42.1指数函数及其图像与性质 【教学目标】 1.知识与技能目标: 使学生理解指数函数的定义、图象及性质,培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标 在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质,启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思 维活动,培养学生的思维能力,体会学习数学规律的方法 情感态度与价值观: 让学生感受数学问题探索的乐趣,体验成功的喜悦,体会辨证的思维及数学图形的和谐美。 【教学重、难点】 教学重点:理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点:指数函数性质的归纳与运用 【教学方法】 我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱,学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强,而且突 出数学图形的运用,这恰是学生学习的弱项,但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心,动 手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法,通过结合计算机软件工具, 让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识,让学习成为一种愉悦的主动认知过程,切实做到将数学 课堂还给学生。 【教学过程】 1.流程 (1)教学流程 创设情境 引出新知 深入探究 巩固提高 归纳总结 分层作业 激发兴趣 形成概念 引导发现 灵活运用 新知梳理 共同提高 (2)学生认知流程 初步感知 形成概念 深入体验 强化新知 知识拓展 2.教学过程设计
1 4.2.1 指数函数及其图像与性质 【教学目标】 1.知识与技能目标： 使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标： 在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思 维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。 3.情感态度与价值观： 让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。 【教学重、难点】 教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点：指数函数性质的归纳与运用。 【教学方法】 我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强，而且突 出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动 手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具， 让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学 课堂还给学生。 【教学过程】 1.流程 （1）教学流程： （2）学生认知流程： 2.教学过程设计 初步感知 形成概念 深入体验 强化新知 知识拓展 创设情境 激发兴趣 引出新知 形成概念 深入探究 引导发现 巩固提高 灵活运用 归纳总结 新知梳理 分层作业 共同提高
环节 教学内容 师生互动 设计意图 动一动、想一想: 学生:动手并思考 让学生动 ①一张纸对折几次,与课本的厚度相接近? 教师提示: 手去发现,激发 ②若条件允许,你们知道一张纸对折20次有多1.课本150页,75层纸 他们的学习积 高吗? 2.一张纸大约厚0.1毫米,极性。 这两个问 设问题1.观察折纸过程中,求对折次数x与所得学生:能得出x与y的关 题为指数函数 境|纸的层数y的关系式。 系式为:y=2x 概念、形式的给 激发兴趣 教师引导得:出奠定基础同 y=22,x∈N 时,也为下面指 问题2庄子曰:一尺之棰,日取其半,万世不竭。师生:一起分析得出x与 数函数的图像 求木棒长度y与经历天数x的关系式 y的关系式为 的研究提供了 原材料。 y=(),x∈N 这一过程让学生体会到生活中中处处有数学,处处用数学,从而激发他们学习热情和探索新知的欲望。 小结 观察:由问题1、2得到的两个函数关系式:教师引导 =2,x∈N与y=(-),x∈N 1.自变量x的位置? 2.底数是确定的还是变化 并思考它们有什么共同的形式特点? 3.函数右边从整体上看都 是什么的形式? 学生思考并回答问题 (一)指数函数的定义 教师:如果用a表示底数 出 一般地,函数 再将定义域推广到实数集 新知,形成概 y=a(a>0,a≠1,x∈R) 就得到指数函数的定义。 教师:板书课题及定义 理解底数a 叫做指数函数.其中x是自变量,定义域为R 的限制条件(a> 0,且a≠1),对 念|强调: 学生来说是比较 指数函数的解析式y=d中,以的系数是1.| 提问:y=2×3是指数函数困难的 2.规定底数a>0,且a≠1 考虑到学生的实际水 平,对于底数a的限制 只作简单的说明。 2
2 环节 教学内容 师生互动 设计意图 一 、创 设 情 境 激 发 兴 趣 动一动、想一想： ①一张纸对折几次，与课本的厚度相接近？ ②若条件允许，你们知道一张纸对折 20 次有多 高吗？ 问题 1. 观察折纸过程中，求对折次数 x 与所得 纸的层数 y 的关系式。 问题 2.庄子曰：一尺之棰，日取其半 ，万世不竭。 求木棒长度 y 与经历天数 x 的关系式。 学生：动手并思考。 教师提示： 1.课本 150 页, 75 层纸。 2.一张纸大约厚0.1毫米， 学生：能得出 x 与 y 的关 系式为： x y = 2 教师引导得： 2 , x y x N = 师生：一起分析得出 x 与 y 的关系式为： 1 ( ) , 2 x y x N = 让学生动 手去发现，激发 他们的学习积 极性。 这两个问 题为指数函数 概念、形式的给 出奠定基础.同 时，也为下面指 数函数的图像 的研究提供了 原材料。 过程 小结 这一过程让学生体会到生活中中处处有数学，处处用数学，从而激发他们学习热情和探索新知的欲望。 二 、引 出 新 知 ， 形 成 概 念 观察：由问题 1、2 得到的两个函数关系式： 2 , x y x N = 与 1 ( ) , 2 x y x N = 并思考它们有什么共同的形式特点？ （一）指数函数的定义： 一般地，函数 ( 0, 1, ) x y a a a x R = 叫做指数函数．其中 x 是自变量，定义域为 R． 强调： 1. 指数函数的解析式 y＝a x中，a x的系数是 1． 2. 规定底数 a＞0，且 a≠1。 教师引导： 1．自变量 x 的位置？ 2．底数是确定的还是变化 的？ 3．函数右边从整体上看都 是什么的形式？ 学生思考并回答问题。 教师：如果用 a 表示底数， 再将定义域推广到实数集 就得到指数函数的定义。 教师：板书课题及定义 提问：y＝2×3 x是指数函数 吗？ 考虑到 学生 的实 际水 平，对于底数 a 的限制， 只作简单的说明。 理解底数 a 的限制条件（a＞ 0，且 a≠1），对 学生来说是比较 困难的
例1.判断下列函数是否为指数函数 学生:各组派一名代表回增加该例题的目 (1)y=x 答,并说明理由。 的在于使学生巩 固指数函数的定 (3) y 义,从而加深理 解。同时,小题(4) 为例2的求解做 铺垫 过程 这一过程的设计从两个具体的函数出发,到一般再到具体,比较符合职高学生的认知能力。 (二)指数函数的图像与性质 教师:函数的图象是研究函 1.绘制指数函数的图像 数性质的有力工具,那么指 数函数的图象是怎样的? (1)动画展示:y=2,y=()的列表描点作图如何作指数函数的图象 学生:描点法 传统、经典的 (1)列表:略(2)描点: (3)连线: 教师 由于函数作图方法 y=2y=(y这两个指|一列表描点作图, 旨在让学生对该 数函数的底数比较特殊,也 方法的复习回顾 便于计算,我们用描点法容 而利用软件工具 易做到。为了让同学们了解 绘制函数图像的 更多、底数更一般的指数函 深入探究 方法则是本节课 数图象,也便于归纳图象的 要给学生介绍的 特征,下面主要结合几何画快捷、方便的作图 板来教学 方法 窥(2)教师减示、用几何画板软件工具绘制:函数|学生:观察记忆,学习如何 用几何画板绘制函数图像。 =2和y=()的图像 利用几何画板作 图,学生兴趣 2.指数函数的性质 教师:将这6道题写在纸片浓,而且图像非常 (1)动手操作:在几何画板上作出下列函数的图像 上,以抽奖形式让学生自由美观 y=232,y=42,y=(), 抽取 借助信息技 学生:每组派一个学生上来术,既锻炼了学生 y=(=),y=0.7,y=0.352 抽取题目,然后使用几何画使用计算机软件 板来作图。 工具的能力,也增 加教学容量
3 例 1．判断下列函数是否为指数函数 （1） 4 y = x （2） x y = 4 （3） x y = 3 4 （4） x y − = 4 学生：各组派一名代表回 答，并说明理由。 增加该例题的目 的在于使学生巩 固指数函数的定 义，从而加深理 解。同时，小题（4） 为例 2 的求解做 铺垫。 过程 小结 这一过程的设计从两个具体的函数出发，到一般再到具体，比较符合职高学生的认知能力。 三 、深 入 探 究 、引 导 发 现 （二）指数函数的图像与性质 1.绘制指数函数的图像 （1）动画展示： 1 2 ( ) 2 x x y y = = , 的列表描点作图 方法。 (1)列表：略 (2)描点： (3)连线： （2）教师演示：用几何画板软件工具绘制：函数 y ＝2 x和 y＝( 1 2 ) x的图像。 2.指数函数的性质 （1）动手操作：在几何画板上作出下列函数的图像： 4 2.3 4 , ( ) , 3 x x x y y y = = = , 3 ( ) 0.7 , 0.35 5 x x x y y y = = = , 。 教师：函数的图象是研究函 数性质的有力工具，那么指 数函数的图象是怎样的？ 如何作指数函数的图象 呢？ 学生：描点法。 教师： 由 于 1 2 ( ) 2 x x y y = = , 这两个指 数函数的底数比较特殊，也 便于计算，我们用描点法容 易做到。为了让同学们了解 更多、底数更一般的指数函 数图象，也便于归纳图象的 特征，下面主要结合几何画 板来教学。 学生：观察记忆，学习如何 用几何画板绘制函数图像。 教师：将这 6 道题写在纸片 上，以抽奖形式让学生自由 抽取。 学生：每组派一个学生上来 抽取题目，然后使用几何画 板来作图。 传统、经典的 函数作图方法— —列表描点作图， 旨在让学生对该 方法的复习回顾， 而利用软件工具 绘制函数图像的 方法则是本节课 要给学生介绍的 快捷、方便的作图 方法。 利用几何画板作 图，学生兴趣很 浓，而且图像非常 美观。 借助信息技 术，既锻炼了学生 使用计算机软件 工具的能力，也增 加教学容量
2)动眼观察,产生猜想:展示学生制作的6个函教师:让学生自由发挥,说 数图像(图1,分开独立的6个图像:图2,将它们说他们观察到的有共性的 放在同一坐标系下,让他们观察这6个指数函数图/图像特征。 像有何共同的特征: 学生很容易 观察它们呈上升 y=23 学生:容易发现 或下降的整体特 ①都过点(0,1) 征,从而对指数函 ②图像都在x轴上方 数图像的分类形 ③有的图像呈上升趋势:有 成初步的认识 y=0.35 的图像呈下降趋势 教师;引导学生去观察图像 呈上升或下降这一图像特 让学生自己 囝1 征与它们的底数存在的关去动手操作、观察 系 发现,并引导他们 对所发现的知识 深入探 进行归纳、分类, 生 学生:发现呈上升趋势的3 究 y=23 个图象,底数都大于1;皇/目的在于让学生 下降趋势的3个图象,底数成为数学课堂的 都大于0小于1:从而对指主人同时努力达 发 y=0.7 现 数函数图像形按底数分成到“使学习过程成 两类”形成初步的认识 为学生愉悦的主 动认知过程”这 教师:引导学生一起观察发/月标。 图2 现:底数大于1的三个函数, 虽然它们的弯曲程度不同, 思考:能将他们分分类吗?这个图象特征与底数a但是都呈上升的趋势:底数 是否存在关系? 大于0小于1的三个函数也 引导学生大胆猜测:指数函数的图象按底数分成两类似,形成“指数函数的图 象按底数分成两类,即底数 大于1的指数函数图像呈上 升趋势,底数大于0且小于 1的指数函数图像呈下降的 趋势”这一猜想
4 三 、深 入 探 究 、引 导 发 现 （2）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的 6 个函 数图像（图 1，分开独立的 6 个图像；图 2，将它们 放在同一坐标系下），让他们观察这 6 个指数函数图 像有何共同的特征： 图 1 图 2 思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数 a 是否存在关系？ 引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两 类。 教师：让学生自由发挥，说 说他们观察到的有共性的 图像特征。 学生：容易发现： ①都过点（0，1）； ②图像都在 x 轴上方； ③有的图像呈上升趋势；有 的图像呈下降趋势。 教师：引导学生去观察图像 呈上升或下降这一图像特 征与它们的底数存在的关 系。 学生:发现呈上升趋势的 3 个图象，底数都大于 1；呈 下降趋势的 3 个图象，底数 都大于 0 小于 1；从而对“指 数函数图像形按底数分成 两类”形成初步的认识。 教师：引导学生一起观察发 现：底数大于1的三个函数， 虽然它们的弯曲程度不同， 但是都呈上升的趋势；底数 大于 0 小于 1 的三个函数也 类似，形成“指数函数的图 象按底数分成两类，即底数 大于1的指数函数图像呈上 升趋势，底数大于 0 且小于 1 的指数函数图像呈下降的 趋势”这一猜想。 学生很容易 观察它们呈上升 或下降的整体特 征，从而对指数函 数图像的分类形 成初步的认识。。 让学生自己 去动手操作、观察 发现，并引导他们 对所发现的知识 进行归纳、分类， 目的在于让学生 成为数学课堂的 主人，同时努力达 到“使学习过程成 为学生愉悦的主 动认知过程”这一 目标。 7 6 5 4 3 2 1 -1 -6 -4 -2 2 4 6 8 4 ( ) 3 x y = 1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -6 -4 -2 2 4 6 8 0.35x y = 1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -6 -4 -2 2 4 6 8 0.7x y = 1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -6 -4 -2 2 4 6 8 2.3x y = 1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 4 x y = 7 6 5 4 3 2 1 -1 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 3 ( ) 5 x y =
(3)验证猜想:使用几何画板让学生去观察:当取教师;动画展示,验证猜想。运用几何画 底大于0小于1的任何一个值时,虽然弯曲程度在 板来验证猜想,这 变,但它们始终都呈单调递减趋势,底大于1也如 一过程也很好地 此。由此验证了他们的猜想,也得到了指数函数的 维护了数学知识 两类图象 的严谨性。 三(4)归纳指数函数的性质 教师:引导学生对当a> 由特殊到 深|通过前面对图像特征的充分认识,引导学生一起将时的指数函数图象进行下般,由感性到理 入|这些图像特征转化成数学语言,即得到指数函数的列三个方面归纳整理:性,从而顺理成章 究|性质 ①经过的特殊点 地总结出指数函 0<a<1 ②图象的范围(左右、上数的性质,这符合 导发现 下方向) 人认识问题的 图 ③图象从左向右的变化趋般规律,学生很容 象 势(上升或下降) 易接受 从而得到指数函数的性质, 让学生通过 定义域 R 值域(0,+∞ 并整理成表格 对比完成0<a< 定点恒过点(01,即当x=0时,函数值=0学生:完成当0<a<1时,1的情况,体验成 单调性在R上是增函数在R上是减函数指数函数图像的性质 功的喜悦,也加深 对知识的理解 练习.画出下列函数的简图: 学生:动手作图。 巩固指数函 数的图像的分类 (1)y=3 3 及特征 这个环节中通过让学生动眼观察、动脑思考,并对猜想进行验证,在这一过程中不仅让学生的主 体意识得以充分的体现,也让学生经历知识的产生和发展过程,感受数学问题探索的乐趣,体验成功 小结 的喜悦,体会辨证的思维,从而有效的达到对知识的理解
5 三 、深 入 探 究 、引 导 发 现 （3）验证猜想：使用几何画板让学生去观察：当取 底大于 0 小于 1 的任何一个值时，虽然弯曲程度在 变，但它们始终都呈单调递减趋势，底大于 1 也如 此。由此验证了他们的猜想，也得到了指数函数的 两类图象： （4）归纳指数函数的性质： 通过前面对图像特征的充分认识，引导学生一起将 这些图像特征转化成数学语言，即得到指数函数的 性质。 a＞1 0＜a＜1 图 象 定义域 R 值域 (0，＋) 定点 恒过点（0,1），即当 x=0 时，函数值 y=0 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 练习．画出下列函数的简图： x (1)y = 3 ， x y = 3 1 (2) 教师：动画展示，验证猜想。 教师：引导学生对当 a＞1 时的指数函数图象进行下 列三个方面归纳整理： ① 经过的特殊点； ② 图象的范围（左右、上 下方向） ③ 图象从左向右的变化趋 势（上升或下降） 从而得到指数函数的性质， 并整理成表格。 学生：完成当 0＜a＜1 时， 指数函数图像的性质。 学生：动手作图。 运用几何画 板来验证猜想，这 一过程也很好地 维护了数学知识 的严谨性。 由特殊到一 般，由感性到理 性，从而顺理成章 地总结出指数函 数的性质，这符合 人认识问题的一 般规律，学生很容 易接受． 让学生通过 对比完成 0＜a＜ 1 的情况，体验成 功的喜悦，也加深 对知识的理解。 巩固指数函 数的图像的分类 及特征。 过 程 小 结 这个环节中通过让学生动眼观察、动脑思考，并对猜想进行验证，在这一过程中不仅让学生的主 体意识得以充分的体现，也让学生经历知识的产生和发展过程，感受数学问题探索的乐趣，体验成功 的喜悦，体会辨证的思维，从而有效的达到对知识的理解
例2.判断下列函数(+∞)在内的单调性 师生 例2的目的 (1)学生回答,教师板书:在于考察学生对 y 2 (2)教师适当地提示,学本节课指数函数 生完成. 解:(1)因为底数a=5>1,所以,函数y=52在 的定义及性质的 (3)学生独立完成 理解程度,(1)的 (∞+∞)内是增函数。 解决学生应该没 有问题,(2)(3) (2)因为y=3=(3-) 底数 的解决需要结合 实数指数幂的运 1,所以,函数y=3-x在 )内是减 算,但是有了例 巩|函数。 的铺垫,(2)(3) 也就容易解决了 提高灵活运用 (3)因为y=23=23=(V2),底 a=√2≈1.259>1,所以,函 ∞+)内是增函数 思考题也是 思考题:比较下列各题中两个值的大小: 教师:引导学生结合例21)指数函数性质的 (1)5-25-21 1)04(2)函数性质进行分析,运用,有了例2 3)|将单调性具体到对两个点的铺垫,学生不难 进行讨论 理解,培养学生数 形结合分析问题 能力 新知梳理: 教师提问: 定义結特 通过本节课的学习,你学到对本节课知 五归纳总结新知梳理 了哪些知识?又掌握了哪识进行整理,让学 些方法? 生领悟研究一个 简单应月 函数的方法和模 式:从定义一一图 象一一性质的过 程
6 四 、巩 固 提 高 灵 活 运 用 例 2．判断下列函数 (− ,+) 在内的单调性 （1） x y = 5 （2） x y − = 3 （3） 3 2 x y = 解：（1）因为底数 a = 5 1,所以，函数 x y = 5 在 (− ,+) 内是增函数。 （ 2 ）因为 x x x y = = = − − 3 1 3 (3 ) 1 ， 底 数 1 3 1 a = ,所以，函数 x y − = 3 在 (− ,+) 内是减 函数。 （ 3 ）因为 x x x y 2 2 ( 2) 3 3 1 3 = = = ，底数 2 1.259 1 3 a = , 所 以 ， 函 数 3 2 x y = 在 (− ,+) 内是增函数。 思考题: 比较下列各题中两个值的大小： （1） 2 5 − ___ 2.1 5 − （2） 0.2 3 1 ___ 0.4 3 1 师生： （1）学生回答，教师板书； （2）教师适当地提示，学 生完成. （3）学生独立完成。 教师：引导学生结合例 2（1） （2）函数性质进行分析， 将单调性具体到对两个点 进行讨论。 例 2 的目的 在于考察学生对 本节课指数函数 的定义及性质的 理解程度，（1）的 解决学生应该没 有问题，（2）（3） 的解决需要结合 实数指数幂的运 算，但是有了例 1 的铺垫，（2）（3） 也就容易解决了。 思考题也是 指数函数性质的 运用，有了例 2 的铺垫，学生不难 理解，培养学生数 形结合分析问题 能力。 五 、归 纳 总 结 新 知 梳 理 新知梳理： 教师提问： 通过本节课的学习，你学到 了哪些知识？又掌握了哪 些方法？ 对本节课知 识进行整理，让学 生领悟研究一个 函数的方法和模 式：从定义——图 象——性质的过 程
必做题 1.写出一个指数函数,并画出其简图 2.判断下列函数(-,+∞)在内的单调性 针对学生实 际,对课后书面作 业实施分层设置 其中必做题目的 选做题 在于巩固新知,而 作|1.比较下列各题中两个值的大小: 选做题1也是跳 (1)0.740.742 (2)3 一跳就能够着的 同|2利用助学光盘中的软件“指数函数的图像与性质” 题目,增强学生的 提作图,并将结果(截图)发送至“mm71mcom 自信心。选做题2 邮箱: 目的在于结合网 络技术,锻炼学生 与y=(2) 的计算机软件工 (2)y=(=)与y=(=) 具的使用技能。 【板书设计】 【教学反思】
7 六 、分 层 作 业 共 同 提 高 必做题： 1．写出一个指数函数，并画出其简图。 2．判断下列函数 (− ,+) 在内的单调性 （1） x y = 0.9 ； （2） x y − = ) 2 ( ； （3） 2 3 x y = . 选做题： 1．比较下列各题中两个值的大小： （1） 4 0.7 ___ 4.2 0.7 （2） 2 3 − ___ 2.1 3 − 2.利用助学光盘中的软件“指数函数的图像与性质” 作图，并将结果（截图）发送至“lmf0711@21cn.com” 邮箱： （1） x y = 5 与 x y ) 5 1 = ( （2） x y ) 2 3 = ( 与 x y ) 3 2 = ( 针对学生实 际，对课后书面作 业实施分层设置， 其中必做题目的 在于巩固新知，而 选做题 1 也是跳 一跳就能够着的 题目，增强学生的 自信心。选做题 2 目的在于结合网 络技术，锻炼学生 的计算机软件工 具的使用技能。 【板书设计】 【教学反思】 4.2.1 指数函数及其图像与性质