33直线的交点坐标与距离公式 【知识点概括】 ·两条直线的交点坐标 设两条直线的方程是1:Alx+Bly+Cl=0,b:A2x+B2y+C2=0 A x+B,y+C 两条直线的交点坐标就是方程组(42x+By+C2=0的解 若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标 若方程无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行。反之亦成立 两点之间的距离 平面上的两点Pl(x1,yl),P2(x2,y2)间的距离公式 P1P2|= 原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OPl 三·点到直线的距离 点P0x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 Lx.+ By, +Cl (使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式) 四·两条平行直线间的距高 两条平行线Ax+By+Cl=0与Ax+By+C2=0间的距离 C.-C. A2+B2 使用两平行线间的距离公式时 1)首先直线的方程化成一般形式 2)还要注意x、y的系数必须相同时才能读出Cl、C2的值 【基本问题】 两直线的交点问题: (1)先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再依其他条件求解 (2)运用过两直线交点的直线系方程:若两直线1:Ax+By+a1=0,2:Ax+By+e2 0有交点,则过n与交点的直线系方程为Ax+团y++A(Ax+By+C2)=0(4为 待定常数,不包括直线2),设出方程后再利用其他条件求解 距离问题 对称问题 1.中心对称 (1)若点Mx1,y)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式(y=2b-y (2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们 关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用1
3.3 直线的交点坐标与距离公式 【知识点概括】 一·两条直线的交点坐标 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0 两条直线的交点坐标就是方程组 的解 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标； 若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。反之亦成立 二·两点之间的距离 平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝ 原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ 三·点到直线的距离 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d= （使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式 Ax+By+C=0 的形式） 四·两条平行直线间的距离 两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d= 使用两平行线间的距离公式时 1）首先直线的方程化成一般形式 2）还要注意 x、y 的系数必须相同时才能读出 C1、C2 的值. 【基本问题】 一.两直线的交点问题： (1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解． (2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 有交点，则过 l1 与 l2 交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为 待定常数，不包括直线 l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 二．距离问题 三．对称问题 1．中心对称 (1)若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两 点，利用中点坐标公式求出它们 关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 l1
∥n,由点斜式得到所求直线方程 2.轴对称 (1)点关于直线的对称 对称轴l上,而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l,由方程组,则线段PP2的中点在 若两点Pl(x1,yl)与P2x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称, AC ( 可得到点P1关于对称的点P2的坐标(x2,y2)(其 中B≠0, x1≠x2) (2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决,若已知直线n与对称轴l相交,则交 点必在与l对称的直线12上,然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2 那么经过交点及点P2的直线就是12:若已知直线与对称轴/平行,则与1对称的直线和 ll到直线l的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出的对称直线或 者在已知直线上任取一点,找它关于对称轴的对称点,用点斜式求方程 【习题】 1.已知集合M={(xy)|x+y=2},N=(xy)|x-y=4},那么集合MnN为(D) A.{3-1} B.3.-1 C.(3,-1) D.{(3,-1)} 2.已知直线y=k+2H+1与直线八1 x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是(C) A.-60)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(C) B.2 C 1 若三条直线y=2x,x+y=3,mx+my+5=0相交于同一点,则点(m,n)可能是(A) C.(-3,1) 5.两直线x-y-2=0与2x-2y+3=0的距离为(B 52 6.点P在直线x+y-4=0上,O为原点,则OP的最小值是(C) B.√6 C.2√2 D.√10 7.一条直线经过P(1,2),且与A(2,3)、B(4,-5)距离相等,则直线l为(C) A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.3x+2y-7=0和4x+y-6=0 D.2x+3y-7=0,x+4y-6=0 8.过两直线x√3y+1=0和√3x√=0的交点,并与原点的距离等于1的直线共有 (B) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 9.经过点A(1,0)和B(0,5)分别作两条平行线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直 线共有(B) C.3组 D4组
∥l2，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称 (1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，则线段 P1P2 的中点在 对称轴 l 上，而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l，由方程组 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其 中 B≠0， x1≠x2) (2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知直线 l1 与对称轴 l 相交，则交 点必在与 l1 对称的直线 l2 上，然后再求出 l1 上任一个已知点 P1 关于对称轴 l 对称的点 P2， 那么经过交点及点 P2 的直线就是 l2；若已知直线 l1 与对称轴 l 平行，则与 l1 对称的直线和 l1 到直线 l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出 l1 的对称直线,或 者在已知直线上任取一点，找它关于对称轴的对称点，用点斜式求方程． 【习题】 1. 已知集合 M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合 M∩N 为( D ) A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)} 2. 已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=– 2 1 x+2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是( C ) A.–6<k<2 B.– 6 1 <k<0 C.– 6 1 <k< 2 1 D. 2 1 <k<+∞ 3．已知点(a,2)(a＞0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于( C ) A. B．2－ C. －1 D. ＋1 4．若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0 相交于同一点，则点(m，n)可能是( A ) A．(1，－3) B．(3，－1) C．(－3,1) D．(－1,3) 5．两直线 x－y－2＝0 与 2x－2y＋3＝0 的距离为( B ) 6. 点 P 在直线 x+y–4=0 上，O 为原点，则|OP|的最小值是( C ) A．2 B. 6 C. 2 2 D. 10 7．一条直线经过 P(1,2), 且与 A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线 l 为( C ) A. 4x+y－6=0 B. x+4y－6=0 C. 3x+2y－7=0 和 4x+y－6=0 D. 2x+3y－7=0, x+4y－6=0 8．过两直线 x– 3 y+1=0 和 3 x+y– 3 =0 的交点，并与原点的距离等于 1 的直线共有 ( B ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 9．经过点 A(1, 0)和 B(0, 5)分别作两条平行线，使它们之间的距离等于 5，则满足条件的直 线共有( B ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组
10.已知点A(13)、B(5,2),点P在x轴上,使4PHBP取得最大值时P的坐标(B) B.(13,0) C.(5,0) 1两直线位置关系的判定 已知直线l:(m+3)x+4y=5-3ml22x(m+5)y=8 问:m为何值时1)l1‖122)1与12重合3)1与12垂直 12两直线的交点问题 求经过直线h:3x+2y-1=0和h:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l:3x-5y+6 =0的直线l的方程 (5x+3y-1=0) 13距离问题 已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程 (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少? (x=2或3x-4y-10=02x-y-5=0根号五)
10. 已知点 A(1,3)、B(5,2)，点 P 在 x 轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时 P 的坐标（ B ） A. （4,0） B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 11.两直线位置关系的判定 已知直线 l1 ：（m+3）x+4y=5-3m l2:2x+(m+5)y=8 问：m 为何值时 1）l1‖l2 2）l1 与 l2 重合 3）l1 与 l2 垂直 12.两直线的交点问题 求经过直线 l1：3x＋2y－1＝0 和 l2：5x＋2y＋1＝0 的交点，且垂直于直线 l3：3x－5y＋6 ＝0 的直线 l 的方程． （5x＋3y－1＝0） 13.距离问题 已知点 P(2，－1)．(1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？ （x＝2 或 3x－4y－10＝0.| 2x－y－5＝0 根号五）
14.对称问题 已知直线l:2x-3y+1=0,点A( (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标 (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程 9x-46y+102=0. 15.一直线过点P(-3-),被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求此弦所在直线方程 6.求圆x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程
14．对称问题 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)，求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标； (2)直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程． |9x－46y＋102＝0. 15．一直线过点 3 ( 3, ) 2 P − − ，被圆 2 2 x y + = 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程. 16．求圆 2 2 x y x y + + − + = 4 12 39 0 关于直线 3 4 5 0 x y − − = 的对称圆方程