第十节函数模型及其应用 时间:45分钟分值:75分 、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.(2014南昌质检往外埠投寄平信,每封信不超过20g,付邮 费0.80元,超过20g而不超过40g,付邮费160元,依此类推,每 增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内).如果某人所寄 封信的质量为72.5g,则他应付邮费() A.3.20元 B.2.90元 C.2.80元 D.2.40元 解析由题意得20×3<725<20×4,则应付邮费0.80×4 320(元),故选A 答案A 2.(2014广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x和变量y的几组数据,如下表: 0.50 0.99 3.98 0.99 0.01 0.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是() B.y=x2-1 ogor 解析根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据 x=201,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;将各数据代入函数y ogx,可知满足题意.故选D. 答案D 3.(2013陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面 积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的
1 第十节 函数模型及其应用 时间：45 分钟 分值：75 分 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过 20 g，付邮 费 0.80 元，超过 20 g 而不超过 40 g，付邮费 1.60 元，依此类推，每 增加 20 g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内)．如果某人所寄 一封信的质量为 72.5 g，则他应付邮费( ) A．3.20 元 B．2.90 元 C．2.80 元 D．2.40 元 解析 由题意得 20×3<72.5<20×4，则应付邮费 0.80×4＝ 3.20(元)．故选 A. 答案 A 2．(2014·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x B．y＝x 2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析 根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除 B、C；将各数据代入函数 y ＝log2x，可知满足题意．故选 D. 答案 D 3．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面 积不小于 300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位：m)的
取值范围是() 40m 40m A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30]D.[20,30 M 40m E B 40 m-M 解析如右图:过A作AM⊥BC交M,交DE于N;AM=40 由相似三角形得:BC=40=AB=AM厂40,解得AN=x,MN=40 x,则阴影部分的面积为S=x(40-x)≥300,解得10≤x≤30,故选 答案C 4.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过 800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000 元的按全部稿费的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元, 这个人应得稿费(扣税前)为() A.2800元 B.3000元 C.3800元 D.3818元 解析设扣税前应得稿费为x元,则应纳税额为分段函数,由题
2 取值范围是( ) A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30] 解析 如右图：过 A 作 AM⊥BC 交 M，交 DE 于 N；AM＝40， 由相似三角形得：DE BC＝ x 40＝ AD AB＝ AN AM＝ AN 40，解得 AN＝x，MN＝40－ x，则阴影部分的面积为 S＝x(40－x)≥300，解得 10≤x≤30，故选 C. 答案 C 4．国家规定个人稿费纳税办法：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿费的 11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税 420 元， 这个人应得稿费(扣税前)为( ) A．2 800 元 B．3 000 元 C．3 800 元 D．3 818 元 解析 设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题
意,得 (x≤800), (x-800×14%(8004000) 如果稿费为4000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元, 所以稿费应在800~4000元之间, (x-800)×14%=420.∴x=3800(元) 答案C 5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分 别为L1=506x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该 公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为() A.45606万元 B.456万元 C.45.56万元 D.4551万元 解析依题意可设在甲地销售κ辆,则在乙地销售(15-x)辆,总 利润S=L1+L2,则总利润S=506x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+ 306x+30=-0.15(x-102)2+0.15×1022+30(x≥0).故当x=10时 Smax=456(万元) 答案B 6.已知某食品厂生产100克饼干的总费用为180元,现该食品 厂对饼干采用两种包装,其包装费及售价如下表所示: 型号 小包装 大包装 质量 100克 300克 包装费 0.5元 0.8元 售价 3.00元 8.40 下列说法中
3 意，得 y＝ 0 (x≤800)， (x－800)×14% (800＜x≤4 000)， 11%·x (x＞4 000). 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元，现知某人共纳税 420 元， 所以稿费应在 800～4 000 元之间， ∴(x－800)×14%＝420.∴x＝3 800(元)． 答案 C 5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分 别为 L1＝5.06x－0.15x 2和 L2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)．若该 公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为( ) A．45.606 万元 B．45.6 万元 C．45.56 万元 D．45.51 万元 解析 依题意可设在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，总 利润 S＝L1＋L2，则总利润 S＝5.06x－0.15x 2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋ 3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)．故当 x＝10 时， Smax＝45.6(万元)． 答案 B 6．已知某食品厂生产 100 克饼干的总费用为 1.80 元，现该食品 厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示： 型号 小包装 大包装 质量 100 克 300 克 包装费 0.5 元 0.8 元 售价 3.00 元 8.40 元 下列说法中：
①买小包装实惠 ②买大包装实惠; ③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多 ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多 所有正确的说法是() A.①④B.①③ C.②③D.②④ 解析1包小包装毎元买饼干克,1包大包装每元可买饼干 300100 843 克,因此,买大包装实惠.卖3包小包装可盈利2.1元,卖 1包大包装可盈利2,2元,因此,卖3包小包装比卖1包大包装盈利 少 答案D 填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.计算机的价格大约每3年下降2,那么今年花8100元买的一 台计算机,9年后的价格大约是 解析方法1:设计算机价格平均每年下降p%, 由题意,可得支=(1-p%0),∴p%=1-(5 ∴9年后的价格为 8100×41+13 =8100×3=300元) 法:9年后的价格为803=808=0 答案300 8.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间
4 ①买小包装实惠； ②买大包装实惠； ③卖 3 包小包装比卖 1 包大包装盈利多； ④卖 1 包大包装比卖 3 包小包装盈利多． 所有正确的说法是( ) A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 解析 1 包小包装每元买饼干100 3 克，1 包大包装每元可买饼干 300 8.4＞ 100 3 克，因此，买大包装实惠．卖 3 包小包装可盈利 2.1 元，卖 1 包大包装可盈利 2.2 元，因此，卖 3 包小包装比卖 1 包大包装盈利 少． 答案 D 二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7．计算机的价格大约每 3 年下降2 3 ，那么今年花 8 100 元买的一 台计算机，9 年后的价格大约是________元． 解析 方法 1：设计算机价格平均每年下降 p%， 由题意，可得1 3 ＝(1－p%)3，∴p%＝1－ 1 3 1 3 . ∴9 年后的价格为 8 100× 1＋ 1 3 1 3 －1 9＝8 100× 1 3 3＝300(元)． 方法 2：9 年后的价格为 8 100× 1－ 2 3 3＝8 100× 1 3 3＝300(元)． 答案 300 8．根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间
(单位:分钟和不 (,4,(,c为常数).已知工人 C 组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c 和A的值分别是 C c=60, 解析由题意 解得1 A=16 答案6016 9.(2014湖北武昌调研)某地西红柿从2月1日起开始上市,通 过市场调查,得到西红柿种植成本Q单位:元/100kg)与上市时间(单 位:天)的数据如下表: 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q与上市时间t的变化关系 0=at+b,o=af+bt+c, o=a-b, 0=alogt 利用你选取的函数,求得: (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 (2)最低种植成本是 (元/10kg) 解析根据表中数据可知函数不单调,所以Q=aP+b1+c且开 b60+180 口向上,对称轴t=-= =120
5 (单位：分钟)为 f(x)＝ c x ，x＜A， c A ，x≥A， (A，c 为常数)．已知工人 组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是________． 解析 由题意 c A ＝15， c 4 ＝30， 解得 c＝60， A＝16. 答案 60 16 9．(2014·湖北武昌调研)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通 过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)与上市时间 t(单 位：天)的数据如下表： 时间 t 60 100 180 种植成本 Q 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系． Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·logbt 利用你选取的函数，求得： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________(元/100 kg)． 解析 根据表中数据可知函数不单调，所以 Q＝at2＋bt＋c 且开 口向上，对称轴 t＝－ b 2a ＝ 60＋180 2 ＝120
3600a+60b+c=116, b=-2.4 代入数据{100004+100b+c=84 得{c=224 32400a+180b+c=116, a=0.01 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120. 最低种植成本是14400a+120b+c=14400×0.01+120(-24) 84+14000×0.01=80 答案(1)120(280 解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 10.(2014成都诊断)某工厂在政府的帮扶下,准备转型生产一种 特殊机器,生产需要投入固定成本500万元,生产与销售均以百台计 数,且每生产100台,还需增加可变成本1000万元.若市场对该产 品的年需求量为500台,每生产m百台的实际销售收入(单位:万元) 近似满足函数R(m)=5000-500m(0≤m≤5,m∈N (1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位:百台 x≤5,x∈N)的函数关系式;(说明:销售利润=实际销售收入一成本) 2因技术等原因,第一年的年生产量不能超过300台,若第 年人员的年支出费用u(x)万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)= 500x+500x≤3,x∈N),问年产量x为多少百台时,工厂所得纯利 润最大? 解(1)由题意得y=5000x-500x2-500-1000x, 即y=-500x2+4000x-500x≤5,x∈N) (2)记工厂所得纯利润为h(x),则 h(x)=-500x2+4000x-500-u(x) 500x2+3500x-1000, ∵-500(x2-7x)-1000=-500x-5}2+5125x≤3,x∈N)
6 代入数据 3 600a＋60b＋c＝116， 10 000a＋100b＋c＝84， 32 400a＋180b＋c＝116， 得 b＝－2.4， c＝224， a＝0.01. 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120. 最低种植成本是 14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120·(－2.4) ＋84＋14 000×0.01＝80. 答案 (1)120 (2)80 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10．(2014·成都诊断)某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种 特殊机器，生产需要投入固定成本 500 万元，生产与销售均以百台计 数，且每生产 100 台，还需增加可变成本 1 000 万元．若市场对该产 品的年需求量为 500 台，每生产 m 百台的实际销售收入(单位：万元) 近似满足函数 R(m)＝5 000m－500m2 (0≤m≤5，m∈N)． (1)试写出第一年的销售利润 y(万元)关于年产量 x(单位：百台， x≤5，x∈N* )的函数关系式；(说明：销售利润＝实际销售收入－成本) (2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过 300 台，若第一 年人员的年支出费用 u(x)(万元)与年产量 x(百台)的关系满足 u(x)＝ 500x＋500(x≤3，x∈N* )，问年产量 x 为多少百台时，工厂所得纯利 润最大？ 解 (1)由题意得 y＝5 000x－500x 2－500－1 000x， 即 y＝－500x 2＋4 000x－500(x≤5，x∈N* )． (2)记工厂所得纯利润为 h(x)，则 h(x)＝－500x 2＋4 000x－500－u(x) ＝－500x 2＋3 500x－1 000， ∵－500(x 2－7x)－1 000＝－500 x－ 7 2 2＋5 125(x≤3，x∈N* )
当x=3(百台)时,h(x)hax=5000(万元) 故当年生产量为300台时,厂家的纯利润最大,且最大值为5000 万元 11.(2014·日照模拟)据气象中心观察和预测:发生于M地的沙 尘暴一直向正南方向移动,其移动速度U(kmh)与时间th)的函数图 象如右图所示,过线段OC上一点T(4.0)作横轴的垂线l,梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为(h)内沙尘暴所经过的路程s(km) u(k/h 30 C 102035t(h) (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场 沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到N城?如果不会,请说明理由. 解(1)由图象可知:当=4时,U=3×4=12, s=×4×12=24 3 (2)当0≤1≤10时,s=t3=2P 当10<≤20时,s=2×10×30+30(-10)=30-150 当20<1≤35时,s=×10×30+10×30+(-20)×30-×(t 20)×2(-20)=-+70r-550
7 ∴当 x＝3(百台)时，h(x)max＝5 000(万元)． 故当年生产量为 300 台时，厂家的纯利润最大，且最大值为 5 000 万元． 11．(2014·日照模拟)据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙 尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图 象如右图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km)． (1)当 t＝4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场 沙尘暴是否会侵袭到 N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由． 解 (1)由图象可知：当 t＝4 时，v＝3×4＝12， ∴s＝ 1 2 ×4×12＝24. (2)当 0≤t≤10 时，s＝ 1 2 ·t·3t＝ 3 2 t 2， 当 10<t≤20 时，s＝ 1 2 ×10×30＋30(t－10)＝30t－150； 当 20<t≤35 时，s＝ 1 2 ×10×30＋10×30＋(t－20)×30－ 1 2 ×(t－ 20)×2(t－20)＝－t 2＋70t－550
2,t∈[0,10], 综上,可知S=1301-150,1∈(0,20 P2+701-550,t∈Q0,35] (3)∵∈[O,10]时,Sm=5×102=150<650, t∈(10,20]时,Smax=30×20-150=450<650 ∴当∈(20,35]时,令-P+70t-550=650 解得t=30,2=40 ∵20<≤35,∴t=30 ∴沙尘暴发生30h后将侵袭到N城 12.(2014·潍坊模拟)某工厂生产某种商品的年固定成本为250万 元,每生产x千件,需另投入成本为Cx),当年产量不足80千件时, C(x)=22+10x万元)当年产量不小于80千件时,C(x)=5m+0000 1450(万元),.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生 产的商品能全部售完 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件的函数解析式 (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最 大? 解(1)∵每件商品售价为0.05万元,则κ千件商品销售额为 (0.05×1000x)万元,依题意得 当0<x80时,L(x)=(00×100032-10x-250=-32+40x 250: 当x≥80时,L(x)=(0.05×1000)-5/x~10000 1450-250=1
8 综上，可知 s＝ 3 2 t 2，t∈[0，10]， 30t－150，t∈(10，20]， －t 2＋70t－550，t∈(20，35]. (3)∵t∈[0,10]时，smax＝ 3 2 ×102＝150<650， t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650， ∴当 t∈(20,35]时，令－t 2＋70t－550＝650. 解得 t1＝30，t2＝40. ∵20<t≤35，∴t＝30. ∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城． 12．(2014·潍坊模拟)某工厂生产某种商品的年固定成本为 250 万 元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时， C(x)＝ 1 3 x 2＋10x(万元)．当年产量不小于 80 千件时，C(x)＝51x＋ 10 000 x －1 450(万元)．每件商品售价为 0.05 万元．通过市场分析，该厂生 产的商品能全部售完． (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最 大？ 解 (1)∵每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 (0.05×1 000x)万元，依题意得 当 0<x<80 时，L(x)＝(0.05×1 000x)－ 1 3 x 2－10x－250＝－ 1 3 x 2＋40x －250； 当 x≥80 时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－ 10 000 x ＋1 450－250＝1
10000 200-x+ x2+40x-250(0<x<80) 则L(x)=1 10000 1200-x+ (x≥80) (2)当0<x<80时,L(x)=-2(x-602+950 此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60=950万元 当x≥80时,L(x)=1200-x+000 ≤1200-2 0000 1200-200=1000 此时,当、10000 即x=100时,L(x)取得最大值1000万元 ∵950<1000, 则当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大 利润为1000万元
9 200－ x＋ 10 000 x . 则 L(x)＝ － 1 3 x 2＋40x－250 (0<x<80)， 1 200－ x＋ 10 000 x (x≥80). (2)当 0<x<80 时，L(x)＝－ 1 3 (x－60)2＋950. 此时，当 x＝60 时，L(x)取得最大值 L(60)＝950 万元． 当 x≥80 时，L(x)＝1 200－ x＋ 10 000 x ≤1 200－2 x· 10 000 x ＝1 200－200＝1 000. 此时，当 x＝ 10 000 x ，即 x＝100 时，L(x)取得最大值 1 000 万元． ∵950<1 000， 则当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大 利润为 1 000 万元．