、直线的倾斜角和斜率 A.如何求直线的倾斜角和斜率 设直线l过坐标原点O,它的倾斜角为a,如将l绕坐标原点按逆时针方向旋转,得到直线1,那么 直线l1的倾斜角为 2.将直线1:y=2x+2向右平移3个单位,向上平移2个单位得到直线1,则l1的方程为 B.三点共线问题 3.已知a>0,若平面内三点4(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a 4.若三点A(2,2),B(a,0,.C(0,b)ab≠0)共线,则一× 5.已知三点A(1,-1),B(3,3),C(4,5),求证:三点在同一直线上 (分别用:距离公式法、斜率公式法、直线方程证明) C.直线斜率的取值范围 6.已知两点A(-3,4)B(3,2),过点P(2,-1)的直线/与线段AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围 7.直线ax-y+2=0与连接A(-3,1),B(-1,4)的线段相交,则a的取值范围是 8.已知矩形ABCD中,A(-4,4),D(5,7),中心E在第一象限内且与y轴的距离为1个单位。动点 P(x,y)沿矩形一边BC运动,求卫的取值范围。 二、直线的方程 各种形式的直线方程 点斜式y-y=k(x-x)斜截式y=kx+b两点式y-yx-x 截距式x+2=1 一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0) (讨论:能否适用于垂直x轴或y轴及过原点的直线) 直线/过点M(2,1),且分别与x,y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△4OB的面积最小 时,求直线l的方程 2.已知两直线l1:a1x+by+1=0和l2:a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),则过两点 旦(a1,b)Q2(a2,b2)的直线方程是 对于直线/上任意一点(x,y),点(4x+2y,x+3y)仍在直线l上,求直线l的方程。 4.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转x,所得的直线方程是_ 5.经过点A(1,2),并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有多少条
1 一、直线的倾斜角和斜率 A．如何求直线的倾斜角和斜率 1. 设直线 l 过坐标原点 O，它的倾斜角为 ，如将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 4 ，得到直线 1 l ，那么 直线 1 l 的倾斜角为 。 2. 将直线 l y x : 2 2 = + 向右平移 3 个单位，向上平移 2 个单位得到直线 1 l ，则 1 l 的方程为 。 B．三点共线问题 3. 已知 a 0 ，若平面内三点 2 3 A a B a C a (1, ), (2, ), (3, ) − 共线，则 a = 。 4. 若三点 A B a C b ab (2,2), ( ,0), (0, )( 0) 共线，则 1 1 a b + = 。 5. 已知三点 A B C (1, 1), (3,3), (4,5) − ，求证：三点在同一直线上。 （分别用：距离公式法、斜率公式法、直线方程证明） C．直线斜率的取值范围 6. 已知两点 A B ( 3,4), (3,2) − ，过点 P(2, 1) − 的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 7. 直线 ax y −+= 2 0 与连接 A B ( 3,1), ( 1,4) − − 的线段相交，则 a 的取值范围是 。 8. 已知矩形 ABCD 中， A D ( 4,4), (5,7) − ，中心 E 在第一象限内且与 y 轴的距离为 1 个单位。动点 P x y ( , ) 沿矩形一边 BC 运动，求 y x 的取值范围。 二、直线的方程 A．各种形式的直线方程 点斜式 1 1 y y k x x − = − ( ) 斜截式 y kx b = + 两点式 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − 截距式 1 x y a b + = 一般式 Ax By C + + = 0 （ 2 2 A B + 0 ） （讨论：能否适用于垂直 x 轴或 y 轴及过原点的直线） 1. 直线 l 过点 M (2,1) ，且分别与 x y, 轴的正半轴交于 A B, 两点，O 为坐标原点，当 AOB 的面积最小 时，求直线 l 的方程。 2. 已知两直线 1 1 1 l a x b y : 1 0 + + = 和 2 2 2 l a x b y : 1 0 + + = 的交点为 P(2,3) ，则过两点 1 1 1 2 2 2 Q a b Q a b ( , ), ( , ) 的直线方程是 。 3. 对于直线 l 上任意一点 ( , ) x y ，点 (4 2 , 3 ) x y x y + + 仍在直线 l 上，求直线 l 的方程。 4. 直线 2 2 0 x y − − = 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 2 ，所得的直线方程是 。 5. 经过点 A(1,2) ，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有多少条？
B.三角形面积问题 6.经过点P(-3,4)作直线l,/与两坐标轴围成的三角形的面积为3,求直线l的方程 7.直线/过点P(6,4),与x轴正半轴交于A点,与y轴正半轴交于B点,O为坐标原点。若M为AB上 点,且直线OM的斜率为4,当△OAM的面积S最小时,求点M的坐标。 C.恒过定点问题 8.已知直线l:kx-y+1+2k=0。证明:直线过定点。 (方法1:方程法方法2:特例法) 9.已知直线l:(a+b)x+(a-b)y+2=0,其中a,b满足3a-b+2=0。求证:直线/恒过一定点。 D.最值问题 10.已知M(,0,N(-10),点P为直线2x-y-1=0上动点,求PM+PN的最小值。 求y=√x2-2x+2+√x2-4x+13的最小值及相应的x值 12.已知定直线l:y=4x和定点P(6,4),点Q为第一象限内的点,且在直线l上,直线PQ交x轴正半 轴于点M,求当△OMQ的面积最小时Q点的坐标 确定直线过象限问题 12.若AC<0,BC<0,则直线Ax+By+C=0不通过第_象限 13.若直线(3a+2)x+y+8=0不过第二象限,则实数a的取值范围是 F.线段内分点 14.已知△ABC,A(2,1),B(-2,3),C(6,-7),求AC边上中线所在直线的方程 15.过点P(1,2)引一条直线l,使它到两点A(2,3),B(4,-5)的距离相等,求直线l的方程。 16.△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(6,0),C(-5-2),求∠A的平分线A所在直线方程 三、两条直线的位置关系 A.两条直线的各种关系 设两直线为:l1:A1x+By+C1=0(y=kx+b1)2:42x+B2y+C2=0(y=k2x+b2) 两直线平行:A1B2=A2B1且AC2≠A2C1 两直线垂直:kk2=-1或A1A2+B1B2=0 对称问题:(1)求点关于点的对称点 (2)求直线关于点的对称直线 (3)求点关于直线的对称点 (4)求直线关于直线的对称直线
2 B．三角形面积问题 6. 经过点 P( 3,4) − 作直线 l ，l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，求直线 l 的方程。 7. 直线 l 过点 P(6, 4) ，与 x 轴正半轴交于 A 点，与 y 轴正半轴交于 B 点，O 为坐标原点。若 M 为 AB 上 一点，且直线 OM 的斜率为 4，当 OAM 的面积 S 最小时，求点 M 的坐标。 C．恒过定点问题 8. 已知直线 l kx y k : 1 2 0 − + + = 。证明：直线 l 过定点。 （方法 1：方程法 方法 2：特例法） 9. 已知直线 l a b x a b y : ( ) ( ) 2 0 + + − + = ，其中 a b, 满足 3 2 0 a b− + = 。求证：直线 l 恒过一定点。 D．最值问题 10. 已知 M N (1,0), ( 1,0) − ，点 P 为直线 2 1 0 x y − − = 上动点，求 2 2 PM PN + 的最小值。 11. 求 2 2 y x x x x = − + + − + 2 2 4 13 的最小值及相应的 x 值。 12. 已知定直线 l y x : 4 = 和定点 P(6, 4) ，点 Q 为第一象限内的点，且在直线 l 上，直线 PQ 交 x 轴正半 轴于点 M，求当 OMQ 的面积最小时 Q 点的坐标。 E．确定直线过象限问题 12. 若 AC BC 0, 0 ，则直线 Ax By C + + = 0 不通过第 象限。 13. 若直线 (3 2) 8 0 a x y + + + = 不过第二象限，则实数 a 的取值范围是 。 F．线段内分点 14. 已知 ABC， A B C (2,1), ( 2,3), (6, 7) − − ，求 AC 边上中线所在直线的方程。 15. 过点 P(1,2) 引一条直线 l ，使它到两点 A B (2,3), (4, 5) − 的距离相等，求直线 l 的方程。 16. ABC 的顶点坐标为 A B C (3,4), (6,0), ( 5, 2) − − ，求 A 的平分线 AT 所在直线方程。 三、两条直线的位置关系 A．两条直线的各种关系 设两直线为： 1 1 1 1 l A x B y C : 0 + + = 1 1 ( ) y k x b = + 2 2 2 2 l A x B y C : 0 + + = 2 2 ( ) y k x b = + 两直线平行： A B A B 1 2 2 1 = 且 AC A C 1 2 2 1 两直线垂直： 1 2 k k = −1 或 A A B B 1 2 1 2 + = 0 对称问题：（1）求点关于点的对称点 （2）求直线关于点的对称直线 （3）求点关于直线的对称点 （4）求直线关于直线的对称直线
A -k 两直线夹角:tanc= 1+k,k 点到直线的距离:点P(x2y1)到直线1:4x+By+C=0的距离为d。|4x+B1+C a-+B 平行直线间距离:两平行直线为:4:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0 两直线间距离为:d LA2 +B B.两直线平行问题 1.过点A(1,-4),且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。 2.B(x1,v1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,2(x2y2)是直线1外一点,则方程 f(x,y)+∫(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表示的直线/"与直线l的位置关系为 C.两直线垂直问题 3.已知直线l:ax+4y=2与直线l2:2x-5y+b=0垂直,点(,c)为垂足,则a+b+c 4.原点O在直线l上的射影为A(1,2),则直线l的方程为 D.有关对称问题 主要步骤:1.在所求曲线上任选一点M(x,y);2求出这点关于中心或轴的对称点M(x0,y)与M(x,y)之 间的关系;3将(x0,y0)代入已知曲线方程,求出曲线g(x,y)=0 5.已知两点P(x1,y)和Q(1-1,x+1)关于直线/对称,求直线/的方程 6.如图,已知△4BC的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为1:x-y-1=0和 l2:x-1=0,求BC边所在直线的方程 ∧ 7.过点(2,3),斜率k=射出的光线射到y轴上,则反射光线所在的直线 方程为 8.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再 射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线经过的 路程是 9.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n) 重合,则m+n=
3 B A l2 l1 C O B A y P x 两直线夹角： 2 1 1 2 tan 1 k k k k − = + 点到直线的距离：点 0 0 P x y ( , ) 到直线 l Ax By C : 0 + + = 的距离为 0 0 2 2 Ax By C d A B + + = + 平行直线间距离：两平行直线为： 1 1 l Ax By C : 0 + + = 2 2 l Ax By C : 0 + + = 两直线间距离为： 2 1 2 2 C C d A B − = + B．两直线平行问题 1. 过点 A(1, 4) − ，且与直线 2 3 5 0 x y + + = 平行的直线的方程。 2. 1 1 1 P x y ( , ) 是直线 l f x y : ( , ) 0 = 上的一点， 2 2 2 P x y ( , ) 是直线 l 外一点，则方程 1 1 2 2 f x y f x y f x y ( , ) ( , ) ( , ) 0 + + = 所表示的直线 l ' 与直线 l 的位置关系为 。 C．两直线垂直问题 3. 已知直线 1 l ax y : 4 2 + = 与直线 2 l x y b : 2 5 0 − + = 垂直，点 (1, ) c 为垂足，则 abc + + = 。 4. 原点 O 在直线 l 上的射影为 A(1,2) ，则直线 l 的方程为 。 D．有关对称问题 主要步骤：1.在所求曲线上任选一点 M x y ( , ) ；2.求出这点关于中心或轴的对称点 0 0 M x y '( , ) 与 M x y ( , ) 之 间的关系；3.将 0 0 ( , ) x y 代入已知曲线方程，求出曲线 g x y ( , ) 0 = 5. 已知两点 1 1 P x y ( , ) 和 1 1 Q y x ( 1, 1) − + 关于直线 l 对称，求直线 l 的方程。 6. 如图，已知 ABC 的一个顶点 A(4, 1) − ，它的两条角平分线所在直线的方程分别为 1 l x y : 1 0 − − = 和 2 l x: 1 0 − = ，求 BC 边所在直线的方程。 7. 过点 (2,3) ，斜率 1 2 k = 射出的光线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线 方程为 。 8. 如图，已知 A B (4,0), (0,4) ，从点 P(2,0) 射出的光线经直线 AB 反射后再 射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线经过的 路程是 。 9. 将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0,2) 与点 (4,0) 重合，点 (7,3) 与点 ( , ) m n 重合，则 m n + =
E.直线夹角问题 10.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,AB边所在直线的方程为7x-y-6=0,AC边所在直 线的方程为x+y-7=0,底边BC所在直线通过点P(3,-8),求BC边所在的直线方程。 11.已知△4BC的顶点A(3,-1),过B点的内角平分线方程是 x-4y+10=0,过C点的中线方程是6x+10y-59=0 求顶点B的坐标和BC边的方程。 F.有关距离问题 12.求点P(-1,2)到下列直线的距离:(1)2x+y-10=0(2)3x=2 13.求两平行线l1:3x+4y=10和l2:6x+8y=30间的距离 (公式法:两方程x,y的系数相等 原点辅助法:注意两平行线在原点同侧还是两侧) 14.过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则这条直线的方程是 15.已知原点到过P(1,3)的直线l的距离为1,求直线l的方程。 16.点Px,y)在直线1:x+y+1=0上运动,求√x2+y2-4x-6y+13的最小值。 (配方法;几何意义法) G.直线系 17.求证:动直线(m2+2m+3)x+(1+m-m2)y+3m2+1=0恒过定点,并求出此定点坐标 18.曲线 l与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是 四、平面区域 A.二元一次不等式表示的平面区域 平面内一条直线l:Ax+By+C=0将平面分成三个部分,即直线/的两侧及直线上的点集,它们构成 不同的区域 Ax+B+C>0区域:直线右上或右下x+By+C<0区域:直线左上或左下
4 B' C' O B A y P C x E．直线夹角问题 10. 如图，已知等腰三角形 ABC 中， AB AC = ，AB 边所在直线的方程为 7 6 0 x y − − = ，AC 边所在直 线的方程为 x y + − = 7 0 ，底边 BC 所在直线通过点 P(3, 8) − ，求 BC 边所在的直线方程。 11. 已知 ABC 的顶点 A(3, 1) − ，过 B 点的内角平分线方程是 x y − + = 4 10 0 ，过 C 点的中线方程是 6 10 59 0 x y + − = 求顶点 B 的坐标和 BC 边的方程。 F．有关距离问题 12. 求点 P( 1,2) − 到下列直线的距离：（1） 2 10 0 x y + − = （2） 3 2 x = 13. 求两平行线 1 l x y :3 4 10 + = 和 2 l x y : 6 8 30 + = 间的距离。 （公式法：两方程 x y, 的系数相等 原点辅助法：注意两平行线在原点同侧还是两侧） 14. 过点 P(1,2) 引直线，使 A B (2,3), (4, 5) − 到它的距离相等，则这条直线的方程是 。 15. 已知原点到过 P(1,3) 的直线 l 的距离为 1，求直线 l 的方程。 16. 点 P x y ( , ) 在直线 l x y : 1 0 + + = 上运动，求 2 2 x y x y + − − + 4 6 13 的最小值。 （配方法；几何意义法） G．直线系 17. 求证：动直线 2 2 2 ( 2 3) (1 ) 3 1 0 m m x m m y m + + + + − + + = 恒过定点，并求出此定点坐标。 18. 曲线 1 2 3 x y − = 与直线 y x m = + 2 有两个交点，则 m 的取值范围是 。 四、平面区域 A．二元一次不等式表示的平面区域 平面内一条直线 l Ax By C : 0 + + = 将平面分成三个部分，即直线 l 的两侧及直线上的点集，它们构成 不同的区域。 Ax By C + + 0 区域 ：直线右上或右下 Ax By C + + 0 区域：直线左上或左下
B.画平面区域问题 3x-2y+6≥0 画出不等式组{x+y+1≥0所表示的平面区域 4x+y-40 ,则一的取值范围是 ≥0 8.已知x)2x+y-4≤0·则√x+(y+2)的最小值是 x+y-1≥0 0 设x,y满足约束条件{y≥0 x+2y+3 若z 的最小值为3,则a的值为 x+1 3a4
5 B．画平面区域问题 1. 画出不等式组 3 2 6 0 1 0 4 4 0 x y x y x y − + + + + − 所表示的平面区域。 2. 画出不等式 ( 2 1)( 3) 0 x y x y − + + − 表示的平面区域。 3. 画出不等式 x y + 1 所表示的平面区域。 C．不等式组所表示的平面区域的面积 4. 求不等式 x y − + − 2 1 1 所表示的平面区域的面积。 5. 求不等式组 0 3 4 3 4 x x y x y + + 所表示的平面区域的面积。 6. 若不等式组 0 3 4 3 4 x x y x y + + 所表示的平面区域被直线 4 3 y kx = + 分为面积相等的两部分，则 k 的值是多 少？ D．目标函数的最值问题 7. 若实数 x y, 满足 1 0 0 2 x y x y − + ，则 y x 的取值范围是 。 8. 已知 x y, 满足 0 0 2 4 0 1 0 x y x y x y + − + − ，则 2 2 x y + + ( 2) 的最小值是 。 9. 设 x y, 满足约束条件 0 0 1 3 4 x y x y a a + ，若 2 3 1 x y z x + + = + 的最小值为 3 2 ，则 a 的值为