§2.6对数与对数函数 基础知识·自主学习 要点梳理 知识回顾理清教材 对数的概念 如果a=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logN,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 Dlog( MN)=log, M+logN: @log M=log,M-logN ③ Logar= nogal(n∈R):④ loammI="gM (2)对数的性质 ① logan=N gad=N(a>0且a≠1) (3)对数的重要公式 ①换底公式: logiN"16(a,b均大于零且不等于1) logba 推广 logan- logic. loged=logd 3.对数函数的图象与性质
§2.6 对数与对数函数 1．对数的概念 如果 a x＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中__a__ 叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga M N ＝logaM－logaN； ③logaM n＝nlogaM (n∈R)；④logamM n＝ n m logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝__N__；②logaa N＝__N__(a>0 且 a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ logaN logab (a，b 均大于零且不等于 1)； ②logab＝ 1 logba ，推广 logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质
>1 0 y 图象 (0 (0,1) 定义域 (1)R 值域 (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当x>0时,y>1;(5)当x>0时,1 (6)在(一∞,+∞)上(7)在(-∞,+∞)上是 是增函数 减函数 4反函数 指数函数y=d与对数函数y= logan互为反函数,它们的图象关于直线_ 对称 夯基释疑 夯实基础突破疑难 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若log2(logx)=log(logy)=0,则x+y=5 (2)2logs10+logs0.25=5 (×) (3)已知函数f(x)=lgx,若fab)=1,则fa2)+fb)=2 (4)log2x=2log2x (×) (5)当x>1时, logan>0 (6)当x1时,若 lomax>logx,则ab>c 3.(2013浙江已知x,y为正实数,则
4.反函数 指数函数 y＝a x与对数函数 y＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则 x＋y＝5. ( √ ) (2)2log510＋log50.25＝5. ( × ) (3)已知函数 f(x)＝lg x，若 f(ab)＝1，则 f(a 2 )＋f(b 2 )＝2. ( √ ) (4)log2x 2＝2log2x. ( × ) (5)当 x>1 时，logax>0. ( × ) (6)当 x>1 时，若 logax>logbx，则 ab>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案 D 解析 a＝log36＝1＋log32＝1＋ 1 log23 ， b＝log510＝1＋log52＝1＋ 1 log25 ， c＝log714＝1＋log72＝1＋ 1 log27 ，显然 a>b>c. 3．(2013·浙江)已知 x，y 为正实数，则 ( ) A．2 lg x＋lg y＝2 lg x＋2 lg y B．2 lg(x＋y)＝2 lg x·2lg y
C. 2g rlg y=2g -+2gy D. 2g r=2g x. 2lg3 答案D 解析2gx.2gy=2gx+ly 4.函数fx)=log(2x+1)的单调增区间是 答案(2,+∞) 解析函数fx)定义域为(-2,+∞), 令t=2x+1(D>0) 因为y=logt在t∈(0,+∞)上为增函数 =x+1在(-2,+)止上为增函数, 所以函数y=log(2x+1)的单调增区间是(-,+∞) 5.已知/是定义在R上的偶函数,且在+∞)上为增函数,=0,则不等式Q 的解集为 1. 答案0,5U(2,+∞) 解析∵x)是R上的偶函数, ∴它的图象关于y轴对称 ∵f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴fx)在(-∞,0上为减函数, 由A)=0,得 ∴ log-x)>0→gx-,或logx →x>2或00 则1)+f(og5)的值是 B.3 思维启迪(1)利用对数的定义将x=log43化成4=3;
C．2 lg x·lg y＝2 lg x＋2 lg y D．2 lg(xy)＝2 lg x·2lg y 答案 D 解析 2 lg x·2lg y＝2 lg x＋lg y ＝2 lg(xy)．故选 D. 4．函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 答案 (－ 1 2 ，＋∞) 解析 函数 f(x)的定义域为(－ 1 2 ，＋∞)， 令 t＝2x＋1(t>0)． 因为 y＝log5t 在 t∈(0，＋∞)上为增函数， t＝2x＋1 在(－ 1 2 ，＋∞)上为增函数， 所以函数 y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－ 1 2 ，＋∞)． 5．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f 1 3 ＝0，则不等式 f(log1 8 x)>0 的解集为________________． 答案 0， 1 2 ∪(2，＋∞) 解析 ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴它的图象关于 y 轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 由 f 1 3 ＝0，得 f － 1 3 ＝0. ∴f(log1 8 x)>0⇒log1 8 x 1 3 ⇒x>2 或 00， 3 －x＋1，x≤0， 则 f(f(1))＋f(log3 1 2 )的值是 ( ) A．5 B．3 C．－1 D.7 2 思维启迪 (1)利用对数的定义将 x＝log43 化成 4 x＝3；
(2利用分段函数的意义先求f1),再求(1) flog)可利用对数恒等式进行计算 答案(1)D(2)A 解析()x=log3,得4=3,即2=3 所以(2x-22)2=( 4 (2)因为1)=log2l=0,所以(1)=0)=2 因为lg20,所以og:2)=3-1g2+1 =3log2+1=2+1=3 所以1)+fog)=2+3=5 思维升华在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公 弌和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式 跟踪训练1已知函数fx)= (),x≥4, 则f(2+log23)的值为 答案 解析因为2+log234 所以3+0g3)=(23+1g3=×(2)g3 1×1=1 题型二对数函数的图象和性质 【例2】(1)函数y=2lg4(1-x)的图象大致是 (2)已知风x)是定义在(一∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0上是增函数,设a=f(log47, b=og13),c=0.2-06),则a,b,c的大小关系是
(2)利用分段函数的意义先求 f(1)，再求 f(f(1))； f(log3 1 2 )可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由 x＝log43，得 4 x＝3，即 2 x＝ 3， 2－x＝ 3 3 ，所以(2 x－2－x ) 2＝( 2 3 3 ) 2＝ 4 3 . (2)因为 f(1)＝log21＝0，所以 f(f(1))＝f(0)＝2. 因为 log3 1 2 4， 所以 f(3＋log23)＝( 1 2 )3＋log23＝ 1 8 ×( 1 2 )log23 ＝ 1 8 × 1 3 ＝ 1 24. 题型二 对数函数的图象和性质 例 2 (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是 ( ) (2)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝f(log47)， b＝f(log 2 1 3)，c＝f(0.2－0.6)，则 a，b，c 的大小关系是 ( )
c. b<csa D. a<k<c 思维启迪(1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象; (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小,利用函数的单调性或中间值可达到目的 答案(1)C(2)B 解析(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A、B; 又函数y=2log(1-x)在定义域内单调递减,排除D选C 3: b=f(log 3)=f(-log49)=f(log4 9) log7<log9,02-06(1)3 -3=√125y32=20g9, 又x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 且在(-∞,0上是增函数, 故fx)在[0,+∞)上是单调递减的, f0.2-08)≤flog13)<(log7),即cba 思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小,解不等 式等 (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系,充分利用函数图象解题也体现了数形结合的 思想 跟踪训练2()已知a=2,b=(),c=2g2.则a,b,c的大小关系为) B. c<a<b c. bcasc (2)已知函数fx)=log(x+b)(a0且a≠1)的图象过两点(-1,0)和(O,1),则a= 答案(1)A(2)22 解析(1)b= c=2l0g52=logs 2<logs 5=1<20.8=b 故c<b< (2(x)的图象过两点(-10)和O,1) 则f-1)=log(-1+b)=0且f0)=log0+b)=1 b-1=1 题型三对数函数的应用
A．c 5 32＝2>log49， 又 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数， 故 f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)0 且 a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则 a＝________， b＝________. 答案 (1)A (2)2 2 解析 (1)b＝ 1 2 －0.8＝2 0.8<21.2＝a， c＝2log52＝log52 2<log55＝1<20.8＝b， 故 c<b<a. (2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则 f(－1)＝loga(－1＋b)＝0 且 f(0)＝loga(0＋b)＝1， ∴ b－1＝1 b＝a ，即 b＝2 a＝2 . 题型三 对数函数的应用
【例3】已知函数fx)=loga(3-ax) (1)当x∈,2时,函数fx)恒有意义,求实数a的取值范围 (2)是否存在这样的实数a,使得函数fx)在区间12上为减函数,并且最大值为1?如果 存在,试求出a的值:如果不存在,请说明理由 思维启迪(x)恒有意义转化为“恒成立”问题,分离参数a来解决;探究a是否存在, 可从单调性入手 解(1)∵a>0且a≠1,设1(x)=3-ax, 则x)=3-ax为减函数, x∈0,2时,l(x)最小值为3-2 当x∈0,2时,fx)恒有意义 即x∈[02]时,3-ax>0恒成立 ∴3-2>0.∴a 又a>0且a≠1,∴a∈(0,1)U(1, (2)(x)=3-ax,∵a>0,∴函数l(x)为减函数, ∵f(x)在区间12上为减函数, y=logt为增函数, a>1,x∈1,2时,(x)最小值为3-2a,fx)最大值为(1)=log(3-a), log a(3-a)=I 故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1 思维升华解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a∈(1,+∞) (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义 域上进行; (3如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误 跟踪训练3已知八x)=lg(4-1) (1)求fx)的定义域 (2)讨论x)的单调性; (3)求fx)在区间[,2]上的值域 解(1)由42-1>0,解得x>0, 因此fx)的定义域为(0,+∞) (2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1, 因此log44x-1)log4(4x2-1),即Ax)≤x2)
例 3 已知函数 f(x)＝loga(3－ax)． (1)当 x∈[0,2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1？如果 存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由． 思维启迪 f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数 a 来解决；探究 a 是否存在， 可从单调性入手． 解 (1)∵a>0 且 a≠1，设 t(x)＝3－ax， 则 t(x)＝3－ax 为减函数， x∈[0,2]时，t(x)最小值为 3－2a， 当 x∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 即 x∈[0,2]时，3－ax>0 恒成立． ∴3－2a>0.∴a0 且 a≠1，∴a∈(0,1)∪ 1， 3 2 . (2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数 t(x)为减函数， ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数， ∴y＝logat 为增函数， ∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为 3－2a，f(x)最大值为 f(1)＝loga(3－a)， ∴ 3－2a>0 loga(3－a)＝1 ，即 a0，解得 x>0， 因此 f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设 0<x1<x2，则 0<4x1－1<4x2－1， 因此 log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即 f(x1)<f(x2)
故x)在(0,+∞)上递增 (3)x)在区间,2]上递增 又f()=0,(2)=log+15 因此风x)在,2]上的值域为0,log415】] 高频小考点1 利用函数性质比较幂、对数的大小 典例:(15分)1)设a=0.505,b=0305,c=logo302,则a,b,c的大小关系是() B. ab>c B. b>a C. a>c>b D. c>a>b (3)已知函数y=fx)的图象关于y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,(x)+x(x)a>c B. c>a>b C. c>b>a D. a>c>b 思维启迪(1)利用幂函数y=x05和对数函数y= logo3x的单调性,结合中间值比较a,b,c 的大小 (2)化成同底的指数式,只需比较log23.4、log36、-log0.3=log,的大小即可,可以利用 中间值或数形结合进行比较 (3先判断函数p(x)=xf(x)的单调性,再根据202,logx3,log9的大小关系求解 解析(1)根据幂函数y=x5的单调性,可得0.3950.50log030.3=1,即c1 所以bl0g3->l0g436 方法二∵log3log3= 10
故 f(x)在(0，＋∞)上递增． (3)f(x)在区间[ 1 2 ，2]上递增， 又 f( 1 2 )＝0，f(2)＝log415， 因此 f(x)在[ 1 2 ，2]上的值域为[0，log415]． 利用函数性质比较幂、对数的大小 典例：(15 分)(1)设 a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．a>b>c B．ab>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b (3)已知函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称，且当 x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)a>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b 思维启迪 (1)利用幂函数 y＝x 0.5 和对数函数 y＝log0.3x 的单调性，结合中间值比较 a，b，c 的大小； (2)化成同底的指数式，只需比较 log23.4、log43.6、－log30.3＝log3 10 3 的大小即可，可以利用 中间值或数形结合进行比较； (3)先判断函数 φ(x)＝xf(x)的单调性，再根据 2 0.2，logπ3，log39 的大小关系求解． 解析 (1)根据幂函数 y＝x 0.5 的单调性，可得 0.30.5log0.30.3＝1，即 c>1. 所以 blog3 10 3 >log43.6. 方法二 ∵log3 10 3 >log33＝1，且10 3 <3.4
∴log21 ∴log43610g3>>log436 由于y=54为增函数,∴534>533>5436 即523.4>()0.3>53.6,故a>c>b (3)因为函数y=fx)关于y轴对称,所以函数y=xfx)为奇函数 因为xx’=fx)+x(x),且当x∈(-∞,0时, xx’=(x)+xf(x)ac,选A 答案(1)C(2)C(3)A 温馨提醒(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方 (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而 底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0 或 思想方法·感悟提高 方法与技巧 1.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=logx的定义域应为{xx>0}.对数 函数的单调性和a的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按01进 行分类讨论 2.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性 3.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y=1交点的横坐标进行判定 失误与防范 在运算性质logM= logan中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为 logaM= logan(a∈N+,且a为偶数) 2.指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y= logar(a>0,且a≠1)互为反函数,应从概念、 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别
∴log3 10 3 1， ∴log43.6log3 10 3 >log43.6. (3)因为函数 y＝f(x)关于 y 轴对称，所以函数 y＝xf(x)为奇函数． 因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当 x∈(－∞，0)时， [xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)a>c，选 A. 答案 (1)C (2)C (3)A 温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方 法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而 底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1. 方法与技巧 1．对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 y＝logax 的定义域应为{x|x>0}．对数 函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进 行分类讨论． 2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线 y＝1 交点的横坐标进行判定． 失误与防范 1．在运算性质 logaM α＝αlogaM 中，要特别注意条件，在无 M＞0 的条件下应为 logaM α＝ αloga|M|(α∈N＋，且 α 为偶数)． 2．指数函数 y＝a x (a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，应从概念、 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2注意对数底 数的取值 练出高分 A组专项基础训练 选择题 函数y 的定义域是 B.{x01 解析∵y=lgx-ll ∴A项符合题意 3.已知x=ln兀,y=logs2,=e2,则 B. <<x D. ys<x 答案D 解析∵x=lnπlne,∴xl y=lg2g5.:03y5
3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底 数的取值 A 组 专项基础训练 一、选择题 1．函数 y＝ 2－x lg x 的定义域是 ( ) A．{x|00 lg x≠0 ， 解得 01 lg(1－x)，xln e，∴x>1. ∵y＝log52<log5 5，∴0<y< 1 2
√e√4 ∴-0 g f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 A.(-1,0)U(0,1) B.(-∞,-1)U(1,+∞ C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)U(0,1) 答案 解析f(a)>f(-a)→ 或 log2 u lo →(4>0,或(“log2(-a)a>l 10,且a≠1,∴l=ax-3为增函数 若函数fx)为增函数,则fx)=log必为增函数, 因此∝>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正, a-3>0,即a>3,故选 填空题 计算(lg-lg25)+10 答案-20 解析(4g25)-100 -2×10=-20 7.已知函数f(x) 则使函数x)的图象位于直线y=1上方的x的取值范围是 ogx, x>0, lo 答案{x-10,∴-10时,log2x>1→x2,∴x2 综上所述,x的取值范围为-1<x≤0或x2
∵z＝e 2 1 − ＝ 1 e > 1 4 ＝ 1 2 ，∴ 1 2 1 或－10，且 a≠1，∴u＝ax－3 为增函数， ∴若函数 f(x)为增函数，则 f(x)＝logau 必为增函数， 因此 a>1.又 y＝ax－3 在[1,3]上恒为正， ∴a－3>0，即 a>3，故选 D. 二、填空题 6．计算(lg 1 4 －lg 25)÷100 2 1 − ＝________. 答案 －20 解析 (lg 1 4 －lg 25)÷100 2 1 − ＝(lg 1 100)÷10－1 ＝－2×10＝－20. 7．已知函数 f(x)＝ 3 x＋1，x≤0， log2x，x>0， 则使函数 f(x)的图象位于直线 y＝1 上方的 x 的取值范围是 ________________． 答案 {x|－12} 解析 当 x≤0 时，3 x＋1>1⇒x＋1>0，∴－10 时，log2x>1⇒x>2，∴x>2. 综上所述，x 的取值范围为－12