人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 3.3直线的交点坐标与距离公式 教案A 第1课时 教学内容:3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离 教学目标 知识与技能 1.掌握两条相交直线的交点求法 2.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题. 二、过程与方法 1.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线相交的方法,形成数形结合的学 习习惯 2.学习用代数方法研究几何问题的方法,归纳过定点的直线系方程 3.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. 、情感、态度与价值观 通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内在联系,能够用 辩证的观点看问题. 教学重点、难点 教学重点:判断两直线是否相交,求交点坐标;两点间距离公式的推导 教学难点:两直线相交与二元一次方程的关系;应用两点间距离公式证明几何问题 教学关键:教师通过引导学生利用二元一次方程组的解法求两直线的交点,并会利 用这种方法来判断两直线的位置关系.对于两点间距离公式,教师要向学生阐明其结构 特点及应用,并以适量习题对此进行巩固 教学突破方法:首先创设问题情境,提出问题,引起学生思考,对学生进行分组讨 论,在探究的基础上,得出结论,及时进行练习巩固 教法与学法导航 教学方法:启发引导式 在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互 关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组 解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决 学习方法:在老师的启发下,自主思考讨论、探究,得出结论.利用结论实践,升 华提高 教学准备 教师准备:多媒体课件. 学生准备:直线的一般式方程的相关知识,回顾两条直线位置关系的判定方法及二 元一次方程的解法
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 1 3.3 直线的交点坐标与距离公式 教案 A 第 1 课时 教学内容：3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握两条相交直线的交点求法； 2. 掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 二、过程与方法 1. 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线相交的方法，形成数形结合的学 习习惯； 2. 学习用代数方法研究几何问题的方法，归纳过定点的直线系方程； 3. 通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 三、情感、态度与价值观 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系，能够用 辩证的观点看问题. 教学重点、难点 教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导. 教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系；应用两点间距离公式证明几何问题. 教学关键：教师通过引导学生利用二元一次方程组的解法求两直线的交点，并会利 用这种方法来判断两直线的位置关系.对于两点间距离公式，教师要向学生阐明其结构 特点及应用，并以适量习题对此进行巩固. 教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨 论，在探究的基础上，得出结论，及时进行练习巩固. 教法与学法导航 教学方法：启发引导式． 在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互 关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组 解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决. 学习方法：在老师的启发下，自主思考讨论、探究，得出结论.利用结论实践，升 华提高. 教学准备 教师准备：多媒体课件. 学生准备：直线的一般式方程的相关知识，回顾两条直线位置关系的判定方法及二 元一次方程的解法
教师备课系统多媒体教案 教学过程 教学 设计 环节 教学内容 师生互动 意图 课堂设问一:由直线方 创设 情景 用大屏幕打出直角坐标系中两 程的概念,我们知道直线上激发学 的一点与二元一次方程的解|生兴 新课/线的位置关·让 直线,移动直线,让学生观察这两 导入 的关系,那如果两直线相交 引 点,这一点与这两条直/应学生 线的方程有何关系? 考 1.分析任务,分组讨论,判断 两直线的位置关系 已知两直线L1:A1x+B1y+C1= 0,L2:A2x+B2y+C2=0. 师:提出问题 通过学 如何判断这两条直线的关系? 生:思考讨论并形成结生分组 教师引导学生先从点与直线的论 讨论 位置关系入手,看表一,并填空 使学生 几何元素及关代数表示 理解掌 握判断 A (a, b) 两直线 概念 直线L L: Ax+ By+C 位置的 形成 方法 与 点A在直线上 深化|直线L1与L2的 交点A 课后探究:两直线是否相交与 课堂设问二:如果两条 其方程组成的方程组的系数有何关直线相交,怎样求交点坐 系?(1)若二元一次方程组有唯一标?交点坐标与二元一次方 解,L1与L2相交 程组有什么关系 (2)若二元一次方程组无解 学生进行分组讨论,教 则L1与L2平行 师引导学生归纳出两直线是 (3)若二元一次方程组有无数否相交与其方程所组成的方 解,则L1与L2重合 程组有何关系? 教师可以让学生自己动 手解方程组,看解题是否规训练学 应用 范,条理是否清楚,表达是否生解题 举例 简洁,然后讲解.同类练习」格式 书本110页第1,2题
教师备课系统──多媒体教案 2 教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计 意图 创设 情景 导入 新课 用大屏幕打出直角坐标系中两 直线，移动直线，让学生观察这两 直线的位置关系. 课堂设问一：由直线方 程的概念，我们知道直线上 的一点与二元一次方程的解 的关系，那如果两直线相交 于一点，这一点与这两条直 线的方程有何关系？ 激发学 生 兴 趣，引 起学生 思考. 概念 形成 与 深化 1．分析任务，分组讨论，判断 两直线的位置关系 已知两直线 L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0. 如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的 位置关系入手，看表一，并填空. 几何元素及关 系 代数表示 点 A A （a，b） 直线 L L：Ax + By + C = 0 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的 交点 A 师：提出问题. 生：思考讨论并形成结 论. 通过学 生分组 讨论， 使学生 理解掌 握判断 两直线 位置的 方法. 课后探究：两直线是否相交与 其方程组成的方程组的系数有何关 系？（1）若二元一次方程组有唯一 解，L1 与 L2 相交. （2）若二元一次方程组无解， 则 L1 与 L2 平行. （3）若二元一次方程组有无数 解，则 L1 与 L2 重合. 课堂设问二：如果两条 直线相交，怎样求交点坐 标？交点坐标与二元一次方 程组有什么关系？ 学生进行分组讨论，教 师引导学生归纳出两直线是 否相交与其方程所组成的方 程组有何关系？ 应用 举例 教师可以让学生自己动 手解方程组，看解题是否规 范，条理是否清楚，表达是否 简洁，然后讲解. 同类练习： 书本 110 页第 1，2 题. 训练学 生解题 格式
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 续上表 例1求下列两直线交点坐标: 例1【解析】解方程组 L1:3x+4y-2=0 L2:2x+y+2=0 2x+2y+2=0, 得x=-2,y=2. 所以L1与L2的交点坐标 为M(-2,2),如图 y 例2判断下列各对直线的位置 关系.如果相交,求出交点坐标 例2【解析】(1)解方程组 (1)L1:x-y=0 x-1=0, L2:3x+3y-10=0; (2)L1:3xy+4=0, 3x+3y-10=0, L2:6x-2y-1=0; 规范条 应用 (3)L1:3x+4y-5=0, 得 举例 L2:6x+8y-10=0. 楚,表 这道题可以作为练习以巩固判 断两直线位置关系 所以,h1与h2相交,交点洁 是M(55 (2)解方程组 6x-21=0, ①x②②得9=0,矛盾 方程组无解,所以两直 线无公共点,h1∥2 (3)解方程组 3x+4p 6x+8y1 ①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成 同一个方程,即①和②表示 同一条直线,h1与l2重合
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 3 续上表 应用 举例 例 1 求下列两直线交点坐标： L1：3x + 4y –2 =0， L2：2x + y +2 =0． 例 2 判断下列各对直线的位置 关系.如果相交，求出交点坐标. （1）L1：x–y=0， L2：3x+3y–10=0； （2）L1：3x–y+4=0， L2：6x–2y–1=0； （3）L1：3x+4y–5=0， L2：6x+8y–10=0. 这道题可以作为练习以巩固判 断两直线位置关系. 例 1 【解析】解方程组 得 x = –2，y =2. 所以 L1 与 L2 的交点坐标 为 M（–2，2），如图： 例 2【解析】（1）解方程组 得 5 3 5 3 x y = = ， ． 所以，l1 与 l2 相交，交点 是 M （ 5 5 , 3 3 ）. （2）解方程组 ①×②–②得 9 = 0，矛盾， 方程组无解，所以两直 线无公共点，l1∥l2. （3）解方程组 ①×2 得 6x + 8y –10 = 0. 因此，①和②可以化成 同一个方程，即 ①和②表示 同一条直线，l1 与 l2 重合. 规范条 理 清 楚，表 达 简 洁. 3x+4y–5=0， 6x+8y–10=0， ① ② x–y=0， 3x+3y–10=0， 3x−y+=0， 6x–2y–1=0， 3x+4y−2=0， 2x+2y+2=0， ① ② x y 8 4 2 – 2 – 4 –5 5
教师备课系统多媒体教案 续上表 课堂设问一当λ变化 时,方程3x+4y2+λ(2x+ +2)=0表示何图形,图形有 何特点?求出图形的交点坐 标 (1)可以用信息技术,培养学 当取不同值时,通过各种图生由特 方法 形,经过观察,让学生从直观|殊到 探究 上得出结论,同时发现这些直般的思 线的共同特点是经过同一点.维方法 (2)找出或猜想这个点 的坐标,代入方程,得出结论. (3)结论,方程表示经 过这两直线L1与L2的交点的 直线的集合 例3已知a为实数,两直线l 例3【解析】解方程组若 ax+y+1=0,h2:x+y-a=0相交a2+1 >0,则a>1.当a> 一点 求证:交点不可能在第一象限及 a+1 0,故生将方 法拓展 与延伸 因为a1(否则两直线平 行,无交点),所以,交点不 可能在x轴上,得交 过平面上任意两点P(x2y1), 回忆数轴上两点间的距 概念的B(x23)分别向y轴和x轴作垂线,离公式,同学们能否用以前所 书形成与垂足分别N(0,x),M(x20),同学的知识来解决平面直角坐 深化直线PN与PM2相交于点Q 标系中任意两点间的距离问 题?
教师备课系统──多媒体教案 4 续上表 方法 探究 课堂设问一. 当 λ 变化 时，方程 3x + 4y–2+λ（2x + y +2） =0 表示何图形，图形有 何特点？求出图形的交点坐 标， （1）可以用信息技术， 当 取不同值时，通过各种图 形，经过观察，让学生从直观 上得出结论，同时发现这些直 线的共同特点是经过同一点. （2）找出或猜想这个点 的坐标，代入方程，得出结论. （3）结论，方程表示经 过这两直线 L1 与 L2 的交点的 直线的集合. 培养学 生由特 殊到一 般的思 维方法. 应用 举例 例 3 已知 a 为实数，两直线 l1： ax + y + 1= 0，l2：x + y – a = 0 相交 于一点. 求证：交点不可能在第一象限及 x 轴上. 【分析】先通过联立方程组将交 点坐标解出，再判断交点横纵坐标的 范围. 例 3【解析】解方程组若 2 1 0 1 a a + − ，则 a＞1. 当 a＞1 时， 1 1 a a + − − ，此时交点在 第二象限内. 又因为 a 为任意实数时， 都 有 a 2 +1≥1 ＞ 0 ， 故 2 1 0 1 a a + − . 因为 a≠1 （否则两直线平 行，无交点），所以，交点不 可能在 x 轴 上 ， 得 交 点 （ 2 1 1 , 1 1 a a a a + + − − − ）. 引导学 生将方 法拓展 与延伸. 概念的 形成与 深化 过平面上任意两点 1 1 1 P x y ( , )， 2 2 2 P x y ( , ) 分别向y轴和x轴作垂线， 垂足分别 N y M x 1 1 2 2 (0 0 ， )， ( ， ) ， 直线 PN P M 1 2 1 2 与 相交于点 Q. 回忆数轴上两点间的距 离公式，同学们能否用以前所 学的知识来解决平面直角坐 标系中任意两点间的距离问 题？
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 续上表 在直角△ABC中 1P=|PQ+B,为了计算其 长度,过点P向x轴作垂线,垂足 在教学 为M(x.0)过点P2向y轴作垂 以提出 线,垂足为N2(O,y2),于是有 问题让 学生自 IROP=M, M, 2=, -x, 2 己思 考,教 师提 RO=N N,=22-y 根 所以,|PP=|Pg+P 据勾股 定理 不难得 2-xF+|y2-y 由此得到两点间的距离公式 =y(x2-x2)+(y2-y) 例4:已知点A(-1,2),B(2,【解析】设所求点 √7),在x轴上求一点,使 于是有 +0-2y-21分 巩固学 PA=|PB,并求|P4的值 生对两 由|P4=PB得 点间距 离公式 应用 x2+2x+5=x2-4x+1,解的应用 举例 得x=1 提高学 所以,所求点P(1,0),且生细 运算,规 范表达 通过例题,使学生对两点间|的能力 距离公式理解和应用
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 5 续上表 在直角ABC 中， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + ，为了计算其 长度，过点 P1 向 x 轴作垂线，垂足 为 M x 1 1 ( ， 0) 过点 P2 向 y 轴作垂 线，垂足为 N y 2 2 (0， ) ，于是有 2 2 2 PQ M M x x 1 2 1 2 1 = = − ， 2 2 2 2 2 1 2 1 PQ N N y y = = − . 所以， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + = 2 2 2 1 2 1 x x y y − + − . 由此得到两点间的距离公式 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 PP x x y y = − + − . 在教学 过 程 中，可 以提出 问题让 学生自 己 思 考，教 师 提 示，根 据勾股 定理， 不难得 到. 应用 举例 例 4 ：已知点 A（-1，2），B（2， 7 ），在 x 轴上求一点，使 PA PB = ，并求 PA 的值. 【解析】设所求点 P（x，0）， 于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x + + − = − + − 1 0 2 2 0 7 由 PA PB = 得 2 2 x x x x + + = − + 2 5 4 11， 解 得 x=1. 所以，所求点 P（1，0），且 ( ) ( ) 2 2 PA = + + − = 1 1 0 2 2 2. 通过例题，使学生对两点间 距离公式理解和应用. 巩固学 生对两 点间距 离公式 的应用. 提高学 生细心 运算，规 范表达 的能力
教师备课系统多媒体教案 续上表 例5证明平行四边行四条边【分析】首先要建立直角坐 的平方和等于两条对角线的平方标系,用坐标表示有关量, 然后用代数进行运算,最后 把代数运算“翻译”成几何 关系 这一道题可以让学生讨论解 决,让学生深刻体会数形之 间的关系和转化,并从中归 纳出应用代数问题解决几何 问题的基本步骤. 提高学 证明过程见书P105. 生应用 因此,平行四边形四条边的坐标法 应用 平方和等于两条对角线的平证明简 举例 方和 单几何 上述解决问题的基本步骤可问题的 以让学生归纳如下: 能力 第一步:建立直角坐标系, 用坐标表示有关的量 第二步:进行有关代数运算 第三步:把代数结果“翻 译”成几何关系 思考:同学们是否还有其他 的解决办法? 还可用综合几何的方法证明 这道题 直线与直线的位置关系,求两 小结/线的交点坐标及两点间的距离 形成知 师生共同总结 能将几何问题转化为代数问题来解 决,并能进行应用 系 课堂作业 1.求经过点(2,3)且经过h:x+3y-4=0与h:5x+2y+6=0的交点的直线 方程. 【解析】解法1:联立{x+3y-4=0.mx=-2 x+2y+6=0, 所以l1,h2的交点为(-2,2) 由两点式可得:所求直线方程为3=x-2,即x-4y+10=0
教师备课系统──多媒体教案 6 续上表 应用 举例 例 5 证明平行四边行四条边 的平方和等于两条对角线的平方 和. 【分析】首先要建立直角坐 标系，用坐标表示有关量， 然后用代数进行运算，最后 把代数运算“翻译”成几何 关系. 这一道题可以让学生讨论解 决，让学生深刻体会数形之 间的关系和转化，并从中归 纳出应用代数问题解决几何 问题的基本步骤. 证明过程见书 P105. 因此，平行四边形四条边的 平方和等于两条对角线的平 方和. 上述解决问题的基本步骤可 以让学生归纳如下： 第一步：建立直角坐标系， 用坐标表示有关的量. 第二步：进行有关代数运算. 第三步；把代数结果“翻 译”成几何关系. 思考：同学们是否还有其他 的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明 这道题. 提高学 生应用 坐标法 证明简 单几何 问题的 能力. 小结 直线与直线的位置关系，求两 直线的交点坐标及两点间的距离， 能将几何问题转化为代数问题来解 决，并能进行应用. 师生共同总结． 形成知 识 体 系. 课堂作业 1．求经过点（2，3）且经过 l1：x + 3y– 4 = 0 与 l2：5x + 2y + 6 = 0 的交点的直线 方程. 【解析】解法 1：联立 3 4 0 2, 5 2 6 0 2, x y x x y y + − = = − + + = = ， 得 ， 所以 l1，l2 的交点为（–2，2）. 由两点式可得：所求直线方程为 3 2 2 3 2 2 y − x − = − − − ，即 x – 4y + 10 = 0
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 解法2:设所求直线方程为:x+3y-4+2(5x+2y+6)=0. 因为点(2,3)在直线上,所以2+3×3-4+(5×2+2×3+6)=0 所以 7 ,即所求方程为x+3y-4+(-)(5x+2y+6)=0, 即为x-4y+10=0 2.已知直线h1:x+m+6=0,h:(m-2)x+3y+2m=0,试求m为何值时, h与l2:(1)重合;(2)平行;(3)垂直;(4)相交 【解析】当h1∥h2(或重合)时: 1×3-(m-2)·m=0,解得: )当m=3时,h:x+3y+6=0,h:x+3y+6=0,所以h与h重合 m=-1时,h:x-y+6=0,h2:-3x+3y-2=0,所以h1∥h2 (3)当l1⊥l2时,A1A2+B1B2=0,m-2+3m=0,即m=: (4)当m≠3且m-1时,h与h相交 3.若直线hy=kx-√与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的 倾斜角的取值范围是() [30,60) C.(60,90) D.[30,90] 【解析】直线2x+3y-6=0过A(3,0),B(0, 2),而过定点C(0-5.由图象可知1即可 0 所以l的倾斜角的取值范围是(30°,90°),故选B 4.已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A距离等于13,求点P的坐标 【解析】由于点P在x轴上,设P(x,0),则PAF=V(4-x)2+(12-0)2=13,解得 x=9或-1.所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0) 第2课时 教学内容:3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离 教学目标 知识与技能 1.理解点到直线距离公式的推导 2.熟练掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离 过程与方法 经历点到直线距离公式的推导过程,掌握一种推导方法
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 7 解法 2：设所求直线方程为：x + 3y – 4 + （5x + 2y + 6） = 0. 因为点（2，3）在直线上，所以 2+3×3–4+ （5×2+2×3+6） = 0， 所以 7 22 = − ，即所求方程为 x + 3y – 4 + （ 7 22 − ）（5x + 2y + 6） = 0， 即为 x – 4y + 10 = 0. 2． 已知直线 l1：x + my + 6 = 0，l2：（m – 2）x + 3y + 2m = 0，试求 m 为何值时， l1 与 l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交. 【解析】当 l1∥l2（或重合） 时： A1B2 – A2B1 = 1×3 – （m – 2）·m = 0，解得：m = 3，m = –1. （1）当 m = 3 时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以 l1 与 l2 重合； （2）当 m = –1 时，l1：x – y + 6 = 0，l2：–3x + 3y – 2 = 0，所以 l1∥l2； （3）当 l1⊥l2 时，A1A2 + B1B2 = 0，m – 2 + 3m = 0，即 1 2 m = ； （4）当 m≠3 且 m≠–1 时，l1 与 l2 相交. 3．若直线 l：y = kx – 3 与直线 2x + 3y – 6 = 0 的交点位于第一象限，则直线 l 的 倾斜角的取值范围是（ ）. A．[30 , 60 ) B． (30 , 90 ) C． (60 , 90 ) D．[30 , 90 ] 【解析】直线 2x + 3y – 6 = 0 过 A（3，0），B （0， 2），而 l 过定点 C (0, 3) − ， 由图象可知 . 0 AC k k k 即可 所以 l 的倾斜角的取值范围是（30°，90°），故选 B. 4. 已知点 A（4，12），在 x 轴上的点 P 与点 A 距离等于 13，求点 P 的坐标. 【解析】由于点 P 在 x 轴上，设 P（x，0），则|PA|= (4 ) (12 0) 13 2 2 − x + − = ，解得 x=9 或-1.所以点 P 的坐标为（9，0）或（-1，0）． 第 2 课时 教学内容：3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行线间的距离 教学目标 一、知识与技能 1. 理解点到直线距离公式的推导； 2.熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离. 二、过程与方法 经历点到直线距离公式的推导过程，掌握一种推导方法
教师备课系统多媒体教案 三、情感、态度与价值观 认识事物之间在一定条件下的转化,用联系的观点看问题。 教学重点、难点 教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用 教学关键:根据题目的具体条件,熟练地记忆并应用公式进行求解 教学突破方法:首先创设问题情境,提出问题,引起学生思考,让学生理解公式的 推导过程,并结合公式的特点要求学生记忆公式,在此基础上,选择针对性的习题加以 巩固 教法与学法导航 教学方法:讲练结合法 学习方法:讨论练习法 教学准备 教师准备:多媒体课件 学生准备:两直线间的位置关系 教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计意图 前面几节课,我们一起研用PP打出平面直角 究学习了两直线的平行或垂直坐标系中两直线,进行移 的充要条件,两直线的夹角公动,使学生回顾两直线的位 式,两直线的交点问题,两点间置关系,且在直线上取两 的距离公式逐步熟悉了利用代点,让学生指出两点间的距 创设 情景 数方法研究几何问题的思想方离公式,复习前面所学要激发学生兴 导入这一节,我们将研究怎样由求学生思考一直线上的计趣,引起学 新课|点的坐标和直线的方程直接求算?能否用两点间距离公生思考 点P到直线/的距离 式进行推导? 两条直线方程如下: ∫4x+By+C1=0, A,x+B,y+C,=0, 点到直线距离公式: 教师提出问题:在平面直体现了“画 概念 点P(x,y0)到直线 角坐标系中,如果已知某点归”思想方 形成1:Ax+By+C=0的距离为 P的坐标为(x,y0),直线法,把一个 新问题转化 与 =0或B=0时,以上公式为曾经解 深化d Ax,+ Byo+C l:Ax+By+C=0,怎样用决过的问 点的坐标和直线方程直接题,一个熟 求点P到直线l的距离呢?悉的问题
教师备课系统──多媒体教案 8 三、情感、态度与价值观 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 新疆 学案 王新敞 教学重点、难点 教学重点：点到直线的距离公式 新疆 学案 王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学关键：根据题目的具体条件，熟练地记忆并应用公式进行求解. 教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，让学生理解公式的 推导过程，并结合公式的特点要求学生记忆公式，在此基础上，选择针对性的习题加以 巩固. 教法与学法导航 教学方法：讲练结合法． 学习方法：讨论练习法． 教学准备 教师准备：多媒体课件． 学生准备：两直线间的位置关系． 教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 创设 情景 导入 新课 前面几节课，我们一起研 究学习了两直线的平行或垂直 的充要条件，两直线的夹角公 式，两直线的交点问题，两点间 的距离公式.逐步熟悉了利用代 数方法研究几何问题的思想方 法.这一节，我们将研究怎样由 点的坐标和直线的方程直接求 点 P 到直线 l 的距离. 两条直线方程如下： 1 1 1 2 2 2 0 0 A x B y C A x B y C + + = + + = ， ， 用 PPT 打出平面直角 坐标系中两直线，进行移 动，使学生回顾两直线的位 置关系，且在直线上取两 点，让学生指出两点间的距 离公式，复习前面所学.要 求学生思考一直线上的计 算？能否用两点间距离公 式进行推导？ 激发学生兴 趣，引起学 生思考. 概念 形成 与 深化 1．点到直线距离公式： 点 ( , ) 0 0 P x y 到直线 l : Ax + By +C = 0 的距离为： 0 0 2 2 . Ax By C d A B + + = + 教师提出问题： 在平面直 角坐标系中，如果已知某点 P 的坐标为 ( , ) 0 0 x y ，直线 ＝0 或 B＝0 时，以上公式 l : Ax + By +C = 0 ，怎样用 点的坐标和直线方程直接 求点 P 到直线 l 的距离呢? 体现了“画 归”思想方 法，把一个 新问题转化 为 曾经解 决过的问 题，一个熟 悉的问题
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 续上表 点到直线距离公式的推导 此方法虽思路自然,但 方案 运算较繁.下面我们探讨另图形,分析 一种方法。 任务,理清 P(xo, yo) 方案二:设A≠0,B0,思路,解决 这时1与x轴、y轴都相交,/间题 过点P作x轴的平行线,交l 于点R(x1,y0);作y轴的平 设点P到直线l的垂线段为PC 垂足为Q,由PQ⊥1可知,直线 行线,交l于点S(x0,y2), PQ的斜率为(4#0),根据点 Ax , Byo +C=O, 斜式写出直线PQ的方程,并由 Ax+By, +C=0, 与PQ的方程求出点Q的坐标;得 由此根据两点距离公式求出 Ax -c PQ|,得到点P到直线l的距离 x=-0 概念为d 所以,|PR|=|x0-x1 形成 Ax+ Byo+C 与 深化 I PS |=I yoy Axo+ Byo √P2+rs A+B AB ,由三角 形面积公式可知: IPR PSI, Ax+By+C 所以d y
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 9 续上表 概念 形成 与 深化 点到直线距离公式的推导. 方案一： 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ， 垂足为 Q，由 PQ⊥ l 可知，直线 PQ 的斜率为 A B （A≠0），根据点 斜式写出直线 PQ 的方程，并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标； 由此根据两点距离公式求出｜ PQ｜，得到点 P 到直线 l 的距离 为 d. 此方法虽思路自然，但 运算较繁.下面我们探讨另 一种方法 新疆 学案 王新敞 方案二：设 A≠0，B≠0， 这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交， 过点 P 作 x 轴的平行线，交 l 于点 ( , ) 1 0 R x y ；作 y 轴的平 行线，交 l 于点 ( , ) 0 2 S x y ， 由 1 1 0 0 2 0 0 A x By C Ax By C + + = + + = ， ， 得 0 0 1 2 , . By C Ax C x y A B − − − − = = 所以，｜PＲ｜＝｜x0-x1｜＝ Ax By C 0 0 A + + ， ｜PS｜＝｜y0-y2｜＝ Ax By C 0 0 B + + ， ｜ＲS｜＝ 2 2 2 2 A B PR PS AB + + = ×｜ Ax0 + By0 + C ｜，由三角 形面积 公式可知： d ·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜ PS｜， 所以 0 0 2 2 . Ax By C d A B + + = + 画 出 图形，分析 任务，理清 思路，解决 问题
教师备课系统多媒体教案 续上表 例1求点P=(-1,2)到直 例1【解析】 线3x=2的距离 (-1) 例2已知点A(1,3),B 例2【解析】设AB边上 (3,1),C(-1,0),求三角形的高为h,则三角形ABC的 ABC的面积 面积为 例3应用推导两平行线间 S=4B·h 已知两条平行线直线4和=3-+(-3=25 l2的一般式方程为l AB边上的高h就是点C通过 到AB的距离 这两道简 AB边所在直线方程为单的例题, Ax+ By+C=0 y-3X-1 使学生能 l2:Ax+b+C2=0,则l 1-33-1 够进一步 对点到直 应用 点C到X+Y4=0的距离线的距离 举例|与4的距离为d=H+B 为h, 理解应用, 1+0-45 能逐步体 证明:设P(x,y)是直线 会用代数 运算解决 在x+B+C1=0上任一点,则因此,S=1×x2×5=5.几何问题 点Po到直线Ax+By+C1=0的 距离为d= Ax,+ By,+C 又Axa+Bya+C,=0, 即Ax+By0 2+B2
教师备课系统──多媒体教案 10 续上表 应用 举例 例 1 求点 P=（-1，2）到直 线 3x=2 的距离. 例 2 已知点 A（1，3），B （3，1），C（-1，0），求三角形 ABC 的面积. 例 3 应用推导两平行线间 的距离公式. 已知两条平行线直线 1 l 和 2 l 的 一 般 式 方 程 为 1 l ： Ax + By +C1 = 0 ， 2 l ：Ax + By +C2 = 0 ，则 1 l 与 2 l 的距离为 2 2 1 2 A B C C d + − = . 证明：设 ( , ) 0 0 0 P x y 是直线 Ax + By +C2 = 0 上任一点，则 点 P0 到直线 Ax + By +C1 = 0 的 距离为 0 0 1 2 2 Ax By C d A B + + = + ， 又 0 0 2 Ax By C + + = 0， 即 Ax0 + By0 = −C2 ，∴d＝ 2 2 1 2 A B C C + − . 例 1【解析】 d= ( ) 2 2 3 1 2 5 3 0 3 − − = + . 例 2【解析】设 AB 边上 的高为 h，则三角形 ABC 的 面积为 S= 1 2 AB h • ， ( ) ( ) 2 2 AB = − + − = 3 1 1 3 2 2 ， AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. AB 边所在直线方程为 3 1 1 3 3 1 y X − − = − − ， 即 x+y-4=0. 点 C 到 X+Y-4=0 的距离 为 h， h= 2 2 1 0 4 5 1 1 2 − + − = + ， 因此，S= 1 5 2 2 5 2 2 = ． 通 过 这两道简 单的例题， 使学生能 够进一步 对点到直 线的距离 理解应用， 能逐步体 会用代数 运算解决 几何问题 的优越性