空间几何体的结构特征及三视图与直观图 训练题 题点全面练 1.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体 的侧视图为() 图(1) 图(2) 解析:选B根据题意,得点A在平面BCB上的投影是点B,点D在平 面BCGB上的投影是点C,棱AB在平面BCB上的投影是BB,棱A在平面 BCB上的投影是BC,棱BD在平面BCBR上的投影是BG,棱BC是被挡住 的棱,应画成虚线,作出该几何体的侧视图如图所示,故选B. 2.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和 等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该 多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为() B.12 D.16 解析:选B由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形 的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直 三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为 2+4×2 2=12. 3.如图,一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形,则这个三棱柱的俯视 图为( 正视图 侧视图
空间几何体的结构特征及三视图与直观图 训练题 一、题点全面练 1．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体 的侧视图为( ) 解析：选 B 根据题意，得点 A 在平面 BCC1B1 上的投影是点 B，点 D 在平 面 BCC1B1 上的投影是点 C，棱 AB1 在平面 BCC1B1 上的投影是 BB1，棱 AD1在平面 BCC1B1 上的投影是 BC1，棱 B1D1 在平面 BCC1B1 上的投影是 B1C1，棱 B1C 是被挡住 的棱，应画成虚线，作出该几何体的侧视图如图所示，故选 B. 2.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和 等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形．该 多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 解析：选 B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形 的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直 三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为 2＋4 ×2 2 ×2＝12. 3．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视 图为( )
解析:选D由正视图和侧视图可知,这是一个水平放置的正三棱柱.故选D 4.(2018·全国卷I)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图 所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在 左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路 径的长度为( B.25 D.2 解析:选B先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,M的位置如图①所示 圆柱的侧面展开图及M,M的位置(N为OP的四等分点)如图②所示,连接M,则图中 WV即为M到N的最短路径.∵O№=×16=4,OM=2 M√OJF+O2=y2+42=2 5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是() 正视图 侧视图 俯视图 D.3 解析:选D根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图所示,则体积V ^2×2×x=3,解得x=3. 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧视图中的虚线部分是()
解析：选 D 由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选 D. 4.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 所示．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在 左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路 径的长度为( ) A．2 17 B．2 5 C．3 D．2 解析：选 B 先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置如图①所示． 圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图②所示，连接 MN，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径．∵ON＝ 1 4 ×16＝4，OM＝2， ∴MN＝ OM 2＋ON 2＝ 2 2＋4 2＝2 5. 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是( ) A．2 B. 9 2 C. 3 2 D．3 解析：选 D 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积 V ＝ 1 3 × 1＋2 2 ×2×x＝3，解得 x＝3. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )
正视图 侧视图 俯视图 A.圆弧 B.抛物线的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 解析:选D根据几何体的三视图,可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面 截圆锥所得,故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分,故选D 7.如图,△AB是利用斜二测画法画出的△AB0的直观图,已 知A'B∥y’轴,OB=4,且△ABO的面积为16,过A作A'C x’轴,则AC的长为 解析:因为A′B∥y’轴,所以△ABO中,AB⊥OB 又因为△ABO的面积为16,所以AB·OB=16 因为OB=0B=4,所以AB=8,所以AB=4 因为A′C⊥0B于C, 所以 答案:2V2 8.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,在 该几何体上任意选择4个顶点,以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题:①矩形 ②有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;③两个面都是等腰直角三角形 的四面体 正视图 侧视图 俯视图 其中正确命题的序号是 解析:由三视图可知,该几何体是正四棱柱,作出其直观图为如图 所示的四棱柱 ABCIABGD,当选择的4个点是B,B,C,C时,可知4
A．圆弧 B.抛物线的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 解析：选 D 根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面 截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选 D. 7.如图，△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图，已 知 A′B′∥y′轴，O′B′＝4，且△ABO 的面积为 16，过 A′作 A′C′ ⊥x′轴，则 A′C′的长为________． 解析：因为 A′B′∥y′轴，所以△ABO 中，AB⊥OB. 又因为△ABO 的面积为 16，所以1 2 AB·OB＝16. 因为 OB＝O′B′＝4，所以 AB＝8，所以 A′B′＝4. 因为 A′C′⊥O′B′于 C′， 所以 A′C′＝4sin 45°＝2 2. 答案：2 2 8．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在 该几何体上任意选择 4 个顶点，以这 4 个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形； ②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形 的四面体． 其中正确命题的序号是________． 解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如图 所示的四棱柱 ABCDA1B1C1D1，当选择的 4 个点是 B1，B，C，C1 时，可知
①正确;当选择的4个点是B,A,B,C时,可知②正确:易知③不正确 答案:①② 9.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm 则这个圆台的母线长为 解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C 在Rt△ABC中,AC=12(cm),BC=8-3=5(cm) ∴AB=√12+52=13(cm) 答案:13 10.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该 几何体需要的小正方体的块数是 正视图 侧视 俯视图 解析:画出直观图可知,共需要6块 、专项培优练 )易错专练一一不丢怨枉分 1.(2018·开封一模)如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O,球O,这两 个球外切,且球a与正方体共顶点A的三个面相切,球a与正方体共顶点B的三个面相切 则两球在正方体的面AACC上的正投影是()
①正确；当选择的 4 个点是 B，A，B1，C 时，可知②正确；易知③不正确． 答案：①② 9．一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm， 则这个圆台的母线长为________cm. 解析：如图，过点 A 作 AC⊥OB，交 OB 于点 C. 在 Rt△ABC 中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝ 122＋5 2＝13(cm)． 答案：13 10．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该 几何体需要的小正方体的块数是________． 解析：画出直观图可知，共需要 6 块． 答案：6 二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分 1．(2018·开封一模)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1，球 O2，这两 个球外切，且球 O1 与正方体共顶点 A 的三个面相切，球 O2 与正方体共顶点 B1 的三个面相切， 则两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影是( )
解析:选B由题意可以判断出两球在正方体的面A4CC上的正投影与正方形相切,排 除C、D;若把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部分,由于两球不等 所以排除A,B正确 2.已知点E,F,G分别是正方体 ABCIABCD的棱AA,CG D的中点,点M,M,Q,P分别在线段DF,AG,BE,CB上.以M M,Q,P为顶点的三棱锥PMQ的俯视图不可能是( 解析:选C当M与F重合,N与G重合,Q与E重合,P与B重合时,三棱锥PMQ 的俯视图为A;当MM,Q,P是所在线段的中点时,三棱锥PMQ的俯视图为B;当M,M, Q,P位于所在线段的非端点位置时,存在三棱锥PMQ,使其俯视图为D 3.(②2019·漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长度为 側视图 俯视图 A. B.2 解析:选C在棱长为2的正方体 ABCPARGD中,M为AD的中点 该几何体的直观图如图中三棱锥D-MBC所示,故通过计算可得BC=BB =BC=2V2,D=M=5,棚B=3,故最长棱的长度为3 4.已知正方体 ABCD-ABGD的体积为1,点M在线段BC上(点M异 于B,C两点),点M为线段CG的中点,若平面AM截正方体 ABCLABGD所得的截面为四 边形,则线段BM的取值范围为( B.0, D 解析:选B由题意,正方体 ABCPABGD的棱长为1,如图所示,A/A 当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMD,当0<B时,截面
解析：选 B 由题意可以判断出两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影与正方形相切，排 除 C、D；若把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等， 所以排除 A，B 正确． 2.已知点 E，F，G 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AA1，CC1， DD1 的中点，点 M，N，Q，P 分别在线段 DF，AG，BE，C1B1 上．以 M， N，Q，P 为顶点的三棱锥 PMNQ 的俯视图不可能是( ) 解析：选 C 当 M 与 F 重合，N 与 G 重合，Q 与 E 重合，P 与 B1 重合时，三棱锥 PMNQ 的俯视图为 A；当 M，N，Q，P 是所在线段的中点时，三棱锥 PMNQ 的俯视图为 B；当 M，N， Q，P 位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥 PMNQ，使其俯视图为 D. 3．(2019·漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( ) A. 5 B.2 2 C．3 D．2 3 解析：选 C 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AD 的中点， 该几何体的直观图如图中三棱锥 D1MB1C 所示．故通过计算可得 D1C＝D1B1 ＝B1C＝2 2，D1M＝MC＝ 5，MB1＝3，故最长棱的长度为 3. 4．已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 1，点 M 在线段 BC 上(点 M 异 于 B，C 两点)，点 N 为线段 CC1 的中点，若平面 AMN 截正方体 ABCDA1B1C1D1 所得的截面为四 边形，则线段 BM 的取值范围为( ) A. 0， 1 3 B. 0， 1 2 C. 1 2 ，1 D. 1 2 ， 2 3 解析：选 B 由题意，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，如图所示， 当点 M 为线段 BC 的中点时，截面为四边形 AMND1，当 0＜BM≤ 1 2 时，截面
为四边形,当B时,截面为五边形,故选B. 5.如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥 的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的 最短路程为4m,则圆锥底面圆的半径等于_m 解析:把圆锥侧面沿过点P的母线展开,其图象为如图所示的 扇形, 由题意0p=4,P=43 则c4∠P=f+-4832=-1 2×4×4 2所以∠PP=2x 设底面圆的半径为r 则 2丌r= ×4,所以r=3 答案: (二)交汇专练—一融会巧迁移 6.[与椭圆交汇]某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示, 正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为() 正视图 俯视图 √2 VE D 解析:选C依题意得,题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形,设其直角边长为a, 则斜边长为a,圆锥的底面半径为2a、母线长为a,因此其俯视图中椭圆的长轴长为V a、短轴长为a,其离心率e= ,(a)V 7.[与不等式交汇]已知直三棱柱 ABG-ABC的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角 形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA,B,CG分别交于三点M,M,Q,若△MQ为直角三角 形,则该直角三角形斜边长的最小值为()
为四边形，当 BM＞ 1 2 时，截面为五边形，故选 B. 5.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m，一只小虫从圆锥 的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处．若该小虫爬行的 最短路程为 4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m. 解析：把圆锥侧面沿过点 P 的母线展开，其图象为如图所示的 扇形， 由题意 OP＝4，PP′＝4 3， 则 cos∠POP′＝ 4 2＋4 2－ 4 3 2 2×4×4 ＝－ 1 2 ，所以∠POP′＝ 2π 3 . 设底面圆的半径为 r， 则 2πr＝ 2π 3 ×4，所以 r＝ 4 3 . 答案：4 3 (二)交汇专练——融会巧迁移 6．[与椭圆交汇]某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示， 正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( ) A. 1 2 B. 2 4 C. 2 2 D. 3 2 解析：选 C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为 a， 则斜边长为 2a，圆锥的底面半径为 2 2 a、母线长为 a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为 2 a、短轴长为 a，其离心率 e＝ 1－ a 2a 2＝ 2 2 . 7．[与不等式交汇]已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角 形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1 分别交于三点 M，N，Q，若△MNQ 为直角三角 形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )
B.3 D.4 解析:选C如图,不妨设N在B处,设AM=b,Q=m,则M =+4,B2=m+4,MQ2=(h-m)2+4,由M=+M2,得-hmA +2=0,4=6-8≥0≥8,该直角三角形斜边奶B=V4+≥25,M 故该直角三角形斜边长的最小值为2√3
A．2 2 B．3 C．2 3 D．4 解析：选 C 如图，不妨设 N 在 B 处，设 AM＝h，CQ＝m，则 MB 2 ＝h 2＋4，BQ 2＝m 2＋4，MQ 2＝(h－m) 2＋4，由 MB 2＝BQ 2＋MQ 2，得 m 2－hm ＋2＝0.Δ＝h 2－8≥0⇒h 2≥8，该直角三角形斜边 MB＝ 4＋h 2≥2 3， 故该直角三角形斜边长的最小值为 2 3