1,1此时过原 点M而M的坐标可以根据直线点和点M1,1,可作直线a a的斜率确定;或者k=tana 理,可作直线b,c,1 是特殊值,所以也可以以原点为(用计算机作动画演示画直线 角的顶点,x轴的正半轴为角的过程) 边,在x轴的上方作45°的 课堂练习:P911题、2题、 角,再把所作的这一边反向延长3题、4题 成直线即可 (1)直线的倾斜角和斜率 引导 师生共同总结一一交流 归纳总结的概念 完善 学生学会 (2)直线的斜率公式 自己总结 课后作业 布置作业 由学生独立完成 巩固深化 见习案3.1第一课时 备选例题 例1求下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角 (1)(1,1),(2,4);(2)(-3,5),(0,2) (3)(2,3),(2,5);(4)(3,-2),(6,-2) 【解析】(1)k 3>0,所以倾斜角是锐角 (2)k=2-5 1<0,所以倾斜角是钝角 (3)由x=x2=2得:k不存在,倾斜角是90° (4)k= 6-3=0,所以倾斜角为 例2已知点P(√3,1点Q在y轴上,直线PQ的倾斜角为120°,则Q点的坐标为
应用举例 例 1 已知 A (3，2)，B (–4， 1)，C (0，–1)，求直线 AB，BC， CA 的斜率，并判断它们的倾斜 角是钝角还是锐角.（用计算机 作直线，图略） 分析：已知两点坐标，而且 x1 ≠ x2，由斜率公式代入即可 求得 k 的值； 而当 k = tan 0 时，倾斜 角 是钝角； 而当 k = tan 0 时，倾斜 角 是锐角； 而当 k = = tan 0 时，倾斜 角 是 0°. 例 2 在平面直角坐标系 中，画出经过原点且斜率分别为 1，–1，2 及–3 的直线 a，b，c， 1. 分析：要画出经过原点的直 线 a，只要再找出 a 上的另个一 点 M.而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定；或者 k = tan =1 是特殊值，所以也可以以原点为 角的顶点，x 轴的正半轴为角的 一边，在 x 轴的上方作 45°的 角，再把所作的这一边反向延长 成直线即可. 学生分析求解 ，教师板书 例 1 略解：直线 AB 的斜 率 k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角 是锐角. 直线 BC 的斜率 k2 = –0.5＜ 0，所以它的倾斜角 是锐角. 例 2 略解：设直线 a 上的 另个一点 M 的坐标为(x，y)，根 据斜率公式有 1 = (y – 0)/(x – 0) 所以 x = y 可令 x = 1，则 y = 1，于是 点 M 的坐标为(1，1).此时过原 点和点 M(1，1)，可作直线 a. 同理，可作直线 b，c，1. （用计算机作动画演示画直线 过程） 课堂练习：P91 1 题、2 题、 3 题、4 题. 通过应用 进一步理 解倾斜角， 斜率的有 关定义 归纳总结 （1）直线的倾斜角和斜率 的概念. （2）直线的斜率公式. 师生共同总结——交流— —完善 引 导 学生学会 自己总结 课后作业 布置作业 见习案 3.1 第一课时 由学生独立完成 巩固深化 备选例题 例 1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)； （3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2) 【解析】（1） 4 1 3 0 2 1 k − = = − ，所以倾斜角是锐角； （2） 2 5 1 0 0 ( 3) k − = = − − − ，所以倾斜角是钝角； （3）由 x1 = x2 = 2 得：k 不存在，倾斜角是 90° （4） 2 ( 2) 0 6 3 k − − − = = − ，所以倾斜角为 0° 例 2 已知点 P ( 3,1) − 点 Q 在 y 轴上，直线 PQ 的倾斜角为 120°，则 Q 点的坐标为
【解析】因为点Q在y轴上,则可设其坐标为(0,6) 直线PQ的斜率k=tan20°=-5 即Q点坐标为(0,-2)
. 【解析】因为点 Q 在 y 轴上，则可设其坐标为(0，6) 直线 PQ 的斜率 k = tan120°= − 3 ∴ 1 3 0 ( 3) b k − = = − − − ∴b = –2，即 Q 点坐标为 (0, 2) −