第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关 系 对应学生用书(文)97~99页 (理)99~101页 课前·耆点引鲠 考情分析 考点新知 理解空间点、线、面的位置关系;会用数学 语言规范的表述空间点、线、面的位置关 理解空间直线、平面位置关系的定义, 系.了解公理1、2、3及公理3的推论1、2、 能判定空间两直线的位置关系;了解异面直 线所成角 3,并能正确判定;了解平行公理和等角定理 回归教材 1.(原创)已知点P、Q,平面a,将命题“P∈a, QI ap pQe a”改成文字叙述是 答案:若点P在平面a内,点Q不在平面a内,则直线PQ不在平面a内 解析:正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系,能正确进行自然语言、 图形语言和符号语言的相互转化 2.(原创)有下列命题:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则 中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点共面;④空间四点中任何三点不 共线,则此四点不共面.其中正确的命题是 (填序号) 答案:②③ 解析:①只须四点共面,任何三点不必共线;②③正确;④错误 3.(必修2P2习题1改编)在正方体 ABCDAIB1CD1中,与AD1平行的对角线有 条 答案: 解析:与AD1平行的对角线仅有1条,即BC1 4.(必修2P1练习12改编如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB, BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形: 2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH是正方形
第八章 立体几何初步第 1 课时 空间点、直线、平面之间的 位置关 系 对应学生用书（文）97～99页 （理）99～101页 考情分析 考点新知 理解空间点、线、面的位置关系；会用数学 语言规范的表述空间点、线、面的位置关 系．了解公理 1、2、3 及公理 3 的推论 1、2、 3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理． 理解空间直线、平面位置关系的定义， 能判定空间两直线的位置关系；了解异面直 线所成角. 1. (原创)已知点 P、Q，平面 α，将命题“P∈α，Q Ï α Þ PQ Ë α”改成文字叙述是 ________． 答案：若点 P 在平面 α 内，点 Q 不在平面 α 内，则直线 PQ 不在平面 α 内． 解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、 图形语言和符号语言的相互转化． 2. (原创)有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则 其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不 共线，则此四点不共面．其中正确的命题是________．(填序号) 答案：②③ 解析：①只须四点共面，任何三点不必共线；②③正确；④错误． 3. (必修 2P28 习题 1 改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与 AD1 平行的对角线有________ 条. 答案：1 解析：与 AD1 平行的对角线仅有 1 条，即 BC1. 4. (必修 2P31 练习 12 改编)如图所示，在三棱锥 A－BCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB， BC，CD，DA 的中点，则 (1) 当 AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 为菱形； (2) 当 AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 是正方形．
答案:AC=BDAC=BD且AC⊥BD 解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=2AC=HG, 显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需足EF=EH,即AC= BD;要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD 5.(必修2P24练习3改编)设P表示一个点,a,b表示两条直线,a、β表示两个平面, 给出下列四个命题,其中正确的命题是 填序号) ①P∈a,P∈ a b al a ②a∩b=P,bIβpaIβ ③a∥b,aIa,P∈b,P∈ a b bl a ④a∩B=b,P∈a,P∈BpP∈b 答案:③④ 解析:当ana=P时,P∈α,P∈α,但aE∝,①错;anβ=P时,②错;如图 alb,P∈b,∴PIa,∴由直线a与点P确定唯一平面a又a∥b,由a与b确定唯一 平面γ,但γ经过直线a与点P,γ与α重合,bI∝,故③正确;两个平面的公共点 必在其交线上,故④正确 知识清单 1.公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平 面内 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,这些公共点的集合 是一条直线 公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面 2.空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 3.平行直线的公理及定理 (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行 (2)定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 相等 [备课札记
答案：AC＝BD AC＝BD 且 AC⊥BD 解析：易知 EH∥BD∥FG，且 EH＝ 1 2 BD＝FG，同理 EF∥AC∥HG，且 EF＝ 1 2 AC＝HG， 显然四边形 EFGH 为平行四边形．要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EF＝EH，即 AC＝ BD；要使四边形 EFGH 为正方形需满足 EF＝EH 且 EF⊥EH，即 AC＝BD 且 AC⊥BD. 5. (必修 2P24 练习 3 改编)设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α、β 表示两个平面， 给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号) ① P∈a，P∈α Þ a Ì α； ② a∩b＝P，b Ì β Þ a Ì β； ③ a∥b，a Ì α，P∈b，P∈α Þ b Ì α； ④ α∩β＝b，P∈α，P∈β Þ P∈b. 答案：③④ 解析：当 a∩α＝P 时，P∈α，P∈α，但 a Ë α，∴ ①错；a∩β＝P 时，②错；如图， ∵ a∥b，P∈b，∴ P Ï a，∴ 由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α.又 a∥b，由 a 与 b 确定唯一 平面 γ，但 γ 经过直线 a 与点 P，∴ γ与 α 重合，∴ b Ì α，故③正确；两个平面的公共点 必在其交线上，故④正确． 1. 公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平 面内． 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合 是一条直线． 公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2. 空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 1 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 3. 平行直线的公理及定理 (1) 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行． (2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 相等． [备课札记]
课中·技巧点拨 题很精选 型1平面的基本性质 例1画一个正方体 ABCDA1B1C1D1,再画出平面ACD1与平面BDC1的交线,并且说 明理由 解:F∈CD1、F∈平面ACD1、E∈AC、E∈平面ACD1、E∈BD、E∈平面BDC1、F∈DC F∈平面DC1B,则EF为所求 备选变式(教师专享) 在长方体 ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D) 上 (1)过P点在空间作一直线1,使∥直线BD,应该如何作图?并说明理由 (2)过P点在平面AC1内作一直线m,使m与直线BD成a角,其中a(O,亚,这 样的直线有几条,应该如何作图? 解:(1)连结B1D1,BD,在平面A1C1内过P作直线1,使∥B1D1,则!即为所求作的 直线,如图(a).∵B1D1ⅢBD,‖B1D1,∴Ⅲ直线BD (2)∵BD∥B1D1∴直线m与直线BD也成a角即直线m为所求作的直线如图b)由
题型 1 平面的基本性质 例 1 画一个正方体 ABCDA1B1C1D1，再画出平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线，并且说 明理由． 解：F∈CD1、F∈平面 ACD1、E∈AC、E∈平面 ACD1、E∈BD、E∈平面 BDC1、F∈DC1、 F∈平面 DC1B，则 EF 为所求． 备选变式（教师专享） 在长方体 ABCDA1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图所示，其中 P 点不在对角线 B1D1) 上． (1) 过 P 点在空间作一直线 l，使 l∥直线 BD，应该如何作图？并说明理由； (2) 过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 α 角，其中 α∈ 0， π 2 ，这 样的直线有几条，应该如何作图？ 解：(1) 连结 B1D1，BD，在平面 A1C1 内过 P 作直线 l，使 l∥B1D1，则 l 即为所求作的 直线，如图(a)．∵ B1D1∥BD，l∥B1D1，∴ l∥直线 BD. 图(a) (2) ∵ BD∥B1D1，∴ 直线 m 与直线 BD 也成 α 角，即直线 m 为所求作的直线，如图(b)．由
图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角a∈ 当a=时,这样的直线m有且只有条,当a≠时,这样的直线m有两条 图 题型2共点、共线、共面问题 ,例2)如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90 BC∥=AD,BE∥=2FA,G、H分别为FA、FD的中点 (1)证明:四边形BCHG是平行四边形 (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么? (证明油由已知FG=GAH=HD,可得GH∥=AD又BC∥2AD灬H∥=BC∴ 四边形BCHG为平行四边形 (2)解:(解法1)由BE∥=AF,G为FA中点知,BE∥=FG,∴四边形BFG为平行 边形.∴EF∥BG由(1)知BG∥CH,EFCH∴EF与CH共面又D∈FH,C D、F、E四点共面 解法2如图,延长F、DC分别与AB交于点M、M,∵BE∥=AF 为MA 中 BC∥=AD,B为MA中点.∴M与M重合,即FE与DC交于点MM) C、D、F、E四点共面 变式训练 如图,在正方体ABCD一A1BC1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD 交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证: (1)C1、O、M三点共线 (2)E、C、D1、F四点共面
图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角 α∈ 0， π 2 . 当 α＝ π 2 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 α≠ π 2 时，这样的直线 m 有两条． 图(b) 题型 2 共点、共线、共面问题 ,例 2) 如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°， BC∥= 1 2 AD，BE∥= 1 2 FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点． (1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形． (2) C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ (1) 证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH∥= 1 2 AD.又 BC∥= 1 2 AD，∴ GH∥=BC.∴ 四边形 BCHG 为平行四边形． (2) 解：(解法 1)由 BE∥= 1 2 AF，G 为 FA 中点知，BE∥=FG，∴ 四边形 BEFG 为平行 四边形．∴ EF∥BG.由(1)知 BG∥CH，∴ EF∥CH，∴ EF 与 CH 共面．又 D∈FH，∴ C、 D、F、E 四点共面． (解法 2)如图，延长 FE、DC 分别与 AB 交于点 M、M′，∵ BE∥= 1 2 AF，∴ B 为 MA 中点． ∵ BC∥= 1 2 AD，∴ B 为 M′A 中点．∴ M 与 M′重合，即 FE 与 DC 交于点 M(M′)．∴ C、D、F、E 四点共面． 变式训练 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC、BD 交于点 M，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点．求证： (1) C1、O、M 三点共线； (2) E、C、D1、F 四点共面．
证明:(1)∵C1、O、M∈平面BDC1,又C1、O、M∈平面A1ACC1,由公理2知, 点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,∴C1、O、M三点共线 (2)连结EF,A、B、C、D,E、F分别是AB,A1A的中点,∴EF‖A1B.A1B l CDi. EFIICD C、D1、F四点共面 题型3空间直线位置关系问题 例3已知A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点 (1)求证:直线EF与BD是异面直线 (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角 )证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即 AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾故 直线EF与BD是异面直线 (2)解:取CD的中点G,连结EG、FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的 角,即为异面直线EF与BD所成的角.在R△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG= 45°,即异面直线EF与BD所成的角为45° 喜這式(师号寡) 已知四棱锥 PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线的交 点,若AB=3,PB=4,则PA长度的取值范围为 答案: 解析:由题意知PO⊥平面ABCD,AB=3,PB=4,设PO=h,OB=x,则PA2=h2+ 9-x2=16-x2-x2+9=25-2x2,因为0<x3,所以7425-2x2<25,所以<PA<5 新题推荇 1.(2013·福州检测)给出下列四个命题 ①没有公共点的两条直线平行 ②互相垂直的两条直线是相交直线 ③既不平行也不相交的直线是异面直线 ④不同在任一平面内的两条直线是异面直线 其中正确命题是 (填序号)
证明：(1) ∵ C1、O、M∈平面 BDC1，又 C1、O、M∈平面 A1ACC1，由公理 2 知， 点 C1、O、M 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上，∴ C1、O、M 三点共线． (2) 连结 EF，A、B、C、D，∵ E、F 分别是 AB，A1A 的中点，∴ EF∥A1B.∵ A1B ∥CD1，∴ EF∥CD1.∴ E、C、D1、F 四点共面． 题型 3 空间直线位置关系问题 例 3 已知 A 是△BCD 平面外的一点，E，F 分别是 BC，AD 的中点． (1) 求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2) 若 AC⊥BD，AC＝BD，求 EF 与 BD 所成的角． (1) 证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故 直线 EF 与 BD 是异面直线． (2) 解：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EG∥BD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的 角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角．在 Rt△EGF 中，由 EG＝FG＝ 1 2 AC，求得∠FEG＝ 45°，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. 备选变式（教师专享） 已知四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面的射影恰好是底面菱形 ABCD 的两条对角线的交 点，若 AB＝3，PB＝4，则 PA 长度的取值范围为________． 答案：( 7，5) 解析：由题意知 PO⊥平面 ABCD，AB＝3，PB＝4，设 PO＝h，OB＝x，则 PA2＝h 2＋ 9－x 2＝16－x 2－x 2＋9＝25－2x2，因为 0<x<3，所以 7<25－2x2<25，所以 7<PA<5. 1. (2013·福州检测)给出下列四个命题： ① 没有公共点的两条直线平行； ② 互相垂直的两条直线是相交直线； ③ 既不平行也不相交的直线是异面直线； ④ 不同在任一平面内的两条直线是异面直线． 其中正确命题是________．(填序号)
答案:③④ 解析:没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相交或异 面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异 面直线,命题③、④正确 2.下列命题错误的是 填序号 ①如果平面α⊥平面β,那么平面a内一定存在直线平行于平面β ②如果平面a不垂直于平面β,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面β ③如果平面a⊥平面Y,平面β⊥平面y,a∩ 那么直线1⊥平面y ④如果平面a⊥平面β,那么平面a内所有直线都垂直于平面β 答案:④ 解析:根据长方体模型可知,④是错的 3.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点, 在这个正四面体中 入火 ①GH与EF平行 ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直 以上四个命题中,正确命题的是 (填序号) 答案:②③④ 解析:还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN 成60°角,DE⊥MN 4.若直线1不平行于平面α,且lEα,则下列命题正确的是.(填序号) ①a内的所有直线与1异面 ②a内不存在与1平行的直线 ③a内存在唯一的直线与1平行; ④a内的直线与1都相交 答案:② 5.从正方体ABCD-A1B1CD1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能 (1)矩形的4个顶点; (2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点 (3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点 (4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点 其中正确的结论有 答案:4 解析:四边形ABCD适合(1),四面体ACB1D适合(2),DB1C1D1适合(3),DA1C1D1适 合(4),因此正确的结论有4个 精品题座(教师专享) 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点” 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必 要”)
答案：③④ 解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异 面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异 面直线，命题③、④正确． 2. 下列命题错误的是________．(填序号) ① 如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β； ② 如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β； ③ 如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么直线 l⊥平面 γ； ④ 如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β. 答案：④ 解析：根据长方体模型可知，④是错的． 3. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点， 在这个正四面体中： ① GH 与 EF 平行； ② BD 与 MN 为异面直线； ③ GH 与 MN 成 60°角； ④ DE 与 MN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的是________．(填序号) 答案：②③④ 解析：还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60°角，DE⊥MN. 4. 若直线 l 不平行于平面 α，且 l Ë α，则下列命题正确的是________．(填序号) ① α内的所有直线与 l 异面； ② α内不存在与 l 平行的直线； ③ α内存在唯一的直线与 l 平行； ④ α内的直线与 l 都相交． 答案：② 5. 从正方体 ABCD－A1B1C1D1 的 8 个顶点中任意取 4 个不同的顶点，这 4 个顶点可能 是： (1) 矩形的 4 个顶点； (2) 每个面都是等边三角形的四面体的 4 个顶点； (3) 每个面都是直角三角形的四面体的 4 个顶点； (4) 有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的 4 个顶点． 其中正确的结论有________个． 答案：4 解析：四边形 ABCD 适合(1)，四面体 ACB1D1 适合(2)，DB1C1D1 适合(3)，DA1C1D1 适 合(4)，因此正确的结论有 4 个． 1. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点” 的__________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必 要”)
答案:充分不必要 解析:若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直 线,则两条直线必无公共点 2.(2013南昌模拟)若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则下列命题中假命题的是 (填序号) ①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行; ②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直; ③过点P有且仅有一条直线与1、m都相交; ④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面. 答案:①③④ 解析:①是假命题,因为过点P不存在一条直线与l、m都平行;②是真命题,因为过 点P有且仅有一条直线与l、m都垂直,这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合;③是 假命题,因为过点P也可能没有一条直线与1、m都相交;④是假命题,因为过点P可以作 出无数条直线与1、m都异面,这无数条直线在过点P且与l、m都平行的平面上 3.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延 长线交于N,RP、DC的延长线交于K 求证:M、N、K三点共线 证明:∵M∈PQ,直线PQI平面PQR,M∈BC,直线BCI平面BCD,∴M是平 面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线l上 同理可证:N、K也在1上.∴M、N、K三点共线 4.已知:a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线,求证:a、b、c、d共面 证明:证法1:若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a、b、c相交于一点A,直 线d和A确定一个平面a又设直线d与a、b、c分别相交于E、F、G,则A、E、F、G∈a∵ A、E∈a,A、E∈a,∴aα同理可证bIα,cIα..a、b、c、d在同 a内 证法2:当四条直线中任何三条都不共点时,如图.∵这四条直线两两相交,则设相 交直线a、b确定一个平面α设直线c与a、b分别交于点H、K,则H、K∈α又H、K∈c, Ⅰα同理可证dIα∴a、b、c、d四条直线在同一平面a内 ?疑难指津/ 1.证明点线共面的常用方法:一是依据题中所给条件先确定一个平面,然后证明其余 的点或线都在面内:二是将所有元素分成几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面 重合:三是采用反证法 2.证明三线共点的方法:通常先证明两条直线的交点在第三条直线上,而第三条直线 是两个平面的一条交线 异面直线的证明方法:一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面
答案：充分不必要 解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直 线，则两条直线必无公共点． 2. (2013·南昌模拟)若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则下列命题中假命题的是 ________．(填序号) ① 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行； ② 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直； ③ 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交； ④ 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面． 答案：①③④ 解析：①是假命题，因为过点 P 不存在一条直线与 l、m 都平行；②是真命题，因为过 点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是 假命题，因为过点 P 也可能没有一条直线与 l、m 都相交；④是假命题，因为过点 P 可以作 出无数条直线与 l、m 都异面，这无数条直线在过点 P 且与 l、m 都平行的平面上． 3. 如图，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ、CB 的延长线交于 M，RQ、DB 的延 长线交于 N，RP、DC 的延长线交于 K. 求证： M、N、K 三点共线． 证明： ∵ M∈PQ，直线 PQ Ì 平面 PQR，M∈BC，直线 BC Ì 平面 BCD，∴ M 是平 面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点，即 M 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线 l 上． 同理可证：N、K 也在 l 上．∴ M、N、K 三点共线． 4. 已知：a、b、c、d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d 共面． 证明：证法 1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a、b、c 相交于一点 A，∴ 直 线 d 和 A 确定一个平面 α.又设直线 d 与 a、b、c 分别相交于 E、F、G，则 A、E、F、G∈α.∵ A、E∈α，A、E∈a，∴ a α.同理可证 b Ì α，c Ì α.∴ a、b、c、d 在同一平面 α 内． 证法 2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵ 这四条直线两两相交，则设相 交直线 a、b 确定一个平面 α.设直线 c 与 a、b 分别交于点 H、K，则 H、K∈α.又 H、K∈c， ∴ c Ì α.同理可证 d Ì α.∴ a、b、c、d 四条直线在同一平面 α 内． 1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余 的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面 重合；三是采用反证法． 2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线 是两个平面的一条交线． 3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面
内不经过该点的直线是异面直线):二是采用反证法.判定异面直线时通常采用排除法(既不 相交也不平行)或判定定理 4对于异面直线所成的角,要注意角的范围(及两条直线垂直的定义,平移 法是解决此类问题的关键. 学示:请使用课时训练(B)第1课时(见活页) [备课札记]
内不经过该点的直线是异面直线)；二是采用反证法．判定异面直线时通常采用排除法(既不 相交也不平行)或判定定理． 4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是 0， π 2 以及两条直线垂直的定义，平移 法是解决此类问题的关键． 请使用课时训练（B）第1课时（见活页）. [备课札记]