第二章点、直线、平面之间的位置关系 单元测试卷(B卷) 选择题(总分30分:每小题3分)(每小题有且只有一个答案正确)(每小题有且只有 一下答案正确) 1.以下命题正确的是 A.两个平面有一条交线 B.一条直线与一个平面最多有一个公共点 C.两个平面有一个公共点,它们可能相交 D.两个平面有三个公共点,它们一定重合 2.下面四个命题中,真命题的个数为 (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合 (2)两条直线可以确定一个平面 (3)若M∈a,M∈β,a∩B=1,则M∈l (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内 A. I C.3 D.4 3.ABCD一A1B1C1D1是正方体,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下 列结论中错误的是 A.A、M、O三点共线 B.M、O、A1、A四点共面 C.A、O、C、M四点共面D.B、B1、O、M四点共面 如果a⊥b,那么a与b A.一定相交B.一定异面 一定共面D.一定不平行 5.两等角的一条对应边平行,则 A.另一条对应边平行 B.另一条对应边不平行 C.另一条对应边也不可能垂直 D.以上都不对 6.如图2-73:点S在平面ABC外,SB⊥BC,SB=AC=2,E、F分别是SC和AB的中 点,则EF的长是 1 ?B 7.平面a∥平面β,AB、CD是夹在a和B间的两条异面线段,图2-73() E、F分别为AB、CD的中点,则EF与a的关系是 A.平行 B.相交 C.垂直D.不能确定 8.经过平面外两点与这个平面平行的平面 A.只有一个B.至少有一个C.可能没有D.有无数个 9.ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2, 面角P-AD-C=60°,则P到AB的距离是 A.2 B.√3 10.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是 A.三个平面共线 B.有两个平面平行且都与第三个平面相交 C.三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试卷（B 卷） 一、选择题（总分 30 分；每小题 3 分）（每小题有且只有一个答案正确）（每小题有且只有 一下答案正确） 1． 以下命题正确的是 （ ） A. 两个平面有一条交线 B. 一条直线与一个平面最多有一个公共点 C. 两个平面有一个公共点，它们可能相交 D. 两个平面有三个公共点，它们一定重合 2． 下面四个命题中，真命题的个数为 （ ） ⑴如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ⑵两条直线可以确定一个平面 ⑶若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l ⑷空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3． ABCD－A1B1C1D1 是正方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下 列结论中错误的是 （ ） A. A、M、O 三点共线 B. M、O、A1、A 四点共面 C. A、O、C、M 四点共面 D. B、B1、O、M 四点共面 4． 如果 a⊥b，那么 a 与 b （ ） A. 一定相交 B. 一定异面 C. 一定共面 D. 一定不平行 5． 两等角的一条对应边平行，则 （ ） A. 另一条对应边平行 B. 另一条对应边不平行 C. 另一条对应边也不可能垂直 D. 以上都不对 6． 如图 2－73：点 S 在平面 ABC 外，SB⊥BC，SB＝AC＝2，E、F 分别是 SC 和 AB 的中 点，则 EF 的长是 （ ） A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 2 1 7． 平面α∥平面β，AB、CD 是夹在α和β间的两条异面线段， E、F 分别为 AB、CD 的中点，则 EF 与α的关系是 （ ） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不能确定 8． 经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） A. 只有一个 B. 至少有一个 C. 可能没有 D. 有无数个 9． ABCD 为正方形，P 为平面 ABCD 外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2， 二面角 P－AD－C=60°，则 P 到 AB 的距离是 （ ） A. 2 2 B. 3 C. 2 D. 7 10． 若三个平面把空间分成 6 个部分，那么这三个平面的位置关系是 （ ） A. 三个平面共线 B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交 C.三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交 A F B S E C 图 2－73
D.三个平面两两相交 填空题(总分16分;每小题4分) 11.如图2-74:正方形ABCD所在平面与正方体ABEF所在平面成 2.如图2-75:A是△BCD所在平面外一点,M、N分别是△ABC丶图2-7 60°的二面角,则异面直线AD与BF所成的角的余弦值是 和△ACD的重心,若BD=6,则MN= 13.已知平面a∥平面B,P是a、B外一点,过P点的两条直线 PAC、PBD分别交a于A、B,交β于C、D,且PA=6,AC=9, AB=8,则CD的长为 M 14.在棱长为a的正方体ABCD-A1BCD1中,D1到BC的距离B D 为 A到A1C的距离为 三、解答题(总分34分:15、16、17每题10分,18、19题12分) 15.设P是△ABC所在平面外一点,P和A、B、C的距离相等 图2-75 ∠BAC为直角。求证:平面PCB⊥平面ABC 16.如图2-76:四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别 是AB、PC的中点,PA=AD=a (1)求证:MN∥平面PAD (2)求证:平面PMC⊥平面PCD。 D B 图2-76
D.三个平面两两相交 二、填空题（总分 16 分；每小题 4 分） 11．如图 2－74：正方形 ABCD 所在平面与正方体 ABEF 所在平面成 60°的二面角，则异面直线 AD 与 BF 所成的角的余弦值是_____。 12．如图 2－75：A 是△BCD 所在平面外一点，M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若 BD＝6，则 MN＝___________。 13．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过 P 点的两条直线 PAC、PBD 分别交α于 A、B，交β于 C、D，且 PA=6，AC=9， AB=8，则 CD 的长为___________。 14．在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，D1 到 B1C 的距离 为_________， A 到 A1C 的距离为_______。 三、解答题（总分 34 分；15、16、17 每题 10 分，18、19 题 12 分） 15．设 P 是△ABC 所在平面外一点，P 和 A、B、C 的距离相等， ∠BAC 为直角。求证：平面 PCB⊥平面 ABC。 16．如图 2－76：四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，PA＝AD＝a。 ⑴求证：MN∥平面 PAD； ⑵求证：平面 PMC⊥平面 PCD。 C B D A · · 图 2－75 M N P N C A M B 图 2－76 D D C B F E A 图 2－74
17.如图2-77:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB、BC的中点,G为DD1上 点,且D1G:GD=1:2,AC∩BD=O, 求证:平面AGO平面DEF E 图2-77 18.如图2-78:已知空间四边形ABCD,E、F分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边 BC、CD上的点,且 CF C =二,求证直线EF、GH、AC交于一点 CB CD 3 D G 图2-78 19.如图2-79:三个平面两两相交,有三条交线,求证这三条交线交于一点或互相平行。 图2-79
17．如图 2－77：正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，G 为 DD1 上 一点，且 D1G：GD＝1：2，AC∩BD＝O， 求证：平面 AGO//平面 D1EF 18．如图 2－78：已知空间四边形 ABCD，E、F 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、CD 上的点，且 3 2 = = CD CG CB CF ，求证直线 EF、GH、AC 交于一点。 19．如图 2－79：三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行。 A B D C C1 B1 D1 A1 G O E F 图 2－77 B F C G H A E D 图 2－78 P l1 l2 l3 α γ β l3 l2 l1 α γ β 图 2－79
第二章点、直线、平面之间的位置关系 单元测试卷(B卷) 、选择题 1.C2.A3.D4.D5.D6.B7.A8.C9.D10.C 填空题 412.213.20或414 三、解答题 15.证明:取BC的中点D,连结PD、AD, ∴D是直角三角形ABC的斜边BC的中点 BD=CD=AD,又PA=PB=PC,PD是公共边 PDA=∠PDB=∠POC=90° A PD⊥BC,PD⊥DA,PD⊥平面ABC 又PDc平面PCB D ∴平面PCB⊥平面ABC。 图2-15 证明:(1)设PD的中点为E,连结AE、NE 由N为PD的中点知 EN //-DC, 又ABCD是矩形,∴DC∥AB,∴ENl-AB 又M是AB的中点,∴EN∥AN, 图2-16 AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE,而AEc平面PAD,NMg平面PAD MN∥平面PAD 证明:(2)∵PA=AD,∴AE⊥PD, 又∵PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD, CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD CD⊥AE,∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD, MN∥AE,∴MN⊥平面PCD 又MNc平面PMC, ∴平面PMC⊥平面PCD 17.设EF∩BD=H,在△DDH中,DO2DG DH 3 DD GOD1H,又GOg平面D1EF,DHc平面DEF GO平面DEF 在△BAO中,BE=EF,BH=HO,∴EHAO AOg平面DEF,EHC平面DEF,∴AO平面DEF,AE B AO∩GO=O,∴平面AGO平面D1EF
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试卷（B 卷） 一、选择题 1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. B 7. A 8. C 9. D 10. C 二、填空题 11. 4 2 12. 2 13. 20 或 4 14. 2 6 a ； 3 6 a 三、解答题 15. 证明：取 BC 的中点 D，连结 PD、AD， ∵D 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 的中点 ∴BD=CD=AD，又 PA=PB=PC，PD 是公共边 ∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90° ∴PD⊥BC，PD⊥DA，PD⊥平面 ABC ∴又 PD 平面 PCB ∴平面 PCB⊥平面 ABC。 16. 证明：⑴设 PD 的中点为 E，连结 AE、NE， 由 N 为 PD 的中点知 EN = // 2 1 DC， 又 ABCD 是矩形，∴DC = // AB，∴EN = // 2 1 AB 又 M 是 AB 的中点，∴EN = // AN， ∴AMNE 是平行四边形 ∴MN∥AE，而 AE 平面 PAD，NM 平面 PAD ∴MN∥平面 PAD 证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD， 又∵PA⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD， ∴CD⊥PA，而 CD⊥AD，∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 PCD， ∵MN∥AE，∴MN⊥平面 PCD， 又 MN 平面 PMC， ∴平面 PMC⊥平面 PCD。 17.设 EF∩BD＝H，在△DD1H 中， 3 1 2 DD DG DH DO = = ， ∴GO//D1H，又 GO 平面 D1EF，D1H 平面 D1EF， ∴GO//平面 D1EF， 在△BAO 中，BE＝EF，BH＝HO，∴EH//AO AO 平面 D1EF，EH 平面 D1EF，∴AO//平面 D1EF， AO∩GO＝O，∴平面 AGO//平面 D1EF。 P N C A M B 图 2－16 D E P B D C A 图 2－15 A B D C C1 B1 D1 A1 G O E F 图 2－17 H
18.∵AE=EB,AH=HD,∴EHBD,且EH=BD CF CG 2 FGBD,且FC BD, B CD 3 H EHFG,且EH≠FG, 故四边形EFGH为梯形,则EF与GH必相交, G 设交点为P,P∈平面ABC,又P∈平面DAC 又平面BAC∩平面DAC=AC,故P∈AC, F 即EF、GH、AC交于一点。 图2-18 19证明:设已知平面a、β、Y,a∩B=h,B∩y=l2,a∩Y=l,如果h、h2、 l中有任意两条交于一点P,设h∩h2=P,即P∈l1,P∈l2,那么P∈a,P∈γ,则点 P在平面a、Y的交线b上,即h、h2、b交于一点如(a)图:如果h、h2、b3中任 何两条都不相交,那么,因为任意两条都共面,所以h1∥h2∥b3如(b)图。 (b) 图
18. ∵AE＝EB，AH＝HD，∴EH//BD，且 EH＝ 2 1 BD， ∵ 3 2 = = CD CG CB CF ，∴FG//BD，且 FG＝ 3 2 BD， ∴EH//FG，且 EH≠FG， 故四边形 EFGH 为梯形，则 EF 与 GH 必相交， 设交点为 P，P∈平面 ABC，又 P∈平面 DAC， 又平面 BAC∩平面 DAC＝AC，故 P∈AC， 即 EF、GH、AC 交于一点。 19.证明：设已知平面α、β、γ，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，如果 l1、 l2、 l3 中有任意两条交于一点 P，设 l1∩ l2＝P，即 P∈l1，P∈l2，那么 P∈α，P∈γ，则点 P 在平面α、γ的交线 l3 上，即 l1、 l2、 l3 交于一点如（a）图；如果 l1、 l2、 l3 中任 何两条都不相交，那么，因为任意两条都共面，所以 l1∥ l2∥ l3 如（b）图。 B F C G H A E D 图 2－18 P l1 l2 l3 α γ β l3 l2 l1 α γ β 图 2－19 (a) (b)