《直线的倾斜角和斜率》教案 、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线,了解直线方程的概念,掌握直线的倾斜角和斜 率的概念以及直线的斜率公式 (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析,培养学生分析、提出问题的能力;通 过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系, 培养学生的知识转化、迁移能力 (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质,事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物 主义思想 教材分析 1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进 步研究直线方程的内容进行介绍,以激发学生学习这一部分知识的兴趣;直线 的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位 置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫 2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难 点.由于以后还要专门研究曲线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了 3.疑点:是否有继续研究直线方程的必要? 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1,试判断点A(1,2)和点B(2,1)是否在函数图象上 初中我们是这样解答的: ∵A(1,2)的坐标满足函数式, ∴点A在函数图象上 第1页共7页
第 1 页 共 7 页 《直线的倾斜角和斜率》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜 率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通 过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系， 培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物 主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进 一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线 的倾斜角和斜率是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位 置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难 点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数 y=2x+1，试判断点 A(1，2)和点 B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点 A 在函数图象上．
B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点B不在函数图象上 现在我们问:这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点,要给 足够的时间让学生思考、体会.) 讨论作答:判断点A在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在 函数的图象上;判断点B不在函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标 应满足函数关系式.简言之,就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有 对应关系 (二)直线的方程 引导学生思考:直角坐标平面内,一次函数的图象都是直线吗?直线都是 次函数的图象吗? 次函数的图象是直线,直线不一定是一次函数的图象,如直线x=a连函数 都不是. 一次函数y=kx+b,x=a都可以看作二元一次方程,这个方程的解和它所表示 的直线上的点一一对应 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的 坐标都是这个方程的解.这时,这个方程就叫做这条直线的方程;这条直线就叫 做这个方程的直线. 上面的定义可简言之:(方程)有一个解(直线上)就有一个点;(直线上)有 个点(方程)就有一个解,即方程的解与直线上的点是一一对应的 显然,直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念 (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数,我们对直线的方程已有了一些了解,但有些问题还没有 完全解决,如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直 线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续 研究 (四)直线的倾斜角 第2页共7页
第 2 页 共 7 页 ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点 B 不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给 足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点 A 在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在 函数的图象上；判断点 B 不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标 应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有 一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一 次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线 x=a 连函数 都不是． 一次函数 y=kx+b，x=a 都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示 的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的 坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫 做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一 个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有 完全解决，如 y=kx+b 中 k 的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直 线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续 研究． (四)直线的倾斜角
一条直线1向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾 斜角,如图1-21中的α.特别地,当直线1和x轴平行时,我们规定它的倾斜 角为0°,因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° 图1-2 直线倾斜角角的定义有下面三个要点:(1)以x轴正向作为参考方向(始边); (2)直线向上的方向作为终边;(3)最小正角 按照这个定义不难看出:直线与倾角是多对一的映射关系 (五)直线的斜率 倾斜角不是90°的直线.它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的 斜率常用k表示,即 当a∈[0,x)时,k∈[0,+∞);当Q=时,直线的斜率不存 在;当α∈(,x)时,k∈(-∞°,0,.直线的斜率反映了直线对z轴 的倾斜程度 直线与斜率之间的对应不是映射,因为垂直于x轴的直线没有斜率 (六)过两点的直线的斜率公式 在坐标平面上,已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),由于两点可以确定 条直线,直线PlP2就是确定的.当x1≠x2时,直线的倾角不等于90°时,这 条直线的斜率也是确定的.怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率? 设直线PP2的倾斜角是a,斜率是k,P1P2是向上的方向,从P1 第3页共7页
第 3 页 共 7 页 一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾 斜角，如图 1-21 中的α．特别地，当直线 l 和 x 轴平行时，我们规定它的倾斜 角为 0°，因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°． 直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以 x 轴正向作为参考方向(始边)； (2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角． 按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系． (五)直线的斜率 倾斜角不是 90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的 斜率常用 k 表示，即 直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于 x 轴的直线没有斜率． (六)过两点的直线的斜率公式 在坐标平面上，已知两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一 条直线，直线 P1P2 就是确定的．当 x1≠x2 时，直线的倾角不等于 90°时，这 条直线的斜率也是确定的．怎样用 P2 和 P1 的坐标来表示这条直线的斜率？
P2分别向x轴作垂线PM1、P2M2,再作P1Q⊥P2M,垂足分别是M1、M2、Q.那 么 =∠QPlP2(图1-22甲)或a=π-∠P2P1Q(图1-22乙) 在图1-2中,ta=2=y P1Q 在图1-22乙中,=8∠P2Q≈QP2_y2-y1 B MM M 图1-22 如果PP2向下时,P2P1向上,用前面的结论可得: a=y12=y2-y1 综上所述,我们得到经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公 k=22 y1 对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)当x1=x2时,公式右边无意义, 直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜 率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直 线上两点的坐标先求斜率得到 (七)例题 例1如图1-23,直线11的倾斜角a1=30°,直线12⊥11,求11、12的 斜率 第4页共7页
第 4 页 共 7 页 P2 分别向 x 轴作垂线 P1M1、P2M2，再作 P1Q⊥P2M，垂足分别是 M1、M2、Q．那 么： α=∠QP1P2(图 1-22 甲)或α=π-∠P2P1Q(图 1-22 乙) 综上所述，我们得到经过点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公 式： 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当 x1=x2 时，公式右边无意义， 直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；(2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜 率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直 线上两点的坐标先求斜率得到． (七)例题 例 1 如图 1-23，直线 l1 的倾斜角α1=30°，直线 l2⊥l1，求 l1、l2 的 斜率．
图1-23 解:1的斜率;-230°=43 ∵12的倾斜角α2=90°+30°=120°, 的斜率k2=t √3 本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的,可由学 生课堂练习,学生演板. 例2求经过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角. 解:k=3-0 0-3 5-2 2-(-5) ∴tga=-1. ∵0°≤a<180°, a=135° 因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135° 讲此例题时,要进一步强调k与PP2的顺序无关,直线的斜率和倾斜角可 通过直线上的两点的坐标求得 (八)课后小结 (1)直线的方程的倾斜角的概念 (2)直线的倾斜角和斜率的概念. (3)直线的斜率公式 五、布置作业 1.(1.3练习第1题)在坐标平面上,画出下列方程的直线: (1)y=x 第5页共7页
第 5 页 共 7 页 ∵l2 的倾斜角α2=90°+30°=120°， 本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学 生课堂练习，学生演板． 例 2 求经过 A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角． ∴tgα=-1． ∵0°≤α＜180°， ∴α=135°． 因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是 135°． 讲此例题时，要进一步强调 k 与 P1P2 的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可 通过直线上的两点的坐标求得． (八)课后小结 (1)直线的方程的倾斜角的概念． (2)直线的倾斜角和斜率的概念． (3)直线的斜率公式． 五、布置作业 1．(1.3 练习第 1 题)在坐标平面上，画出下列方程的直线： (1)y=x
(3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0 作图要点:利用两点确定一条直线,找出方程的两个特解,以这两个特解为 坐标描点连线即可 2.(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角: (1)C(10,8),D(4,-4) (2)P(0,0),Q-1,√3); (3)M(-√3,√2)、I(-2,) 解:(1)k=2a= arct2. (2)k=-3.a=120° (3)k=1 3.(1.4练习第3题)已知:a、b、c是两两不相等的实数,求经过下列每两 个点的直线的倾斜角:(1)A(a,c),(b,c):(2)C(a,b),D(a,c):(3)P(b b+c), Q(a, c+a) 解:(1)a=0°;(2)a=90°;(3)a=45° 4.已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值 解 7-25 7+9a7+9a 3+25 A、B、C三点在一条直线上, ∴kAB=kAC. 57+9 5 解之有a=2或a=2 六、板书设计 第6页共7页
第 6 页 共 7 页 (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0 作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为 坐标描点连线即可． 2．(1.4 练习第 2 题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角： (1)C(10，8)，D(4，-4)； 解：(1)k=2 α=arctg2． (3)k=1，α=45°． 3．(1.4 练习第 3 题)已知：a、b、c 是两两不相等的实数，求经过下列每两 个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b， b+c)，Q(a，c+a)． 解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°． 4．已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值． ∵A、B、C 三点在一条直线上， ∴kAB=kAC． 六、板书设计
1.6直线的倾斜角和斜率 1.直线的方程2.直线的倾斜角 例1 图1-21 4.直线的斜率公式 3.直线的斜率 例 第7页共7页
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