第四章:函数应用 §1:函数与方程 教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数 的图像与ⅹ轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是 让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系 教学目标:1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联 系,学会结合函数图像性质判断方程根的个数,学会用多种方法求 方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一 般”的认识规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。 重点难点:根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的 根的个数;函数零点的概念 复习引入: 同学们好,今天我们来进行第四章函数应用的学习,这一节课我 们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前,我们已经学习过一元 次方程、一元二次方程,并会对它们进行求解。现在来看几个方程: ①ax+b=0(a≠0)这是一个一元一次方程,我们能很容易求出方程的 解是x=-2.②ax2+bx+c=(a≠0)这是一个一元二次方程,在对一 元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2-4ac来判断方程是否有 实解。当△>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,x≠x2; 当△=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,x1=x2;当△<0时, 一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时,我们可以通过求根公 式求出一元二次方程的根:x=bb-4。国x+4x+3x2+2x+1=0
- 1 - 第四章：函数应用 §1：函数与方程 教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数 的图像与 x 轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是 让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。 教学目标：1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联 系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求 方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一 般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。 重点难点：根据二次函数图像与 x 轴的交点个数判断一元二次方程的 根的个数；函数零点的概念。 复习引入： 同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我 们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元 一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程： ①ax+b=0(a 0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的 解是 x=－a b .②ax 2 +bx+c=0(a 0) 这是一个一元二次方程，在对一 元二次方程求解时我们会先用判别式△=b 2 －4ac 来判断方程是否有 实解。当△＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x 1 ≠x 2 ; 当△=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，x 1 =x 2 ;当△＜0 时， 一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公 式求出一元二次方程的根：x= a b b ac 2 4 2 − − 。③x 5 +4x 3 +3x 2 +2x+1=0
我们知道这是一个一元五次方程,对于这样一个高次方程大家会不会 求解?能不能知道这个方程是否有解?下面我们就来学习怎样判断 个给定方程的解是否存在的问题? (写标题)1.1利用函数性质判定方程解的存在 例1:给出三个方程:x2-2x-3=0;x2-2x+1=0;x2-2x+3=0 分析:这三个都是简单的一元二次方程,我们可以通过判别式△来判 断方程是否有解,若有解,也能很容易的求出。 解:①△>0x=3,x2=1;对应函数:f(x)=x2-2x ②△=0x=x2=1;对应函数:fx)=x2-2x+1 ③△<0无实解;对应函数:f(x)=x2-2x+3 图像: 提问:观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系? 总结:①一元二次方程的根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标 ②一元二次方程根的个数与对应函数图像与ⅹ轴交点的个数相 等 对于函数图像与x轴的交点,我们来学习一个新的数学名词一一函数 零点。 二、函数零点 1.概念:我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个
- 2 - 我们知道这是一个一元五次方程，对于这样一个高次方程大家会不会 求解？能不能知道这个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断 一个给定方程的解是否存在的问题？ （写标题）1.1 利用函数性质判定方程解的存在 一、 例 1：给出三个方程：x 2 -2x-3=0； x 2 -2x+1=0 ；x 2 -2x+3=0 分析：这三个都是简单的一元二次方程，我们可以通过判别式△来判 断方程是否有解，若有解，也能很容易的求出。 解：①△＞0 x 1 =3，x 2 =-1；对应函数：f(x) = x 2 -2x-3 ②△=0 x 1 = x 2 =1；对应函数：f(x) = x 2 -2x+1 ③△＜0 无实解；对应函数：f(x) = x 2 -2x+3 图像： 提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系？ 总结：① 一元二次方程的根就是对应函数图像与 x 轴交点的横坐标。 ②一元二次方程根的个数与对应函数图像与 x 轴交点的个数相 等。 对于函数图像与 x 轴的交点，我们来学习一个新的数学名词——函数 零点。 二、 函数零点 1． 概念：我们把函数 y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个
函数的零点。 说明:①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。 ②零点是一个实数,并不是一个点。 ③函数的零点就是相应方程的根。 ④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等 学习过零点概念及以上4点说明,我们已经学会判断零点:要求函数 的零点就要看函数图像与x轴是否有交点,也即相应方程是否有实 根。因此得到判断零点的方法 2.判断零点的方法:方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与 x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出:方程f(x)=0的实 根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。 那如果所给的函数的图像不易画出,又不能求出其对应方程的根时, 我们怎样判断函数有没有零点呢? 观察例1中第一个方程的对应图像:f(x)=x2-2x-3 从图像上看,我们知道函数fx)=x2-2x-3有两个零点:-1,3.而能 找到区间[-2,0使零点-1在[2,0内,区间[2,4]使零点3在[2,4] 内。且有f-2)=5>0.,(0)=-3 0,f(2)×f4)<0.可以发现f-2)×f0)<0,函数f(x)=x2-2x-3在区 间(-2,0)内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根;同样地,f2) f(4)<0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点3是方程 x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论: 3.零点存在性定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲
- 3 - 函数的零点。 说明：①零点是所在函数图像与 x 轴交点的横坐标。 ②零点是一个实数，并不是一个点。 ③函数的零点就是相应方程的根。 ④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。 学习过零点概念及以上 4 点说明，我们已经学会判断零点：要求函数 的零点就要看函数图像与 x 轴是否有交点，也即相应方程是否有实 根。因此得到判断零点的方法。 2． 判断零点的方法：方程 f(x)=0 有实根 函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点。可得出：方程 f(x)=0 的实 根与函数 y=f(x)的零点是一一对应的。 那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时， 我们怎样判断函数有没有零点呢？ 观察例 1 中第一个方程的对应图像：f(x) = x 2 -2x-3 从图像上看，我们知道函数 f(x) = x 2 -2x-3 有两个零点：-1,3.而能 找到区间[-2,0]使零点-1 在[-2,0]内，区间[2,4]使零点 3 在[2,4] 内。且有 f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0; f(2)=-3＜0, f(4)=5＞ 0, f(2)×f(4)＜0.可以发现 f(-2)×f(0)＜0，函数 f(x) = x 2 -2x-3 在区 间（-2,0）内有零点-1 是方程 x 2 -2x-3=0 的一个根；同样地，f(2)× f(4)＜0，函数 f(x) = x 2 -2x-3 在区间（2,4）内有零点 3 是方程 x 2 -2x-3=0 的另一个根。因此可以得到以下结论： 3.零点存在性定理： 若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲
线,并且在区间端点的函数值符号相反,即fa)xfb)0;当x=1时,f1)=1+4+3+2+1=11>0 当x=-1时,f-1)=-1-4+3-2+1=30,f0) f-1)<0 而函数fx)=3xx2的图像是连续曲线,∴fx)在区间[-1,0]内有零 点,即方程x)=0在区间[-1,0内有实数解。 例3:判定方程(x2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于
- 4 - 线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)×f(b)＜0，则在区 间（a,b）内，函数 y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x)=0 在 区间（a,b）内至少有一个实数解。 零点存在性定理是用来判断一个方程是否存在解的，因此，现在我们 可以来判断上课开始的那个一元五次方程是否存在解了？ x 5 +4x 3 +3x 2 +2x+1=0 解：考虑 f(x) = x 5 +4x 3 +3x 2 +2x+1 试探：当 x=0 时，f(0)=1＞0；当 x=1 时，f(1)=1+4+3+2+1=11＞0； 当 x=-1 时，f(-1)=-1-4+3-2+1=-3＜0 ∴f(0)×f(-1)＜0 则函数 f(x) = x 5 +4x 3 +3x 2 +2x+1 在区间（-1,0）内至少有一个零点， 即方程在（-1,0）内至少有一个实数解。 三、 举例： 例 2：已知函数 f(x) =3 x -x 2 ，问：方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内有没有 实数解？ 分析：问方程在区间内有没有实数解，意味着什么?即要判断相应函 数在这个区间[-1,0]内有没有零点，由零点存在性定理，我们 只需验证 f(0)×f(-1)是否小于 0。 解：∵f(-1)=3 −1 -（- 1） 2= 3 1 -1=- 3 2 ＜0, f(0)= 3 0 -（0） 2 =1＞0，f(0) ×f(-1)＜0 而函数 f(x) =3 x -x 2 的图像是连续曲线，∴f(x) 在区间[-1,0]内有零 点，即方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内有实数解。 例 3：判定方程（x-2）（x-5）=1 有两个相异的实数解，且一个大于
5,一个小于2 分析:转化判断函数f(x)=(x-2)(x-5)-1在区间(-∞,2)和(5,+ ∞)内各有一个零点。 解:考虑函数x)=(x-2)(x-5)-1,有f2)=(2-2)(2-5)-1=-1 0;在(5,+∞) 内存在一点b,使邙(b)>0,所以抛物线与横轴在(a,2)内有一 个交点,在(5,b)内也有一个交点,而该交点即是方程的解。所以 方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5, 个小于2。 四、零点存在性定理说:“若fa)×fb)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是 否有零点?可能有几个零点? 解:零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间[-3,3]上函数零点 个数,来画图进行观察
- 5 - 5，一个小于 2。 分析：转化判断函数 f(x) =（x-2）（x-5）-1 在区间（-∞，2）和(5, + ∞) 内各有一个零点。 解：考虑函数 f(x) =（x-2）（x-5）-1，有 f(2) =（2-2）（2-5）-1=-1 ＜0，f(5) =（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因为 f(x)的图像是开口向 上的抛物线，在（-∞，2）内存在一点 a，使 f(a)＞0；在(5, +∞) 内存在一点 b，使 f(b)＞0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一 个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以 方程（x-2）（x-5）=1 有两个相异的实数解，且一个大于 5，一 个小于 2。 四、 零点存在性定理说：“若 f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内， 函数 y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x)=0 在区间 （a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程 f(x)=0 实数 解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为 f(a)×f(b) ＞0 时， 问题：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲 线，并且 f(a)×f(b)＞0，那么函数 y=f(x) 在区间（a,b）内是 否有零点?可能有几个零点？ 解：零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间[-3,3]上函数零点 个数，来画图进行观察