幂函数(1)教案 【教学目标】 【知识与技能】 理解幂函数的概念 2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质,并初步进行应用 【过程与方法】 通过对幂函数的学习,使学生进一步熟练掌握研究函数的一般 思想方法 【情感、态度价值观】 1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法 2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质 3.通过引导学生主动参与作图、分析图象,培养学生的探索精 神,并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点 【重点难点】 重点:通过六个具体的幂函数认识概念,研究性质,体会图象的 变化规律. 难点:画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质 【突破方式】 教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象,深化学生对
幂函数（1）教案 【教学目标】 【知识与技能】 1. 理解幂函数的概念. 2. 通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用. 【过程与方法】 通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般 思想方法. 【情感、态度价值观】 1. 进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法. 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质. 3. 通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精 神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点. 【重点难点】 重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的 变化规律． 难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 【突破方式】 教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对
图象的直观认识;观察幂函数图象,归纳幂函数的性质,加强学生对 幂函数性质的理解和记忆 【教学策略】 【教学顺序】 复习引入,归纳定义,研究图象,归纳性质,应用性质. 【教学方法与手段】 1.采用师生互动的方式,在教师的引导下,学生通过思考、交流 讨论,理解幂函数的定义和性质,体验自主探索、合作交流的学习方 式,充分发挥学生的积极性与主动性 2.利用投影仪及计算机辅助教学 超级链接到课件33幂函数(1)(个人独立制作) 【教学过程】 创设情境 前面我们学习了函数定义,研究了函数的一般性质,并且研究了 指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员,如一次函数、二次 函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着 各自的任务,每个成员又都有它们各自鲜活的个性今天,我们利用研 究指数函数、对数函数的研究方法,再来认识一位新成员
图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对 幂函数性质的理解和记忆. 【教学策略】 【教学顺序】 复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质. 【教学方法与手段】 1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、 讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方 式，充分发挥学生的积极性与主动性. 2．利用投影仪及计算机辅助教学. 超级链接到课件 3.3 幂函数（1）（个人独立制作） 【教学过程】 创设情境 前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了 指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次 函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着 各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研 究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员
请将下列问题中的y表示成x的函数 1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克,那么她需要支付y=_x元 2.如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=_x2 3.如果立方体的边长为x,那么立方体的体积y 4.如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形场地的边长=x2 5.如果某人以xm3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水,那么他注水的时间y=_x1s 请大家看如下问题 (板书:y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-,…)抽取这几个解析式结 构上的共同特征:我们能够发现它们的右端都是幂的形式,并且底数 是自变量x,幂指数是常数.也就是说,它们可以写成y=x的形式, 这种形式的函数就是幂函数.(板书课题:幂函数) 探究新知 幂函数的定义(形式定义) 般地,形如y=x"(∈R)的函数称为幂函数,其中a是常数 自变量x是幂的底数,换句话说,幂的底数是单变量x,幂指数是 个常数,幂的系数是1,符合上述形式的函数,就是幂函数 请同学们举出一个具体的幂函数 从引例和同学们刚才举的例子中,我们可以发现,幂指数a可以是 正数、负数,也可以是0.幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基 本初等函数 课堂练习 指出下列函数中的幂函数
请大家看如下问题. （板书： , , , , , . 2 1 1 y = x y = x 2 y = x 3 y = x y = x − ）抽取这几个解析式结 构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数 是自变量 x，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成 a y = x 的形式， 这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知 幂函数的定义（形式定义） 一般地，形如 y = x ( R) 的函数称为幂函数，其中 是常数. 自变量 x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量 x，幂指数是 个常数，幂的系数是 1，符合上述形式的函数，就是幂函数. 请同学们举出一个具体的幂函数. 从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数 可以是 正数、负数，也可以是 0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基 本初等函数. 课堂练习 1．指出下列函数中的幂函数. 请将下列问题中的 y 表示成 x 的函数. 1. 如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克，那么她需要支付 y= x 元; 2. 如果正方形的边长为 x，那么正方形的面积 y= x 2 ; 3. 如果立方体的边长为 x，那么立方体的体积 y= x 3 ; 4. 如果一个正方形场地的面积为 x，那么这个正方形场地的边长 y= 2 1 x ; 5. 如果某人以 x m3 /s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m3 的水，那么他注水的时间 y= x -1 s
y=2,y=x2+x,y=x2,y=x,y=5 探究新知 按照从特殊到一般的原则,我们先来研究几个具有代表意义的幂函 数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-,y=x-2. 请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我 们在前面的课程中已经研究过了函数y=x与y=x2的性质,它们的图象 已经呈现在坐标纸中了,在这里,我们只画出余下四个函数的图象.(时 间关系,分四组) 根据手里作出的图象,以小组为单位对照函数图象,讨论以下四 个问题 1.描点法画函数图象的步骤;(列表、描点、连线) 2.互相检查函数图象的画法,图象是否一致; 3.讨论在画图象过程中出现的问题; 4.探究幂函数图象的变化规律,归纳幂函数的性质 通过刚才观察同学们作图,其中几个同学的图象特别规范,请看. 变化趋势 首先可以很明显的看到,上述六个幂函数的图象都过同一个定点 (一边分析函数图象的特征,一边总结函数性质,填写表格.)
, , , , . 5 x y x x y x y x y x y 5 1 2 2 2 = = + = = = 探究新知 按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函 数. , , , , , . 2 1 2 1 2 3 − − y = x y = x y = x y = x y = x y = x 请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我 们在前面的课程中已经研究过了函数 y x = 与 2 y x = 的性质，它们的图象 已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时 间关系，分四组） 根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四 个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题； 4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质. 通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点 （1，1）. （一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格.）
y y y y y=x 定义 R R R [0,+∞)(x1x≠0}|{x1x≠0 值域|R[0,+∞)|R|[0,+∞){yy≠0}(0,+∞) 奇偶|奇函 奇函非奇非 偶函数 奇函数偶函数 性数 数偶 (-∞,0 (-∞,0)( =。 0) 单调 [0,+∞)减 增 递增 递增 (0,+∞) 增 (0, )(0 增 减 定点(1,1) 从这些函数的图象我们可以看到,幂函数随着幂指数的取值不同 它们的性质和图象也存在着差异,请同学们根据这个表格,寻找这6 个幂函数的共性? 定义域不同,但有公共区间(0,+∞) 为了更好地观察函数图象特征,总结幂函数的性质,我们把6个幂 函数的图象画在同一平面直角坐标系中.(这是幂函数……的图 象
3 y x = 2 y x = y x = 1 2 y x = 1 y x − = −2 y = x 定义 域 R R R [0，+∞） x x| 0 x x| 0 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） y | y 0 （0，+∞） 奇偶 性 奇函 数 偶函数 奇函 数 非奇非 偶 奇函数 偶函数 单调 性 递增 （-∞，0） 减 递增 [0，+∞） 增 （-∞，0） 减 （-∞，0） 增 （0，+∞） 增 （0，+∞） 减 （0，+∞） 减 定点 （1，1） 从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同， 它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这 6 个幂函数的共性？ 定义域不同，但有公共区间（0，+∞）. 为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把 6 个幂 函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图 象……）
总结性质 虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同,但是我们还是不难发现 它们共同的特征这6个幂函数在(0,+∞)都有定义,图象都过点(1, 1) 注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异,我们来观察当 α>0时的函数图象,(演示几何画板,隐藏α0时图象)幂函数在区间(0+∞)上是减函数.在第一象限内,当 自变量x取值从右边趋于0时,图象在y轴右方无限地靠近y轴,但不 与y轴相交,当自变量x取值趋于+∞时,图象在x轴上方无限地靠近x 轴,但不与x轴相交. 演示画板,改变幂指数的值,观察函数图象的变化趋势,不难发现, 所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);当幂指
总结性质 虽然这 6 个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现 它们共同的特征.这 6 个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1， 1）. 注意到这 6 个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当 0 时的函数图象，（演示几何画板，隐藏 0 时图象）很明显，它们 的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间 [0,+) 上是增函数． 再来观察当 0 时的函数图象，（演示几何画板，显示 0 时图象， 隐藏 0 时图象）幂函数在区间 (0,+) 上是减函数．在第一象限内，当 自变量 x 取值从右边趋于 0 时，图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴，但不 与 y 轴相交，当自变量 x 取值趋于 + 时，图象在 x 轴上方无限地靠近 x 轴，但不与 x 轴相交． 演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现， 所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指
数a>0时,幂函数都过原点,在[0.+∞)上是增函数;当幂指数a0 0 在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1); 在[0+∞)上是增在(0+∞)上是减函数 函数 图象过原点 在第一象限内,当x从右边趋向于0时,图象在y 轴右方无限地逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x轴 下面我们应用幂函数的性质来解决问题 例题解析 例1比较下列两个代数式值的大小: )23,241.(xX)3,(5)3:(3Xa+py,a:(4×2+a3),2 分析:观察所给的两个代数式,都是幂的形式.又因为幂指数相同, 而底数不同,所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题 (1)解:考察幂函数y=x,因为y=x在(0,+∞)上单调递增, 而且2.3<2.4,所以
数 0 时，幂函数都过原点，在 [0,+) 上是增函数；当幂指数 0 时， 在 (0,+) 上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向于 0 时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴，当 x 趋于 + 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴． 性质总结如下： 0 0 在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）； 在 [0,+) 上是增 函数 在 (0,+) 上是减函数 图象过原点 在第一象限内，当 x 从右边趋向于 0 时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴，当 x 趋于 + 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴． 下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析 例 1 比较下列两个代数式值的大小： (1) 2.3 , 2.4 ; (2)( 2) , ( 3) ; (3)( 1) , ; (4)(2 ) , 2 . 3 2 3 2 2 1.5 1.5 2 3 2 3 4 3 4 3 − − − − a + a + a 分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同， 而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题. （1）解：考察幂函数 4 3 y = x ，因为 4 3 y = x 在（0，+∞）上单调递增， 而且 2.3<2.4,所以
2.34a43;(4)(2+a2)3≤2 例2讨论函数y=x的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图 象说明函数的单调性 解:要使y=x5=x2有意义,x可以取任意 故函数定义域为R ∴f(-x)=(-x)3=x3=f(x), 2 函数y=x3是偶函数 3 4 y=x|0 1.59|2.082.52 其图象如右图所示 幂函数y=x在[0,十∞)上单调递增,在(一∞,0)上单 调递减 思考与讨论 幂函数y=x(a∈R),当a=13,5,…(正奇数)时,函数有哪些性质? (演示画板)定义域为R,值域为R,是奇函数,在(-∞,+∞) 上是增函数 当α=246…,(正偶数)时,这类幂函数的性质和特点,留做同学 们课下讨论
4 3 4 3 2.3 2.4 . 以下各题同理可解： (2)( 2) ( 3) ; (3)( 1) ; (4)(2 ) 2 . 3 2 3 2 2 1.5 1.5 2 3 2 3 − − − − a + a + a 例 2 讨论函数 3 2 y = x 的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图 象说明函数的单调性． 解：要使 3 3 2 2 y = x = x 有意义，x 可以取任意实数， 故函数定义域为 R． ∵f（－x）＝ 3 2 3 2 (−x) = x ＝f（x）， ∴函数 3 2 y = x 是偶函数； x 0 1 2 3 4 … y x = 0 1 1.59 2.08 2.52 … 其图象如右图所示． 幂函数 3 2 y = x 在［0，＋ ）上单调递增，在（－∞，0）上单 调递减． 思考与讨论 幂函数 y = x ( R) ，当 = 1,3,5, , （正奇数）时，函数有哪些性质？ （演示画板）定义域为 R，值域为 R，是奇函数，在（-∞，+∞） 上是增函数. 当 = 2,4,6, , （正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学 们课下讨论
课堂练习 2.幂函数y=x的单调递增区间是 答案:D+∞) 3.a=122,b=092,c=112的大小关系是 答案ab>c 归纳小结 本节课我们学习了幂函数的定义,通过作出6个具有代表意义的 幂函数的图象,归纳总结幂函数的共同性质,这也是我们研究函数的 般思想方法 布置作业 作出函数y=x2的图象,根据图象讨论这个函数有哪些性质,并给 出证明 通过本节课的学习,相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深 刻的印象.最后,让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式, 这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用,用含有阶乘的 幂指数是正整数的幂函数形式来表示e—泰勒公式 +…++…(x∈R)
课堂练习 2．幂函数 4 3 y = x 的单调递增区间是________.答案： 0,+) 3． 2 1 2 1 2 1 = 1.2 , = 0.9 , = 1.1 − a b c 的大小关系是________.答案 a>b>c 归纳小结 本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出 6 个具有代表意义的 幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的 一般思想方法. 布置作业 作出函数 2 3 y = x 的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给 出证明. 通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深 刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式， 这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的 幂指数是正整数的幂函数形式来表示 x e ——泰勒公式. ( ) 2! 3! ! 1 2 3 x R n x x x e x n x = + + + ++ +