空间点、直线、平面之间的位置关系(知识点) 、四个公理 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号语言:A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→lca. 图形语言 公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 图形语言:△ABC确定一个平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号语言:P∈a,P∈B→a∩B=1,且P∈ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号语言:a∥b,b∥c→a∥ 二、三个角的定义 三角为:异面直线所成的角,线面角,二面角 1异面直线所成的角:已知两条异面直线ab,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角) 2线面角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成 的角 图形语言: 3二面角:在二面角a-1-B的棱/上任取一点O,以点O为垂直,在半平面a和B内分 别作垂直于棱l的射线O4和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角 图形语言: 判定定理和性质定理 1线面平行的判定定理 文字语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行 a￠a, 符合语言:{bca,→a∥a a∥b 2面面平行的判定定理 文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 B bcB 符合语言:a∩b=P}→B∥a a∥a b∥a
1 空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点） 一、四个公理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号语言： Al, Bl, 且 A,B l . 图形语言： 公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 图形语言： ABC 确定一个平面. 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言： P, P = l, 且 Pl. 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号语言： a // b,b // c a // c. 二、三个角的定义 三角为：异面直线所成的角，线面角，二面角. 1 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a,b ，经过空间任一点 O 作直线 a // a,b// b, 把 a 与b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a,b 所成的角（或夹角）. 2 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成 的角. 图形语言： 3 二面角: 在二面角 − l − 的棱 l 上任取一点 O ，以点 O 为垂直，在半平面 和 内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角. 图形语言： 三、判定定理和性质定理 1 线面平行的判定定理 文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符合语言： // . // , , , a a b b a 2 面面平行的判定定理 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符合语言： // . // // = b a a b P b a
3线面平行的性质定理 文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行 符合语言:{acB, ∥b a∩B=b, 图形语言: 定理:平面外两条平行直线中的一条平行于这个平面,则另一条直线也平行于这个平面 a∥b a∥a}→b∥a 符合语言: b 4面面平行的性质定理 文字语言:两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 ∥B ay=a}→a∥b 符合语言:B∩y=b 定理:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 5线面垂直的判定定理 文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 a⊥b a⊥c →a⊥C b.c 符合语言:b⌒c=O 定理:两平行直线中一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直这个平面 a∥b →b⊥ 符合语言: 6面面垂直的判定定理 文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 2
2 3 线面平行的性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行. 符合语言： // . , , // , a b b a a = 图形语言： 定理：平面外两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条直线也平行于这个平面. 符合语言： // // . // b b a a b 4 面面平行的性质定理 文字语言：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符合语言： // . // a b b a = = 定理：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 5 线面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 符合语言： . , ⊥ = ⊥ ⊥ a b c O b c a c a b 定理：两平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面. 符合语言： . // ⊥ ⊥ b a a b 6 面面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⊥ aca 符合语言: 7线面垂直的性质定理 文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥a a∥b. b⊥ 符合语言: 定理:垂直于同一条直线的两个平面平行 a⊥ bAb 符合语言: 定理:一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直这个平面内的任意一条直线 a⊥a →a⊥b b 符合语言: 8面面垂直的性质定理 文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 a⊥B a∩B=1 →a⊥B 符合语言:a⊥l 定理:两个相交平面都垂直第三个平面,则两个相交平面的交线也垂直于第三个平面 ⊥y B⊥y l⊥y 符合语言: a∩B=l 3
3 符合语言： . ⊥ ⊥ a a 7 线面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言： a // b. b a ⊥ ⊥ 定理：垂直于同一条直线的两个平面平行. 符合语言： // ⊥ ⊥ a a . 定理：一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直这个平面内的任意一条直线. 符合语言： a b. b a ⊥ ⊥ 8 面面垂直的性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符合语言： ⊥ ⊥ = ⊥ a a l a l . 定理：两个相交平面都垂直第三个平面，则两个相交平面的交线也垂直于第三个平面. 符合语言： . ⊥ = ⊥ ⊥ l l