基础知识梳理 1.直线的交点坐标 (1)点、线关系及代数表示 几何元素及关系 代数表示 点A A(a,b) 直线l L Ax+ Butc=0 点A在直线l上 Aa+Bb+c=0 Aix+Biy+g=o 方程组 A2x+B2y+C2=0, 直线l与2的交点是A x-a 解得
1．直线的交点坐标 (1)点、线关系及代数表示 基础知识梳理 几何元素及关系 代数表示 点 A A(a，b) 直线 l l：Ax＋By＋C＝0 点 A 在直线 l 上 直线 l1与 l2的交点是 A 方程组 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0， 解得 x＝a y＝b Aa＋Bb＋C＝0
2)两直线交点的求法 两直线h1:A1x+B+C1=0,l2:A2x+ B2y+C2=0, 则4与l2的交点坐标就是方程组 JAjx+B1+C1=0 142x+B2y+C2=0 的解
2)两直线交点的求法 两直线l1：A1x＋B1 y＋C1 ＝0，l2：A2x＋ B2 y＋C2 ＝0， 则l1与l2的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 的 解．
2.距离公式 类型 条件 公式 两点间的两点P1(x1,y1), 距离 P2(x2,y2) (2-x)2+(y2-y)2 点到直线点P0x0,yo),直线l lAxot Byo+CI 的距离x+By+C=0 A2+B2 两平行线直线l:Ax+B C1-C2 C=0, 2: Axt B A+B 间的距离 C2=0 (转化为点到直线的距离)
2．距离公式 类型 条件 公式 两点间的 距离 两点P1 (x1，y1 )， P2 (x2，y2 ) |P1P2 |＝ 点到直线 的距离 点P0 (x0，y0 )，直线l： Ax＋By＋C＝0 d＝ 两平行线 间的距离 直线l1：Ax＋By＋ C1＝0，l2：Ax＋By ＋C2＝0 d＝ (转化为点到直线的距离) (x2－x1) 2＋(y2－y1) 2 |Ax0＋By0＋C| A 2＋B 2 |C1－C2| A 2＋B 2
专点>求两条直线的交点 例1 △ABC的两条高所在直线的方程 为2x-3+1=0和x+y=0,顶点A 的坐标为(1,2),求BC边所在直线的 方程
例1 △ABC的两条高所在直线的方程 为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的 方程． 考点一 求两条直线的交点
跟踪练习1 已知直线羟过点P31),且被两平行直 线l4;x+y+1=0和12:x+y+6=0截得 的线段之长为5,求直线)方程 [分析]如右图,由点斜式得程,分别 与/1、2联立,求得两交点A、B的坐标 (用k表示),再利用AB=5可求出k的值, 从而求得方程 BA A BM2
• 已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直 线l 1：x＋y＋1＝0和l 2：x＋y＋6＝0截得 的线段之长为5，求直线l的方程． [分析] 如右图，由点斜式得l方程，分别 与l 1、l 2联立，求得两交点A、B的坐标 (用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值， 从而求得l的方程． 跟踪练习1
[解析]解法1:若直线的斜率不存在 则直线的方程为x=3,此时与1l的交 点分别为A'(3,-4)、B(3,-9),截得 的线段AB的长AB=|-4+9|=5,符 合题意 若直线的斜率存在,则设直线的方程为y =k(X-3)+1(k≠-1)
• [解析] 解法1：若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x＝3，此时与l 1、l 2的交 点分别为A′(3，－4)、B′(3，－9)，截得 的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符 合题意. • 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y ＝k(x－3)＋1(k≠－1)．
y=k(x-3)+1, 3k-24k 解方程组 x+y+1=0, 得A( k+ k+1 =kx-3)+1 3k-79k-1 解方程组 x+y+6=0, 得B(⊥1, k+1 由AB|=5 3/-23k-7 4k-19k-1 得 k+1k+1 十( +11)2=52 k+1 k 解之得,k=0,∴直线l方程为y=1 综上可知,所求l的方程为x=3或y=1
解方程组 y＝k(x－3)＋1， x＋y＋1＝0， 得 A( 3k－2 k＋1 ，－ 4k－1 k＋1 )． 解方程组 y＝k(x－3)＋1， x＋y＋6＝0， 得 B( 3k－7 k＋1 ，－ 9k－1 k＋1 )． 由|AB|＝5. 得( 3k－2 k＋1 － 3k－7 k＋1 ) 2＋(－ 4k－1 k＋1 ＋ 9k－1 k＋1 ) 2＝5 2 . 解之得，k＝0，∴直线 l 方程为 y＝1. 综上可知，所求 l 的方程为 x＝3 或 y＝1
6 解法2:因为平行线间的距离 52 2 2 如图,直线l被两平行线截得的线段为5, 设直线l与两平行线的夹角为0 则iny2 2 =45° 因为两平行线的斜率是一1, 故所求直线的斜率不存在或零 又因为直线l过点P(3,1), 所以直线l的方程为x=3或y=1
解法 2：因为平行线间的距离 d＝ |6－1| 2 ＝ 5 2 2 ， 如图，直线 l 被两平行线截得的线段为 5， 设直线 l 与两平行线的夹角为 θ， 则 sinθ＝ 2 2 ，∴θ＝45°. 因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或零． 又因为直线 l 过点 P(3,1)， 所以直线 l 的方程为 x＝3 或 y＝1
考点二 距离问题 点到直线的距离公式和两平行线间的距离公 式是常用的公式,应熟练掌握 2.点到几种特殊直线的距离 (1)点P(xo,y)到x轴的距离d=ol (2)点P(x0,y到y轴的距离d=ol (3)点P(x0,到与x轴平行的直线y=a的距离d= (4)点P(x0,o)到与y轴平行的直线x=b的距离l Ao-b 提醒:点到直线的距离公式当A=0或B=0时 公式仍成立,但也可不用公式而直接用数形结合法来 求距离
1．点到直线的距离公式和两平行线间的距离公 式是常用的公式，应熟练掌握． 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0 )到x轴的距离d＝|y0 |. (2)点P(x0，y0 )到y轴的距离d＝|x0 |. 考点二 距离问题 (3)点P(x0，y0 )到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝ |y0－a|. (4)点P(x0，y0 )到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝ |x0－b|. 提醒：点到直线的距离公式当A＝0或B＝0时， 公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来 求距离．
例2 已知点P2,-1 (1)求过P点且与原点距离为2的直线的 方程; ()求过P点且与原点距离最大的直线 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过P点且与原点距离为6的 直线?若存在,求出方程;若不存在,请 说明理由
例2 已知点P(2，－1)． (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的 方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P点且与原点距离为6的 直线？若存在，求出方程；若不存在，请 说明理由．