课时作业知能提升 规范练习:·提升能力 、填空题 1.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 条件 解析:直线x+y=0和直线x-qy=0互相垂直的充要条件为1+1×(-a)=0, 答案:充要 2.P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐 标为 解析:设P(x,5-3x), 则d=B=5+3x-1 V2,14x-6=2,4x-6=2, 12 x=1或x=2,∴P(12)或(2,-1) 答案:(1,2)或(2,-1) 3.点P(m-n,-m到直线+2=1的距离等于 解析:因为直线+2=1可化为nx+my-m=0,则由点到直线的距离公式得 n m=)+(二mm=m2+ n2+m2 答案:ym2+n 4.若点A(2,1)、B(-1,5)到直线l的距离均为,则这样的直线l有 条 解析:由于凵B=5,所以线段AB的垂直平分线满足题意,另外与AB平行且距 离为的直线有两条,从而共有3条 答案:3 5.若直线h:y=kx+k+2与h:y=-2x+4的交点在第一象限,则实数k的取 值范围是 解析:由y=kx+k+2, k+2 得 6k+4
一、填空题 1．“a＝1”是“直线 x＋y＝0 和直线 x－ay＝0 互相垂直”的________条件． 解析：直线 x＋y＝0 和直线 x－ay＝0 互相垂直的充要条件为 1＋1×(－a)＝0， ∴a＝1. 答案：充要 2．P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则 P 点坐 标为________． 解析：设 P(x,5－3x)， 则 d＝ |x－5＋3x－1| 1 2＋(－1) 2 ＝ 2，|4x－6|＝2,4x－6＝±2， ∴x＝1 或 x＝2，∴P(1,2)或(2，－1)． 答案：(1,2)或(2，－1) 3．点 P(m－n，－m)到直线x m ＋ y n ＝1 的距离等于________． 解析：因为直线x m ＋ y n ＝1 可化为 nx＋my－mn＝0，则由点到直线的距离公式得 d＝ |(m－n)n＋(－m)m－mn| n 2＋m2 ＝ m2＋n 2 . 答案： m2＋n 2 4．若点 A(2,1)、B(－1,5)到直线 l 的距离均为 5 2 ，则这样的直线 l 有________条． 解析：由于|AB|＝5，所以线段 AB 的垂直平分线满足题意，另外与 AB 平行且距 离为5 2 的直线有两条，从而共有 3 条． 答案：3 5．若直线 l1：y＝kx＋k＋2 与 l2：y＝－2x＋4 的交点在第一象限，则实数 k 的取 值范围是________． 解析：由 y＝kx＋k＋2， y＝－2x＋4， 得 x＝ 2－k k＋2 y＝ 6k＋4 k＋2
2<k<2, 由 6k+4 k<-2或、2∴一2<k<2 k+2 答案:-<k<2 6.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C的平分线方程分别为x=0、y x,则直线BC的方程是 解析:点A(3,-1)关于直线x=0、y=x的对称点为A′(-3,-1)、A"(-1,3) 且都在直线BC上 故得直线BC的方程为y=2x+5 答案:y=2x+5 7.点M-1,0)关于直线x+2y-1=0的对称点M的坐标是 1 解析:设M(xo,y),则 +2-1=0 解得 85 答案:( 8.与直线x-y-2=0平行,且与它的距离为22的直线方程是 解析:设所求直线l:x-y+m=0, m+2 ∴m=2或-6 答案:x-y+2=0或x-y-6=0 9.已知点P在直线2x-y+4=0上,且到x轴的距离是到y轴距离的,则点P 的坐标为 解析:设点P(a,2a+4). 由题意得2a+4=2
由 2－k k＋2 >0， 6k＋4 k＋2 >0， 得 －2－ 2 3 ， ∴－ 2 3 <k<2. 答案：－ 2 3 <k<2 6．设△ABC 的一个顶点是 A(3，－1)，∠B、∠C 的平分线方程分别为 x＝0、y ＝x，则直线 BC 的方程是________． 解析：点 A(3，－1)关于直线 x＝0、y＝x 的对称点为 A′(－3，－1)、A″(－1,3) 且都在直线 BC 上， 故得直线 BC 的方程为 y＝2x＋5. 答案：y＝2x＋5 7．点 M(－1,0)关于直线 x＋2y－1＝0 的对称点 M′的坐标是________． 解析：设 M′(x0，y0)，则 y0 x0＋1 ·(－ 1 2 )＝－1 x0－1 2 ＋2· y0 2 －1＝0 ， 解得 x0＝－ 1 5 y0＝ 8 5 . 答案：(－ 1 5 ， 8 5 ) 8．与直线 x－y－2＝0 平行，且与它的距离为 2 2的直线方程是________． 解析：设所求直线 l：x－y＋m＝0， 由 |m＋2| 2 ＝2 2，∴m＝2 或－6. 答案：x－y＋2＝0 或 x－y－6＝0 9．已知点 P 在直线 2x－y＋4＝0 上，且到 x 轴的距离是到 y 轴距离的2 3 ，则点 P 的坐标为________． 解析：设点 P(a,2a＋4)． 由题意得|2a＋4|＝ 2 3 |a|
解得a=-3或 P点坐标是(-,1)或(-3,-2) 答案:( 1)或(一3,-2) 二、解答题 10.证明:无论λ取何值,直线(2+x-(1+4)y-2(3+24)=0与点P(-2,2)的 距离d都满足d42 证明:直线可化为(2x-y-6)+(x-y-4)=0, 由 2x-y-6=0 x-y-4=0,得定点M2, 又MP 2)2+(2+2)2=42 而该直线不包含直线x-y-4=0,∴d≠4V2, 即d42 11.已知△ABC的两个顶点A(-1,5)和B(0,-1),又知∠C的平分线所在的直 线方程为2x-3y+6=0,求三角形各边所在直线的方程 解析:设A点关于直线2x-3y+6=0的对称点为A′(x1,y), 5 6=0 则 1+12 2x1-3y1-5=0 解得 3x1+2y-7=0 13 即A′ 3641 同理,点B关于直线2x-3y+6=0的对称点为B′(-1, 角平分线是角的两边的对称轴 ∴A′点在直线BC上
解得 a＝－3 或 a＝－ 3 2 ， ∴ P 点坐标是(－ 3 2 ，1)或(－3，－2)． 答案：(－ 3 2 ，1)或(－3，－2) 二、解答题 10．证明：无论 λ 取何值，直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0 与点 P(－2,2)的 距离 d 都满足 d<4 2. 证明：直线可化为(2x－y－6)＋λ(x－y－4)＝0， 由 2x－y－6＝0 x－y－4＝0 ，得定点 M(2，－2)． 又|MP|＝ (－2－2) 2＋(2＋2) 2＝4 2， 而该直线不包含直线 x－y－4＝0，∴d≠4 2， 即 d<4 2. 11．已知△ABC 的两个顶点 A(－1,5)和 B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直 线方程为 2x－3y＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程． 解析：设 A 点关于直线 2x－3y＋6＝0 的对称点为 A′(x1，y1)， 则 2· x1－1 2 －3· y1＋5 2 ＋6＝0 y1－5 x1＋1 ＝－ 3 2 . ∴ 2x1－3y1－5＝0 3x1＋2y1－7＝0 ，解得 x1＝ 31 13 y1＝－ 1 13 ， 即 A′( 31 13，－ 1 13)． 同理，点 B 关于直线 2x－3y＋6＝0 的对称点为 B′(－ 36 13， 41 13)． ∵角平分线是角的两边的对称轴， ∴A′点在直线 BC 上．
∴直线BC的方程为y==3,x-1, 整理,得12x-31y-3l=0 同理,直线AC的方程为y-5 +1), 13 整理,得24x-23y+139=0. 直线AB的方程为y 整理,得6x+y+1=0 12.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点, (1)点A(50)到l的距离为3,求l的方程 (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值 解析:(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+A(x-2y)=0, 即(2+Ax+(1-24)y-5=0, 10+5=5=3 (2+)2+(1-2)2 即22-5x+2=0,∴=2或1 (2,1 ∴l方程为x=2或4x-3y-5=0 :2+50,解得交点P21).如图,过P件任一直 线l,设d为点A到l的距离,则≤P当1⊥PA时等号成立) dmax=PA=10
∴直线 BC 的方程为 y＝ － 1 13－(－1) 31 13－0 x－1， 整理，得 12x－31y－31＝0. 同理，直线 AC 的方程为 y－5＝ 5－ 41 13 －1－(－ 36 13) (x＋1)， 整理，得 24x－23y＋139＝0. 直线 AB 的方程为 y＝ 5－(－1) －1－0 x－1， 整理，得 6x＋y＋1＝0. 12．已知直线 l 经过直线 2x＋y－5＝0 与 x－2y＝0 的交点， (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程； (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值． 解析：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴ |10＋5λ－5| (2＋λ) 2＋(1－2λ) 2 ＝3. 即 2λ 2－5λ＋2＝0，∴λ＝2 或 1 2 . ∴l 方程为 x＝2 或 4x－3y－5＝0. (2)由 2x＋y－5＝0， x－2y＝0， 解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直 线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立)． ∴dmax＝|PA|＝ 10