3.3幂函数(1)教案 【教学目标】 【知识与技能】 1.理解幂函数的概念 通过具体实例研究幂函数的图象和性质,并初步进行应用 【过程与方法 通过对幂函数的学习,使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法 【情感、态度价值观】 1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法 2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质 3.通过引导学生主动参与作图、分析图象,培养学生的探索精神,并在研究函数变 化的过程中渗透辩证唯物主义的观点 【重点难点】 重点:通过六个具体的幂函数认识概念,研究性质,体会图象的变化规律 难点:画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质 【突破方式】 教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象,深化学生对图象的直观认识;观察幂 函数图象,归纳幂函数的性质,加强学生对幂函数性质的理解和记忆 【教学策略】 【教学顺序】 复习引入,归纳定义,研究图象,归纳性质,应用性质 【教学方法与手段】 1.采用师生互动的方式,在教师的引导下,学生通过思考、交流、讨论,理解幂函数的 定义和性质,体验自主探索、合作交流的学习方式,充分发挥学生的积极性与主动性 2.利用投影仪及计算机辅助教学 超级链接到课件3.3幂函数(1)(个人独立制作) 【教学过程】 创设情境 前面我们学习了函数定义,研究了函数的一般性质,并且研究了指数函数和对数函数函 数这个大家庭有很多成员,如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它 们在数学中的都承担着各自的任务,每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天,我们利用研 究指数函数、对数函数的研究方法,再来认识一位新成员. 请大家看如下问题 请将下列问题中的y表示成x的函数 1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克,那么她需要支付y=_x元; 如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=_x2 3.如果立方体的边长为x,那么立方体的体积y=_x3 4.如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形场地的边长=x 5.如果某人以xm3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水,那么他注水的时间y=_x
用心 爱心 专心 3.3 幂函数（1）教案 【教学目标】 【知识与技能】 1. 理解幂函数的概念. 2. 通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用. 【过程与方法】 通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 【情感、态度价值观】 1. 进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法. 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质. 3. 通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变 化的过程中渗透辩证唯物主义的观点. 【重点难点】 重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律． 难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 【突破方式】 教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂 函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆. 【教学策略】 【教学顺序】 复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质. 【教学方法与手段】 1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的 定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性. 2．利用投影仪及计算机辅助教学. 超级链接到课件 3.3 幂函数（1）（个人独立制作） 【教学过程】 创设情境 前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函 数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它 们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研 究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员. 请大家看如下问题. 请将下列问题中的 y 表示成 x 的函数. 1. 如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克，那么她需要支付 y= x 元; 2. 如果正方形的边长为 x，那么正方形的面积 y= x 2 ; 3. 如果立方体的边长为 x，那么立方体的体积 y= x 3 ; 4. 如果一个正方形场地的面积为 x，那么这个正方形场地的边长 y= 2 1 x ; 5. 如果某人以 x m3 /s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m3 的水，那么他注水的时间 y= x -1 s
(板书:y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1…)抽取这几个解析式结构上的共同特 征:我们能够发现它们的右端都是幂的形式,并且底数是自变量x,幂指数是常数.也就是说 它们可以写成y=x“的形式,这种形式的函数就是幂函数.(板书课题:幂函数) 探究新知 幂函数的定义(形式定义) 般地,形如y=x“(a∈R)的函数称为幂函数,其中a是常数 自变量x是幂的底数,换句话说,幂的底数是单变量x,幂指数是个常数,幂的系数是1, 符合上述形式的函数,就是幂函数 请同学们举出一个具体的幂函数 从引例和同学们刚才举的例子中,我们可以发现,幂指数a可以是正数、负数,也可以 是0.幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数 课堂练习 1.指出下列函数中的幂函数 y=-2,y 探究新知 按照从特殊到一般的原则,我们先来研究几个具有代表意义的幂函数 y=x,y=xy=x,y=x2,y=xy=x 请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经 研究过了函数y=x与y=x2的性质,它们的图象已经呈现在坐标纸中了,在这里,我们只画 出余下四个函数的图象.(时间关系,分四组) 根据手里作出的图象,以小组为单位对照函数图象,讨论以下四个问题: 1.描点法画函数图象的步骤;(列表、描点、连线) 2.互相检查函数图象的画法,图象是否一致; 3.讨论在画图象过程中出现的问题 4.探究幂函数图象的变化规律,归纳幂函数的性质 通过刚才观察同学们作图,其中几个同学的图象特别规范,请看.变化趋势 首先可以很明显的看到,上述六个幂函数的图象都过同一个定点(1,1) (一边分析函数图象的特征,一边总结函数性质,填写表格.) 1 V=X 1=x-2 定义域 R R R|[0,+∞)(x1x≠0}{x1x≠0) 值域 R R yly≠0}|(,+ 奇偶性奇函数」偶函数奇函数非奇非偶奇函数 偶函数 单调性递增 (0,+)增)递增O,+ )[(-∞,0)减( )增 增 (0,+∞)减|(0,+∞)减 定点 从这些函数的图象我们可以看到,幂函数随着幂指数的取值不同,它们的性质和图象也 存在着差异,请同学们根据这个表格,寻找这6个幂函数的共性? 用心爱心专心
用心 爱心 专心 （板书： , , , , , . 2 1 1 y = x y = x 2 y = x 3 y = x y = x − ）抽取这几个解析式结构上的共同特 征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量 x，幂指数是常数. 也就是说， 它们可以写成 a y = x 的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知 幂函数的定义（形式定义） 一般地，形如 y = x ( R) 的函数称为幂函数，其中 是常数. 自变量 x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量 x，幂指数是个常数，幂的系数是 1， 符合上述形式的函数，就是幂函数. 请同学们举出一个具体的幂函数. 从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数 可以是正数、负数，也可以 是 0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习 1．指出下列函数中的幂函数. , , , , . 5 x y x x y x y x y x y 5 1 2 2 2 = = + = = = 探究新知 按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数. , , , , , . 2 1 2 1 2 3 − − y = x y = x y = x y = x y = x y = x 请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经 研究过了函数 y x = 与 2 y x = 的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画 出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组） 根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题； 4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质. 通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）. （一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格.） 3 y x = 2 y x = y x = 1 2 y x = 1 y x − = −2 y = x 定义域 R R R [0，+∞） x x| 0 x x| 0 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） y | y 0 （0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 单调性 递增 （-∞，0）减 递增 [0，+∞） 增 （-∞，0）减 （-∞，0）增 （0，+∞）增 （0，+∞）减 （0，+∞）减 定点 （1，1） 从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也 存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这 6 个幂函数的共性？
定义域不同,但有公共区间(0,+∞) 为了更好地观察函数图象特征,总结幂函数的性质,我们把6个幂函数的图象画在同一 平面直角坐标系中.(这是幂函数……的图象……) 总结性质 虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同,但是我们还是不难发现它们共同的特征这6 幂函数在(0,+∞)都有定义,图象都过点(1,1 注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异,我们来观察当a>0时的函数图象 (演示几何画板,隐藏α0时图 象)幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当自变量x取值从右边趋于0时,图 象在y轴右方无限地靠近y轴,但不与y轴相交,当自变量x取值趋于+∞时,图象在x轴 上方无限地靠近x轴,但不与x轴相交 演示画板,改变幂指数的值,观察函数图象的变化趋势,不难发现,所有幂函数在(0, +∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);当幂指数a>0时,幂函数都过原点,在[0,+∞)上 是增函数;当幂指数a<0时,在(O,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于0 时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴 性质总结如下 在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1) 在O,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数 图象过原点 在第一象限内,当x从右边趋向于0时,图象在y轴右方无限地 逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴 下面我们应用幂函数的性质来解决问题 例题解析 例1比较下列两个代数式值的大小 (1)2.3,24;(2X√2)2,(3)2;(3Xa+1)3,a3;(4X2+a2)3,2 用心爱心专心
用心 爱心 专心 定义域不同，但有公共区间（0，+∞）. 为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把 6 个幂函数的图象画在同一 平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……） 总结性质 虽然这 6 个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这 6 个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）. 注意到这 6 个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当 0 时的函数图象， （演示几何画板，隐藏 0 时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点， 并且在区间 [0,+) 上是增函数． 再来观察当 0 时的函数图象，（演示几何画板，显示 0 时图象，隐藏 0 时图 象）幂函数在区间 (0,+) 上是减函数．在第一象限内，当自变量 x 取值从右边趋于 0 时，图 象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴，但不与 y 轴相交，当自变量 x 取值趋于 + 时，图象在 x 轴 上方无限地靠近 x 轴，但不与 x 轴相交． 演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0， +∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数 0 时，幂函数都过原点，在 [0,+) 上 是增函数；当幂指数 0 时，在 (0,+) 上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向于 0 时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴，当 x 趋于 + 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴． 性质总结如下： 0 0 在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）； 在 [0,+) 上是增函数 在 (0,+) 上是减函数 图象过原点 在第一象限内，当 x 从右边趋向于 0 时，图象在 y 轴右方无限地 逼近 y 轴，当 x 趋于 + 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴． 下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析 例 1 比较下列两个代数式值的大小： (1) 2.3 , 2.4 ; (2)( 2) , ( 3) ; (3)( 1) , ; (4)(2 ) , 2 . 3 2 3 2 2 1.5 1.5 2 3 2 3 4 3 4 3 − − − − a + a + a
分析:观察所给的两个代数式,都是幂的形式.又因为幂指数相同,而底数不同,所以想 到要利用幂函数的性质解决此类问题 (1)解:考察幂函数y=x4,因为y=x4在(0,+∞)上单调递增,而且2.3(3)2;(3a+1)5>a15;(4)2+y 例2讨论函数y=x3的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性 解:要使y=x3=x2有意义,x可以取任意实数 故函数定义域为R ∵f(-x)=(-x)3=x3=f(x), -1O 函数y=x3是偶函数 592.082.52 其图象如右图所示 幂函数y=x3在[0,+∞)上单调递增,在(一∞,0)上单调递减 思考与讨论 幂函数y=x“(a∈R),当a=1,3,5,…,(正奇数)时,函数有哪些性质? (演示画板)定义域为R,值域为R,是奇函数,在(-∞,+∞)上是增函数 当α=2,4,6,…,(正偶数)时,这类幂函数的性质和特点,留做同学们课下讨论 课堂练习 2.幂函数y=x4的单调递增区间是 答案:[,+∞) 3.a=1.22,b=0.92,c=1.12的大小关系是答案abc 归纳小结 本节课我们学习了幂函数的定义,通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象,归纳总结 幂函数的共同性质,这也是我们研究函数的一般思想方法 布置作业 作出函数y=x2的图象,根据图象讨论这个函数有哪些性质,并给出证明 通过本节课的学习,相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后,让我们 在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式,这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的 应用,用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示e2一一泰勒公式 用心爱心专心
用心 爱心 专心 分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想 到要利用幂函数的性质解决此类问题. （1）解：考察幂函数 4 3 y = x ，因为 4 3 y = x 在（0，+∞）上单调递增，而且 2.3b>c 归纳小结 本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出 6 个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结 幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法. 布置作业 作出函数 2 3 y = x 的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明. 通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们 在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的 应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示 x e ——泰勒公式
e"=1+x+-+-+…+ (x∈R) 用心爱心专心
用心 爱心 专心 ( ) 2! 3! ! 1 2 3 x R n x x x e x n x = + + + ++ +