课题:7.1直线的倾斜角和斜率(二) 教学目的: 在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上,掌握过两点的直线的斜率 公式并牢记斜率公式的特点及适用范围 2进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用 3.培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的培养; 4充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程 度的两个量这一事实,培养学生数形结合的数学思想。 教学重点:斜率概念理解与斜率公式 教学难点:斜率概念理解与斜率公式。 授课类型:新授课。 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 复习引入: 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反 过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条 直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直 线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记 为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直 线的倾斜角为0° 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜 角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示. 3.概念辨析:①当直线和x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0° ②直线倾斜角的取值范围是0°≤c<180°:③倾斜角是90°的直线没有斜 率 提问 (1)哪些条件可以确定一条直线? (2)在平面直角坐标系中,过点P的任何一条直线l,对x轴的位置有哪些情 形?如何刻划它们的相对位置? (3)给定直线的倾斜角a,如何求斜率? (4)设a是直线的倾斜角,k为其斜率,则当k≥0及k<0时,与之相应的 取值范围是什么 (5)判断正误 ①直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana() ②直线的斜率值为tanB,则它的倾斜角为B() 人行,必有我师
三人行，必有我师 课 题： 7.1 直线的倾斜角和斜率（二） 教学目的： 1.在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率 公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 2.进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用； 3.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养； 4.充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于 x 轴倾斜程 度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想 新疆 学案 王新敞 教学重点：斜率概念理解与斜率公式 新疆 学案 王新敞 教学难点：斜率概念理解与斜率公式 新疆 学案 王新敞 授课类型：新授课 新疆 学案 王新敞 课时安排：1 课时 新疆 学案 王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪 新疆 学案 王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反 过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条 直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直 线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记 为 ，那么 就叫做直线的倾斜角.当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直 线的倾斜角为 0°. 倾斜角的取值范围是 0°≤ ＜180°.倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜 角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示. 3．概念辨析：①当直线和 x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为 0°； ②直线倾斜角的取值范围是 0°≤ ＜180°；③倾斜角是 90°的直线没有斜 率. 提问: ⑴哪些条件可以确定一条直线？ ⑵在平面直角坐标系中，过点 P 的任何一条直线 l ，对 x 轴的位置有哪些情 形？如何刻划它们的相对位置？ ⑶给定直线的倾斜角 ，如何求斜率？ ⑷设 是直线的倾斜角， k 为其斜率，则当 k 0 及 k 0 时，与之相应的 取值范围是什么 ⑸判断正误： ①直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan （ ） ②直线的斜率值为 tan ，则它的倾斜角为 （ ）
③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率() ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平行于y轴的直线的倾斜角不 存在() 讲解新课 4斜率公式:经过两点P(x1y)P2(x2,y2)的直线的斜率公式 ≠X 推导:设直线PP2的倾斜角是a,斜率是k,向量PP2的方向是向上的(如 上图所示).向量PP2的坐标是(x2-x1,y2-y1)过原点作向量OP=PP2 则点P的坐标是(x2-x1,y2-y1),而且直线OP的倾斜角也 是a,根据正切函数的定义,tana= ≠X 即k=22(x1≠x2) y 同样,当向量P2P1的方向向上时也有同样的结论 当x1=x2,y≠y2(即直线和x轴垂直)时,直线的倾 斜角a=90°,没有斜率。 5.斜率公式的形式特点及适用范围: ①斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后 次序可同时颠倒 ②斜率公式表明,直线对于x轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐 标表示,而不需求出直线的倾斜角 ③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础,必须熟记,并且会灵活运用; ④当x1=x2,y1≠y2时,直线的倾斜角a=90°,没有斜率 6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点:需 要知道直线经过一个已知点及方向(即斜率)等等 三、讲解范例 例1求经过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角 人行,必有我师
三人行，必有我师 ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（ ） ④因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于 y 轴的直线的倾斜角不 存在 （ ） 二、讲解新课： 4.斜率公式：经过两点 ( , ), ( , ) 1 1 1 2 2 2 P x y P x y 的直线的斜率公式： ( ) 1 2 2 1 2 1 x x x x y y k − − = 新疆 学案 王新敞 推导：设直线 P1P2 的倾斜角是 ，斜率是 k ，向量 P1P2 的方向是向上的(如 上图所示).向量 P1P2 的坐标是 ( , ) 2 1 2 1 x − x y − y .过原点作向量 OP = P1P2 ， 则点 P 的坐标是 ( , ) 2 1 2 1 x − x y − y ，而且直线 OP 的倾斜角也 是 ，根据正切函数的定义， 2 1 2 1 tan x x y y − − = ( ) 1 2 x x 即 ( ) 1 2 2 1 2 1 x x x x y y k − − = 新疆 学案 王新敞 同样，当向量 P2P1 的方向向上时也有同样的结论. 当 1 2 1 2 x = x , y y （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾 斜角 ＝90 ，没有斜率 新疆 学案 王新敞 5．斜率公式的形式特点及适用范围： ①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后 次序可同时颠倒； ②斜率公式表明，直线对于 x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐 标表示，而不需求出直线的倾斜角； ③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用; ④当 1 2 1 2 x = x , y y 时，直线的倾斜角 ＝90 ，没有斜率 新疆 学案 王新敞 6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点；需 要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等 新疆 学案 王新敞 三、讲解范例： 例 1 求经过 A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角. P O P2 P1 x y P O P1 P2 X y
解:k 3-0 1,就是tana ∵0°≤a0时,a= arctan k;②当k=0时,a=0°; ③当k<0时,a=x- arctan 例3若三点A(2,3),B(3,-2),C(,m)共线,求m的值 2-3m-3 2 拓广:到目前为止共有几种证明三点共线的方法 例4已知三角形的顶点A(0,5),B(1,-2),C(-6,m),BC中点为D,当AD 的斜率为1时,求m的值及AD的长 解:D点坐标为D|-3,m 1→m=7。 5。52 四、课堂练习: 人行,必有我师
三人行，必有我师 解： 1 5 ( 2) 3 0 = − − − − − k = ，就是 tan = −1 0 180 , =135 因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是 135 . 点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 例 2 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 ① ( 2,3) P1 − 、 ( 2,8) P2 − ; 斜率不存在， = 90 ② (5, 2) P1 − 、 ( 2, 2) P2 − − ; k = 0， = 0 ③ ( 1,2) P1 − 、 (3, 4) P2 − 2 3 k = − ， 2 3 = − arctan 点评：结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表 达式：①当 k 0 时， = arctan k ；②当 k = 0 时， = 0 ； ③当 k 0 时， = − arctan k 新疆 学案 王新敞 例 3 若三点 A(2,3)， B(3,−2)， , ) 2 1 C( m 共线，求 m 的值 解： 2 21 2 2 1 3 3 2 2 3 = + − = + − − = m m k k AB AC 新疆 学案 王新敞 拓广：到目前为止共有几种证明三点共线的方法 新疆 学案 王新敞 例 4 已知三角形的顶点 A(0,5)，B(1,−2) ，C(−6,m) ，BC 中点为 D ，当 AD 的斜率为 1 时，求 m 的值及 AD 的长 新疆 学案 王新敞 解： D 点坐标为 − − 2 2 , 2 5 m D ， 1 7 2 5 5 2 2 = = − − − = m m k AD 新疆 学案 王新敞 2 5 2 ) 2 5 ) (5 2 5 ( 2 2 AD = + − = 新疆 学案 王新敞 四、课堂练习：
1若直线l过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线/的斜率为 倾斜角为 2已知直线h1的倾斜角为a1,则h关于x轴对称的直线h2的倾斜角a2为 3已知直线l过A(-2(-)3)、B(2(1--)2)两点,则此直线斜率为_倾斜角 4已知两点A(x,-2),B(3,0),并且直线AB的斜率为,则x 5斜率为2的直线经过(3,5)、(a,)、(-1,b)三点,则a、b的值是() Aa=4,b=0Bc=-4,b=-3C.a=4,b=-3 Da=-4.b=3 6已知两点M2,-3)、N(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交, 则直线l的斜率k的取值范围是() Ak≥或k≤-4B.-4≤k≤33∠k≤4D 3 ≤k≤4 7已知两点A(-3,4)、B(3,2) 2,-1)的直线l与线段AB有公共点 (1)求直线l的斜率k的取值范围 (2)求直线l的倾斜角a的取值范围 8.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后, 又回到原来的位置,求直线l的斜率 9过P(-1,2)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点,若P恰为线段AB 的中点,求直线的斜率和倾斜角。 参考答案: 2当a1=0时,c2=0,当0°<a1<180°时,a=180°-a1 3.-1;135°4.-15C6.A 7.(1)k≤-1或k≥3 (2actn3≤a≤3.8.-1 9.2, arctan 五、小结:通过本节学习,要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率公式,理解 斜率公式的推导 直线的倾斜角a直线的斜率k 直线的斜率公式 定义 k= tan a k=少2-y XI 取值范围 [0,x) 一∞+ (x1≠x2) 六、课后作业: 七、板书设计(略) 人行,必有我师
三人行，必有我师 1.若直线 l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线 l 的斜率为 ,倾斜角为 2.已知直线 l1 的倾斜角为 1，则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 2 为________. 3.已知直线 l 过 A(－2,(t+ t 1 ) 2 )、B(2,(t－ t 1 )2)两点，则此直线斜率为 ,倾斜角 为___ 新疆 学案 王新敞 4.已知两点 A(x,－2),B(3,0),并且直线 AB 的斜率为 2 1 ，则 x= 新疆 学案 王新敞 5.斜率为 2 的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则 a、b 的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=－4,b=－3 C.a=4,b=－3 D.a=－4,b=3 6.已知两点 M(2，－3)、N(－3，－2)，直线 l 过点 P(1，1)且与线段 MN 相交， 则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) 新疆 学案 王新敞 A.k≥ 4 3 或 k≤－4 B.－4≤k≤ 4 3 C. 4 3 ≤k≤4 D.－ 4 3 ≤k≤4 7.已知两点 A(－3,4)、B(3，2)，过点 P(2，－1)的直线 l 与线段 AB 有公共点. (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (2)求直线 l 的倾斜角 的取值范围. 8.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后， 又回到原来的位置，求直线 l 的斜率. 9.过 P(－1,2)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点，若 P 恰为线段 AB 的中点，求直线的斜率和倾斜角 新疆 学案 王新敞 参考答案： 1.－1；135° 2.当 1=0 时, 2＝0，当 0°＜ 1＜180°时， ＝180°－ 1 新疆 学案 王新敞 3.－1;135° 4.－1 5.C 6.A 新疆 学案 王新敞 7.（1）k≤－1 或 k≥3 新疆 学案 王新敞 (2)arctan3≤ ≤ 4 3 新疆 学案 王新敞 8.－ 3 1 9. 2 ，arctan2 新疆 学案 王新敞 五、小结 ：通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率公式，理解 斜率公式的推导 新疆 学案 王新敞 直线的倾斜角 直线的斜率 k 直线的斜率公式 定 义 k = tan 2 1 2 1 x x y y k − − = 取值范围 [0, ) (−,+) ( ) 1 2 x x 六、课后作业： 七、板书设计（略）