第一章课文目录 1.1空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 重难点: 1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征 2、画出简单组合体的三视图。 3、用斜二测画法画空间几何值的直观图 4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算,台体体积公式的推导。 5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 知识结构 表面积 体积 度量 间儿何 困闳l一俗闳中心投 行投影 圆相陵锢國锢陵台圆台 巨视图观图 、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的 底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面:相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱:侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱:旋转轴叫做圆柱的轴:垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什 么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所 围成的几何体叫做棱锥:这个多边形面叫做棱锥的底面或底:有公共顶点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥· 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥:;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面:斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面
第一章 课文目录 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 重难点： 1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 2、画出简单组合体的三视图。 3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。 4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。 5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 知识结构： 表面积 体积 度 量 空间几何体 柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影 棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 （1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的 底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什 么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所 围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面
棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的 底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台:原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面:圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球 半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 按側棱与底面 棱相 是否垂直分类 按底面多边形分类 直棱柱 E棱柱 三枝杜四核枓[n柱 平行六面体 平行六面 正技锥 匠多面 E四面体 些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质: 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图形 有两个面互相平侧棱垂直于底面底面是正多边形的 行,而其余每相的棱柱 直棱柱 定义 邻两个面的交线 都互相平行的多 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面与底面全等的多与底面全等的多与底面全等的正多
棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的 底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球； 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质： 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图 形 定 义 有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面 的形状 与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形
名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 有一个面是多底面是正多边用一个平行于由正棱锥截得 边形,其余各面形,且顶点在底棱锥底面的平的棱台 定义是有一个公共面的射影是底面去截棱锥,底 顶点的三角形面的射影是底面和截面之间 的多面体 面和截面之间的部分 的部分 侧棱相交于一点但相交于一点且延长线交于一相等且延长线 不一定相等相等 点 交于一点 侧面的 角形 全等的等腰三梯形 全等的等腰梯 形状 角形 对角面 角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 的形状 平行于与底面相似的与底面相似的与底面相似的与底面相似的 底的截多边形 正多边形 多边形 正多边形 面形状 高过底面中心 两底中心连线 其他性 侧棱与底面、侧 即高:侧棱与底 面与底面、相邻 面、侧面与底 质 两侧面所成角 面、相邻两侧面 都相等 所成角都相等 几种特殊四棱柱的特殊性质: 特殊性质 底面和侧面都是平行四边行;四条对角线交于一点, 平行六面体 且被该点平分 直平行六面体 「铡棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对角线交 于一点,且被该点平分 长方体 底面和侧面都是矩形:四条对角线相等,交于一点, 且被该点平分 正方体 棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相等,交 且被该点平分 空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 他具体包括:
名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 定义 有一个面 是多 边形，其余各面 是有一个 公共 顶点的三 角形 的多面体 底面是正 多边 形，且顶点在底 面的射影 是底 面的射影 是底 面和截面 之间 的部分 用一个平 行于 棱锥底面 的平 面去截棱锥，底 面和截面 之间 的部分 由正棱 锥截得 的棱台 侧棱 相交于一 点但 不一定相等 相交于一 点且 相等 延长线交 于一 点 相等且 延长线 交于一点 侧面的 形状 三角形 全等的等 腰三 角形 梯形 全等的 等腰梯 形 对角面 的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于 底的截 面形状 与底面相 似的 多边形 与底面相 似的 正多边形 与底面相 似的 多边形 与底面 相似的 正多边形 其他性 质 高过底面中心； 侧棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所 成角 都相等 两底中 心连线 即高；侧棱与底 面、侧 面与底 面、相邻两侧面 所成角都相等 几种特殊四棱柱的特殊性质： 名称 特殊性质 平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点， 且被该点平分 直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交 于一点，且被该点平分 长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点， 且被该点平分 正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交 于一点，且被该点平分 2．空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。 他具体包括：
(1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图 它能反映物体的高度和长度 (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图: 它能反映物体的高度和宽度 (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图: 它能反映物体的长度和宽度 三视图画法规则: 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 主视图 左视图 长对正:主视图与俯视图的长应对正 高平齐 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等 俯视图 视图 长对正 3.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法 ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐 标系; ②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的0X,0Y,使∠OY=45 (或135°),它们确定的平面表示水平平面: ③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X轴,且长度 保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y轴,且长度变为原来 ④擦去辅助线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线) (2)平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点。 注意:画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点 的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观 图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤 例题讲解: [例1]将正三棱柱截去三个角(如图1所示A,B,C分别是△GH三边的中点) 得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为() 侧视 八公凶公
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度； 三视图画法规则： 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法 ①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐 标系； ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 O ’ X ’ ,O’ Y ’ ,使 ' ' ' X OY =450 （或 1350），它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X ‘轴，且长度 保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y ‘轴，且长度变为原来 的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。 注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点 的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观 图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 例题讲解： [例 1]将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A B C ， ， 分别是 △GHI 三边的中点） 得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 侧视 图 图 ． ． ． ．
[例2]在正方体ABCD-ABCB中,E,F分别为棱AA,CC的中点,则在空间中与 三条直线AB,EF,CD都相交的直线() A.不存在B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 「例3正方体全三Ⅱ无的棱长为,点:是的中点,点是平面全内的一个 动点,且满足<,‖到直线的距离为√,则点的轨迹是() 双曲线 Ⅱ两个点3直线 解析:点到兰入的距离为√5,则点到今的距离为_,满足此条件的的轨迹是到直 线今的距离为的两条平行直线, 又∵PM=2,∴满足此条件的的轨迹是以:为圆心,半径为的圆,这两种轨迹只有 两个交点 故点的轨迹是两个点。选项为山。 点评:该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空间想象能力 [例4]两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长为的正方体内,使正四棱 锥的底面全L与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体 体积的可能值有() .无穷多个 解析:由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形全L中 心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面 正方形L的面积,问题转化为边长为的正方形的内接正方形有多少种,所以选。 点评:本题主要考查空间想象能力,以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体 它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转化 题型:空间几何体的定义 [例5]长方体ABCD-ABCD的_个顶点在同一个球面上,且《,线√3
[例 2]在正方体 ABCD − A1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，CC1的中点，则在空间中与 三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线（ ） A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 [例 3]正方体的棱长为，点是的中点，点是平面内的一个 动点，且满足，到直线的距离为 5 ，则点的轨迹是（ ） 圆 双曲线 两个点 直线 解析： 点到的距离为 5 ，则点到的距离为，满足此条件的的轨迹是到直 线的距离为的两条平行直线， 又 PM = 2， 满足此条件的的轨迹是以为圆心，半径为的圆，这两种轨迹只有 两个交点 故点的轨迹是两个点。选项为。 点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。 [例 4]两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为的正方体内，使正四棱 锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点 ．．．均在正方体的面上，则这样的几何体 体积的可能值有（ ） ．个 ．个 ．个 ．无穷多个 解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形中 心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面 正方形的面积，问题转化为边长为的正方形的内接正方形有多少种，所以选。 点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体， 它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。 题型：空间几何体的定义 [例 5]长方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 的个顶点在同一个球面上，且， 3
A4=1,则顶点会、间的球面距离是 解析:BD=AC1=2R=2√2,∴R=√2,设 DLO BD∩AC1=O,则OA=OB=R=√2, →∠AOB=x,:1=R=√2x,故选 B 点评:抓住本质的东西来进行判断,对于信息要进行加工再利用 [例6]已知直线干◆和平面a,B满足m⊥n,m⊥a,a⊥B则 A.n⊥BBn∥B,或 ncB Cn⊥aDn∥a,或nca 解析:易知D正确 点评:对于空间几何体的定义要有深刻的认识,掌握它们并能判断它们的性质。 题型二:空间几何体中的想象能力 [例7]如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为_的菱形,∠BCD=60°, 是L的中点,旧⊥底面≌L,PA=√3。 (∩)证明:平面_⊥平面 m)求二面角全‖和的大小 D-E D E B
D1 C1 A B1 1 D O C A B AA1 =1 ，则顶点、间的球面距离是 ． 4 2 ． 2 2 ． 2 ． 2 解析： 1 1 BD AC R = = = 2 2 2, = R 2, 设 1 1 BD AC O= , 则 OA OB R = = = 2, , 2 AOB = 2 , 2 l R = = 故 选 Ｂ. 点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。 [例 6]已知直线 和平面 , 满足 m ⊥ n,m ⊥ a, ⊥ 则 A n . ⊥ B.n // , 或 n C.n ⊥ D.n //, 或 n 解析：易知 D 正确. 点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。 题型：空间几何体中的想象能力 [例 7]如图所示，四棱锥 P ABCD − 的底面 ABCD 是边长为的菱形， 0 BCD = 60 ， 是的中点， ⊥ 底面， PA = 3 。 （）证明：平面⊥ 平面； （）求二面角 和的大小。 P A B D E C
解析:解法一(∩)如图所示连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60知, △BCD是等边三角形因为是L的中点,所以 BE⊥CD,又AB//CD,所以BE⊥AB 又因为⊥平面全L,BEc平面≌L, 所以PA⊥BE,而PA∩AB=A,因此BE⊥平面 又BEc平面,所以平面⊥平面 m)由(∩)知,BE⊥平面PBc平面所以PB⊥BE 又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角 PA 在Rt△PAB中tan∠PBA=2=√3, ∠PBA=60 故二面角A-BE-P的大小为60 解法二:如图所示以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A0o0c.20Dl,50Po5)E.50 (∩)因为BE=(0.0),平面户的一个法向量是2=(0,10.,所以BE和共线 从而BE⊥平面又因为BEc平面,所以平面⊥平面 m易知PB=(0-√BE=0.30,设n=(x,,5)是平面的一个法向量 则由{n,FB=0,x+0×y-3=0 得 所以y=0,x=√51 y+0×21= 0
解析：解法一（）如图所示 连结 BD, 由 ABCD 是菱形且 0 BCD = 60 知， △BCD 是等边三角形 因为是的中点，所以 BE CD ⊥ , 又 AB CD // , 所以 BE AB ⊥ , 又因为 ⊥ 平面， BE 平面， 所以 PA⊥BE, 而 PA AB A = , 因此 BE⊥ 平面 又 BE 平面，所以平面⊥ 平面 （）由（）知， BE⊥ 平面 PB 平面 所以 PB BE ⊥ . 又 AB⊥BE, 所以 PBA 是二面角 A BE P − − 的平面角． 在 Rt△PAB 中 tan 3, 60 . PA PBA PBA AB = = = ． 故二面角 A BE P − − 的大小为 60 . 解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是 A(0 0 0), ，， B(1 0 0), ，， 3 3 ( 0), 2 2 C ， ， 1 3 ( 0), 2 2 D ， ， P(0 0 3), ，， 3 (1 0). 2 E ， ， （）因为 3 (0, 0), 2 BE = ， 平面的一个法向量是 0 n = (01 0), ，， 所以 BE 和 0 n 共线 从而 BE⊥ 平面 又因为 BE 平面，所以平面⊥ 平面 （）易知 3 (1 0, 3), (0, 0), 2 PB BE = − = ， ， 设 1 n 1 1 1 = ( ) x y z ， ， 是平面的一个法向量 则由 1 1 0 0 n PB n BE = = ， 得 1 1 1 1 1 1 0 3 0 3 0 0 0 2 x y z x y z + − = + + = ， 所以 1 1 1 y x z =0， = 3
故可取n1=(√3,0,)而平面仝的一个法向量是n2=(0,0,1) 于是cos<n1 n1n2|2 故二面角A-BE-P的大小为60 点评:解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形,较强的考察了空间想象能力。 [例8]如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90,AP=BP=AB, PC⊥AC )求证:PC⊥AB; (Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小 解析: 解法一: (1)取AB中点D,连结PD,CD AP= BP PD⊥AB CD⊥AB ∵PD∩CD=D, AB⊥平面PCD. PCc平面PCD, PC⊥AB (Ⅱ1)∵AC=BC,AP=BP, .△APC≌△BPC 又PC⊥AC, PC⊥BC 又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C BC⊥平面PAC 取AP中点E.连结BE,CE AB=BP,∴BE⊥AP EC是BE在平面PAC内的射影, ∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. 在△BCE中,∠BCE=90,BC=2,BE=yAB=6 sin∠BEC BE 3
故可取 1 n = ( 3 0 1). ，， 而平面的一个法向量是 2 n = (0 01). ，， 于是 1 2 1 2 1 2 1 cos , . | | | | 2 n n n n n n = = ． 故二面角 A BE P − − 的大小为 60 . 点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。 [例 8]如图，在三棱锥 P ABC − 中， AC BC = = 2， = ACB 90 ， AP BP AB = = ， PC AC ⊥ ． （Ⅰ）求证： PC AB ⊥ ； （Ⅱ）求二面角 B AP C − − 的大小． 解析： 解法一： （Ⅰ）取 AB 中点 D ，连结 PD CD ， ． AP BP = ， ⊥ PD AB． AC BC = ， ⊥ CD AB． PD CD D= ， ⊥ AB 平面 PCD． PC 平面 PCD， ⊥ PC AB． （Ⅱ） AC BC = ， AP BP = ， △APC BPC ≌△ ． 又 PC AC ⊥ ， ⊥ PC BC ． 又 = ACB 90 ，即 AC BC ⊥ ，且 AC PC C= ， ⊥ BC 平面 PAC ． 取 AP 中点 E ．连结 BE CE ， ． AB BP = ， ⊥ BE AP ． EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影， ⊥ CE AP． BEC 是二面角 B AP C − − 的平面角． 在 △BCE 中， = BCE 90 ， BC = 2， 3 6 2 BE AB = = ， 6 sin 3 BC BEC BE = = ．
二面角B-AP-C的大小为 arcsin )∵AC=BC,AP=BP, .△APC≌△BPC 又PC⊥AC PC⊥BC AC∩BC=C PC⊥平面ABC ABc平面ABC, PC⊥AB (Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz2 则C(0,0,0),A(O,2,0),B(2,0,0) 设P(0,0,D) PB|=|AB=22 t=2,P(0,0,2) 取AP中点E,连结BE,CE AC=PC,AB=BP CE⊥AP,BE⊥AP ∠BEC是二面角B-AP一C的平面角 ∵E(0,4),EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1), coS∠ BEC EC·EB ECEB√263 二面角B-AP-C的大小为arco3 点评:在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了 空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考査空 间想象能力的主要方「 [例9画正五棱柱的直观图,使底面边长为_介侧棱长为_ 解析:先作底面正五边形的直观图,再沿平行于/轴方向平移即可得。 作法: ()画轴:画口,口,轴,使口 (或
二面角 B AP C − − 的大小为 6 arcsin 3 ． 解法二： （Ⅰ） AC BC = ， AP BP = ， △APC BPC ≌△ ． 又 PC AC ⊥ ， ⊥ PC BC ． AC BC C= ， ⊥ PC 平面 ABC ． AB 平面 ABC ， ⊥ PC AB． （Ⅱ）如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz − ． 则 C A B (0 0 0) (0 2 0) (2 0 0) ，，， ，，， ，， ． 设 P t (0 0 ) ，， ． PB AB = = 2 2 ， =t 2， P(0 0 2) ，， ． 取 AP 中点 E ，连结 BE CE ， ． AC PC = ， AB BP = ， ⊥ CE AP， BE AP ⊥ ． BEC 是二面角 B AP C − − 的平面角． E(0 11) ，，， EC = − − (0 1 1) ， ， ， EB = − − (2 1 1) ， ， ， 2 3 cos 2 6 3 EC EB BEC EC EB = = = ． 二面角 B AP C − − 的大小为 3 arccos 3 ． 点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了 空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空 间想象能力的主要方向。 [例 9]画正五棱柱的直观图，使底面边长为侧棱长为。 解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于轴方向平移即可得。 作法： （ ） 画 轴 ： 画 ， ， 轴 ， 使 （ 或 ），
画底面:按口轴,口轴画正五边形的直观图≌L (一)画侧棱:过、÷、Ⅱ、λ、L各点分别作轴的平行线,并在这些平行线上分 别截取≌ (二)成图:顺次连结,÷一,Ⅱ_,λ一,_,加以整理,去掉辅助线,改被遮 挡的部分为虚线。 点评:用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 [例10]△'BC"是正仝的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若MABC的面积为 √3,那么面积。 解析:2√6 点评:该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间 的对应关系。特别底和高的对应关系 [例11如图,在棱长为的正方体ABCD-ABC"D中,=:(4了4),截面 ∥:AD,截面∥:AD ()证明:平面∥:2和平面∥:互相垂直; (b→)证明:截面∥:和截面∥:面积之和是定值, 并求出这个值 ()若DE与平面∥:L所成的角为45,求DE与平 面∥:,所成角的正弦值 本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与 逻辑思维能力 解析: 解法一 1)证明:在正方体中,AD'⊥AD,AD'⊥AB,又由已知可得 PF∥AD,PH∥AD',PO∥AB, 所以PH⊥PF,PH⊥PQ, 所以PH⊥平面POEF
。 （）画底面：按轴，轴画正五边形的直观图。 （）画侧棱：过、、、、各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分 别截取，，，，。 （）成图：顺次连结，，，，，加以整理，去掉辅助线，改被遮 挡的部分为虚线。 点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 [例 10] ABC 是正 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 ABC 的面积为 3 ，那么 的面积为。 解析： 2 6 。 点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间 的对应关系。特别底和高的对应关系。 [例 11] 如图，在棱长为的正方体 ABCD A B C D − 中，（ ），截面 AD ，截面 AD ． （）证明：平面和平面互相垂直； （）证明：截面和截面面积之和是定值， 并求出这个值； （）若 DE 与平面所成的角为 45 ，求 DE 与平 面所成角的正弦值． 本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与 逻辑思维能力。 解析： 解法一： （Ⅰ）证明：在正方体中， AD A D ⊥ ， AD AB ⊥ ，又由已知可得 PF A D ∥ ， PH AD ∥ ， PQ AB ∥ ， 所以 PH PF ⊥ ， PH PQ ⊥ ， 所以 PH ⊥ 平面 PQEF ． A B C D A B C D