范文范例指导参考 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列画数的定义域与值域: (1)y=32-(2y=√2x+2-1 解(1)定义域为{x|x∈R且x≠2}.值域Ⅳyy>0且y≠1 (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为!yly≥0} (3)由3-3X-1≥0,得定义域是{x|×≤2},∵0≤3-3x-10且a≠1)的定义城是R,值城是(0,+∞) 2.求定义堿的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母 不为O的形如a0,(a≠0) 3.求函数的值城:①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;ax20) ③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2)先换元,再利用二次函数图象与性质 (注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数画数y=ax,y=bx,y=×,y=的图像如 图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 A. a<b<1<c<d B.a<b<1<d< C.b<a<1<d< 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 指数函数·例题解析 第一课时 【例 1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 ＝ 2−x ＝ + ＝ − 2 −1 3− 3 x 2 x 1 解 (1)定义域为{x|x∈R 且 x≠2}．值域{y|y＞0 且 y≠1}． (2)由 2 x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为{|y|y≥0}． (3)由 3－3 x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3， ∴值域是0≤y＜ 3． 1.指数函数 Y=ax （a>0 且 a≠1）的定义域是 R，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母 不为０③形如 a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数 Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0) ③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质 (注意新元的范围) 【例 2】（基础题）指数函数 y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x 的图像如 图 2．6－2 所示，则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b
范文范例指导参考 y=a 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c 2 【例3】(基础题)比较大小 (1)√2、v2、4、8、16的大小关系是: (2)0.65 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 解 选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)，则得 b＜a＜1＜d＜c． 【例 3】（基础题）比较大小： (1) 2 (2)0.6 、 2、 4、 8、 16的大小关系是： ． 3 2 3 5 8 9 4 5 1 2 − − ( ) (3)4.54.1________3.73.6
范文范例指导参考 解(1)∵2=22,v2=2,4=23,N8=28,16=25, 函数y=2x,2>1,该函数在(-∞,+∞)上是增函数, 又11,1>(=) 解(3)借助数4.53·6打桥,利用指数函数的单调性,4.541>4.53.6, 作函数y1=4.5×,y2=3.7X的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53,6>373.6 4.54.1>3.736 3.6 6-3 说明如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函 数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比 较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个 新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.541同底与373.6同指数的特点,即为 4.536(或3.74.1),如例2中的(3) 例题4(中档题) 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 解 (1) y 2 2 1 ( ) x ∵ ， ， ， ， ， 函数 ＝ ， ＞ ，该函数在 －∞，＋∞ 上是增函数， 又 ＜ ＜ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ＜ ＜ ． 2 2 2 2 4 2 8 2 16 2 1 3 3 8 2 5 4 9 1 2 2 8 4 16 2 1 2 3 1 3 5 2 5 8 3 8 9 4 9 3 8 5 9 = = = = = 解 (2) 0.6 1 1 0.6 ∵ ＞ ， ＞ ， ∴ ＞ ． − − − − 4 5 1 2 4 5 1 2 3 2 3 2 ( ) ( ) 解 (3)借助数 4.53.6 打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6， 作函数 y1＝4.5x，y2＝3.7x 的图像如图 2．6－3，取 x＝3.6，得 4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函 数的单调性进行比较，如例 2 中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比 较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的(2)．其二构造一个 新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点，即为 4.53.6(或 3.74.1)，如例 2 中的(3)． 例题 4（中档题） 9
范文范例指导参考 【例4】比较大小"飞a"与a+(a>0且a≠1,n>1) 解 叶an(n-1) 当01, >0 n(n-1) .a(n-)1时,∵n>1, >0 (n-1) ∴am-)>1,"a">y 【例5】(中档题)作出下列函数的图像:图像变换法 (1)y=( (2丿y=2-2, (3)y=2x-1 (4)y=|1-3× 解(1)y=()“的图像(如图2.6-4),过点(0,)及(-1,1). 是把函数y=(2)的图像向左平移1个单位得到的 解(2)y=2X-2的图像(如图2.6-5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位 得到的 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 【例4】 解 比较大小 与 ＞ 且 ≠ ， ＞ ． 当 ＜ ＜ ，∵ ＞ ， ＞ ， a a a a a n n n n n n n n n n n n − + − + − = − 1 1 1 1 1 1 1 1 (a 0 a 1 n 1) 0 a 1 n 1 0 ( ) ( ) ∴ ＜ ，∴ ＜ 当 ＞ 时，∵ ＞ ， ＞ ， ∴ ＞ ， ＞ a a a n n a a a n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) − − + − − + − 1 a 1 n 1 0 1 【例 5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法 (1)y (2)y 2 2 ＝( ) ＝ x － ， 1 2 x+1 (3)y＝2 |x-1| (4)y＝|1－3 x| 解 (1)y ( 2 6 4) (0 ) ( 1 1) y 1 ＝ 的图像 如图 ． － ，过点 ， 及 － ， ． 是把函数 ＝ 的图像向左平移 个单位得到的． ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x 1 x + 解 (2)y＝2 x－2 的图像(如图 2．6－5)是把函数 y＝2 x 的图像向下平移 2 个单位 得到的．
范文范例指导参考 图2.6-4 图2.6-5 解(3)利用翻折变換,先作y=2|x|的图像,再把y=2刈的图像向右平移1 个单位,就得y=21x-11的图像(如图2.6-6) 解(4)作函数y=3X的图像关于ⅹ轴的对称图像得y=-3的图像,再把y=-3x 的图像向上平移1个单位,保留其在ⅹ轴及ⅹ轴上方部分不变,把ⅹ轴下方的图像 以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7) 图2,6-6 例6(中档题):用函数单调性定义证明:当a >1时,y=a是增函数 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 解 (3)利用翻折变换，先作 y＝2 |x|的图像，再把 y＝2 |x|的图像向右平移 1 个单位，就得 y＝2 |x-1|的图像(如图 2．6－6)． 解 (4)作函数 y＝3 x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y＝－3 x 的图像，再把 y＝－3 x 的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像 以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到．(如图 2．6－7) 例 6（中档题） ： 用函数单调性定义证明：当 a ＞1 时，y = a x 是增函数
范文范例指导参考 【解析】设x,x2∈R且x;0,h∈R,很独特的方 式 则有a2-a=ax+h-a=a(ab-1) ∵a>1,h>0,∴an>0a>1, 故y=a(a>1)为R上的增函数, 理可证0<a<1时,y=a2a<a是R上的减函数 指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析) 例题7 中档题) 二次函数为内层函数,指数函数为外层函数 【例6】求函数y=(3)2-+的单调区间及值域 解令u=x2-5x+6,则y=()是关于u的减函数,而u=x2-5x +6在x∈(-∞,上是减函数,在x∈[,+∞)上是增函数.∴函数 y=(2)2-s+的单调增区间是(-,2,单调制2,+∞) 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 【解析】设 x1，x2∈R 且 x1＜x2，并令 x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，很独特的方 式 则有 ( 1) 2 1 1 1 1 − = − = − x x x +h x x h a a a a a a ， ∵a＞1，h＞0，∴ 0, 1 1 h ax a ， ∴ 0 2 1 − x x a a ，即 故 y = ax (a＞1)为 R 上的增函数， 同理可证 0＜a＜1 时，y = ax 1 2 x x a a 是 R 上的减函数. 【例6】 解 求函数 ＝ 的单调区间及值域． 令 ＝ － ＋ ，则 ＝ 是关于 的减函数，而 ＝ － － ＋ y u x 5x 6 y u u x 5x x 2 5x 6 2 2 ( ) ( ) 3 4 3 4 u ＋ 在 ∈ ∞， 上是减函数，在 ∈ ， ∞ 上是增函数．∴函数 ＝ － ＋ 的单调增区间是 ∞， ，单调减区间是 ， ∞ ． 6 x x y x 2 5x 6 ( ] [ ) ( ) ( ] [ ) − + − + 5 2 5 2 3 4 5 2 5 2 例题 7 中档题） 指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数
又∵∴u=x2-5x+6=(x 4 函数y=(4),在u∈[4,+∞)上是减函数, 所以函数y32-+的值域是(0,√108 变式1求画数y=(上)x2x的单调区阃,并证明之 解法一(在解答题):在R上任取x、x,且x;0 当x、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2 ∴y2>y,函敷在(一∞,1]上单调递增. 当x、x∈[1,+∞)时,x1+x-2>0,这时(x-x)(x+x;-2)>0,即 (此处点评:上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单 调性) ∴y2<y,函数在[1,+∞上单调递减 綜上,函教y在(一∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减 合作探究:在填空、选抨题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函 数的单调性来解题 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 又∵ ＝ － ＋ ＝ ≥ ， 函数 ＝ ，在 ∈ ， ∞ 上是减函数， 所以函数 ＝ － ＋ 的值域是 ， ． u x 5x 6 y u y 2 x 2 5x 6 ( ) ( ) [ ) ( ) ( ] x u − − − − + 5 2 1 4 1 4 3 4 1 4 3 4 0 108 3 2 4 变式 1 求函数 y=（ 2 1 ） x 2x 2 − 的单调区间，并证明之. 解法一（在解答题）：在 R 上任取 x1、x2，且 x1＜x2， 则 1 2 y y = 1 2 1 2 2 2 2 2 ) 2 1 ( ) 2 1 ( x x x x − − =（ 2 1 ）（x2－x1）（x2+x1－2） 【（ 2 1 ）为底数，红色部分为指数】 ， ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 当 x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则 1 2 y y ＞ 1. ∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增. 当 x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即 1 2 y y ＜ 1. （此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单 调性） ∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减. 综上，函数 y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减. 合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函 数的单调性来解题
范文范例指导参考 解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性): 对任意的12 是减函数 . V1 0且a≠1,讨论几(x)=a*232的单调性 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题 指数一x2+3x+2=(x-=2)+4,当x≥2时是减函数,x≤2时是增画数 而∫(x)的单调性又与01两种范围有关,应分类讨论 【解析】设u=-x2+3x+2 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）： 设： u x 2x 2 = − 则： u y = 2 1 对任意的 1 1 2 x x ，有 u1 u2 ， 又∵ u y = 2 1 是减函数 ∴ 1 2 y y ∴ x x y 2 2 2 1 − = 在 [1,+) 是减函数 对任意的 x1 x2 1 ，有 u1 u2 又∵ u y = 2 1 是减函数 ∴ 1 2 y y ∴ x x y 2 2 2 1 − = 在 [1,+) 是增函数 在该问题中先确定内层函数（ u x 2x 2 = − ）和外层函数（ u y = 2 1 ）的单调情况，再 根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性. 变式 2 已知 a 0 且 a 1 ，讨论 3 2 2 ( ) − + + = x x f x a 的单调性. 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题， 指数 4 17 ) 2 3 3 2 ( 2 2 − x + x + = − x − + ，当 x ≥ 2 3 时是减函数， x ≤ 2 3 时是增函数， 而 f (x) 的单调性又与 0 a 1 和 a 1 两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设 2 u x x = − + + 3 2 3 17 2 ( ) 2 4 = − − + x
范文范例指导参考 则当x≥一时,l是减函数,当x≤二时,l是增函数, 2 又当a>1时,y=a“是增函数, 当01时,原画数f(x)=a-2+3x+2在[,+)上是减函数,在(-0/上是 增函数. 当0<a<1时,原函数∫(x)=a-+x*在口,+∞)上是增函数,在(上是减 函数 【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数: 如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义 第二课时 例题8:(疑难题)指数函数与二次函数的复合函数 换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围) 【例7】求函数y=(x)-()2+1(x≥0)的单调区间及它的最大值 1,3 解y=[()]-()+1=[()2-]2+,令u=(),∵x≥0 0<u≤1,又∵u=(是x∈[0,+∞)上的减函数,函数y=(u-2 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 则当 x ≥ 2 3 时， u 是减函数， 当 x ≤ 2 3 时， u 是增函数， 又当 a 1 时， u y = a 是增函数， 当 0 a 1 时， u y = a 是减函数， 所以当 a 1 时，原函数 3 2 2 ( ) − + + = x x f x a 在 , ) 2 3 [ + 上是减函数，在 ] 2 3 (−, 上是 增函数. 当 0 a 1 时，原函数 3 2 2 ( ) − + + = x x f x a 在 , ) 2 3 [ + 上是增函数，在 ] 2 3 (−, 上是减 函数. 【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数； ；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义 域. 第二课时 例题 8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数 换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元 u 的范围) 【例7】 解 求函数 ＝ ＋ ≥ 的单调区间及它的最大值． ＝ ，令 ＝ ，∵ ≥ ， ∴ ＜ ≤ ，又∵ ＝ 是 ∈ ，＋∞ 上的减函数，函数 ＝ y 1(x 0) y u x 0 0 u 1 u x 0 ) y ( ) ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) [ ( ) 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x u − − + = − + −
范文范例指导参考 在u∈(0,上为减函数,在,1)上是增函数.但由00 (2)上述证明过程中,在两次求ⅹ的范围时,逆向利用了指数 函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。 变式: 求(3)y=4+2+1的值域 解 y=42+2+1 x∈R y=(2)+2.21+1=(2+1), 且 22>0,∴y>1 故y=4+2“+1的值域为yy>l 【小结】求与指数函数有关的函数的值域 时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的 要求,并利用好指数函数的单调性 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 + − 3 4 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 在 ∈ ， 上为减函数，在 ， 上是增函数．但由 ＜ ≤ 得 ≥ ，由 ≤ ≤ ，得 ≤ ≤ ，∴函数 ＝ ＋ 单调增 区间是 ，＋∞ ，单调减区间 ， u 1) 0 x 1 1 0 x 1 y 1 1 ) [0 1] ( ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) [ x x x x 当 x＝0 时，函数 y 有最大值为 1． 内层指数函数 u=(1/2)x 为减，当 u 在（0，1/2】时，此时 外层二次 f（u)为减函数，即 x 在【1，正无穷大），，则复合函数 为增（画草图分析法） 点评：（1）指数函数的有界性（值域）：x2≥0; ax>0 （2）上述证明过程中，在两次求 x 的范围时，逆向利用了指数 函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。 变式： 求（3） 4 2 1 1 = + + x x+ y 的值域. 解 1 4 2 1 x x y + = + + x R y 2 2 (2 ) 2 2 1 (2 1) , x x x = + + = + 且 2 0, y 1 x . 故 4 2 1 1 = + + x x+ y 的值域为 {y | y 1}. 【小结】求与指数函数有关的函数的值域 时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的 要求，并利用好指数函数的单调性