15函数模型及其应用 知识梳理 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 欠函数 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数 fx)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数 fx)=ba+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0) 对数函数 f(x)= blog x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数 f(x)=ax+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0) 2三种函数模型性质比较 a(a>1) = logar(a>l) 「在(0,+∞)上的单调 性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随着x的增大,图象随着x的增大,图象随n值变化而各有不 与y轴接近平行 可x轴接近平行同 要点整合:理解解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型 (3)求模:求解数学模型,得出数学结论 (4)还原:将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 [安际题要、转建立函数模型 数学推演 [实际结果运[数学结果 题型一,函数模型的选择 例1.某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,某地区 未成年人,从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)散点图如图,则该关系较适宜的函 数模型为(
15 函数模型及其应用 知识梳理 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 指数函数 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) 对数函数 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) 幂函数 f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝a x (a>1) y＝logax(a>1) y＝x n (n>0) 在(0，＋∞)上的单调 性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随着 x 的增大，图象 与 y 轴接近平行 随着 x 的增大，图象 与 x 轴接近平行 随n值变化而各有不 同 要点整合：理解解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 题型一．函数模型的选择 例 1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区 未成年人，从 1 岁到 16 岁的年龄 x(岁)与身高 y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函 数模型为( )
01246810121416x(岁) A. y=atb B. y=a+logar C. y=a.b D 解析:根据散点图可知,较适宜的函数模型为y=a十logx,故选B. [答案]B 选择函数模型的基本思想 (1)根据数据描绘出散点图; (2)将散点根据趋势“连接”起来,得到大致走势图象; (3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比,选择最佳函数模型.但必须注 意实际意义与基本图形的平移性相结合 变式1.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位 千元)对年销售量y(单位:t的影响.根据近8年的年宣传费x和年销售量y(=1,2,…, 8)数据得到下面的散点图.则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适 年销售量t 年宣传费汘元 A By=a+bvx C. y=a b D. y=ax+brtc 解析:选B根据散点图知,选择y=a+bx最适合,故选B. 变式2.某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q单位:元/100kg) 与上市时间单位:天)的数据如下表: 时间t60 种植成本Q116 根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的 变化关系: O=at+b, 0=at+bt+c, O=ab, 0=a loght 利用你选取的函数,求 (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是
A．y＝ax＋b B．y＝a＋logbx C．y＝a·b x D．y＝ax2＋b 解析： 根据散点图可知，较适宜的函数模型为 y＝a＋logbx，故选 B. [答案] B 选择函数模型的基本思想 (1)根据数据描绘出散点图； (2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象； (3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注 意实际意义与基本图形的平移性相结合． 变式 1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位： 千元)对年销售量 y(单位：t)的影响．根据近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i＝1，2，…， 8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数模型最适 合( ) A．y＝ax＋b B．y＝a＋b x C．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c 解析：选 B.根据散点图知，选择 y＝a＋b x最适合，故选 B. 变式 2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100kg) 与上市时间 t(单位：天)的数据如下表： 时间 t 60 100 180 种植成本 Q 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的 变化关系： Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________；
(2)最低种植成本是 元/100kg 解析:∵随着时间的増加,种植成本先减少后增加,而且当=60和1=180时种植 成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该 用二次函数Q=a十b+c,即ρ=a(-120)+m描述,将表中数据代入可得 (60-120)2+m=116,解m=80, a=001 (100-120)2+m=84, Q=0.01(-120)+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100kg 答案:(1)120(2)80 题型二.函数模型的应用 例2.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-2n(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 y(千米) x(千米) (1)求炮的最大射程 (2)设在第一象限有一飞行物忽略其大小),其飞行高度为32千米,试问它的横坐 标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. )在y=kx-201+kx(k0)中,令y=0,得-201+kx2=0 由实际意又和题设条件知x0,60解以上关于x的方得x=3-20=2 k 10,当且仅当k=1时取等号 所以炮的最大射程是10千米 (2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标存在k>0,使-(1+k2x2=3.2成立关于k 的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根, △=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0, 得有+h=2 解得a≤6 所以当a不超过6千米时,炮弹可以击中它」 已知函数模型求解实际问题的三个步骤 (1)根据已经给出的实际问题的函数模型,分清自变量与函数表达式的实际意义,注 意单位名称,并注意相关量之间的关系 (2)根据实际问题的需求,研究函数的单调性、最值等,从而得出实际问题的变化趋
(2)最低种植成本是__________元/100kg. 解析：∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 t＝60 和 t＝180 时种植 成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该 用二次函数 Q＝at2＋bt＋c，即 Q＝a(t－120)2 ＋m 描述，将表中数据代入可得 a（60－120）2＋m＝116， a（100－120）2＋m＝84， 解得 a＝0.01， m＝80， ∴Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为 120 时，种植成本取到最低值 80 元/100kg. 答案：(1)120 (2)80 题型二．函数模型的应用 例 2. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ 1 20(1＋k 2 )x 2 (k>0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐 标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． [解] (1)在 y＝kx－ 1 20(1＋k 2 )x 2 (k>0)中，令 y＝0，得 kx－ 1 20(1＋k 2 )x 2＝0. 由实际意义和题设条件知 x>0，k>0.解以上关于 x 的方程得 x＝ 20k 1＋k 2＝ 20 1 k ＋k ≤ 20 2 ＝ 10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程是 10 千米． (2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标⇔存在 k>0，使 ka－ 1 20(1＋k 2 )a 2＝3.2 成立⇔关于 k 的方程 a 2 k 2－20ak＋a 2＋64＝0 有正根， 得 Δ＝（－20a）2－4a 2（a 2＋64）≥0， k1＋k2＝ 20a a 2 >0， k1k2＝ a 2＋64 a 2 >0， 解得 a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中它． 已知函数模型求解实际问题的三个步骤 (1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注 意单位名称，并注意相关量之间的关系． (2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋
势和最优问题 (3)最后回归问题的结论 变式1.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃满足函数关系y e+(e=2718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是() A.20小时 B.22小时 C.24小时 D.26小时 解析:选C由已知条件,得192=eb,所以b=ln192又因为48=e2b=e22n 19222=192(e1),所以e1k 48 192 设该食品在33C的保鲜时间是t小时, 则=eh1=19-=192e)=192×(5=24故选C 变式2.某公司研发甲、乙两种新产品,根据市场调查预测,甲产品的利润与投资 金额x(单位:万元满足:fx)=alnx-bx+3(a,b∈R,a,b为常数),且曲线y=fx)与 直线y=kx在点(1,3)处相切;乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比,且其图 象经过点(4,4 (1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式 (2)已知该公司已筹集到40万元资金,并将全部投入甲、乙两种产品的研发,每种 产品投资金额均不少于10万元.问怎样分配这40万元,才能使该公司获得最大利润? 其最大利润约为多少万元? (参考数据:ln10=2303,h15=2708,h20=2996,hn25=3219,ln30=3401) 解:(1)函数fx)的定义域为(0,+∞且f(x)=-b,因为点(1,3)在直线y=kx上, 故有k=3, 又曲线y=fx)与直线y=3x在点(1,3)处相切, 故有(1)=a-b=3, Vr(1)=-b+3=3, 则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为 f(x)=3In x+3(x>0) 由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为 将点(4,4)代入上式,可得m=2 所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为 g(x)=2√xx>0) (2)设甲产品投资x万元, 则乙产品投资(40-x)万元,且x∈[10,30], 则公司所得利润为y=3nx+3+2√40-x
势和最优问题． (3)最后回归问题的结论． 变式 1．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y ＝e kx＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( ) A．20 小时 B．22 小时 C．24 小时 D．26 小时 解析：选 C.由已知条件，得 192＝e b，所以 b＝ln 192.又因为 48＝e 22k＋b＝e 22k＋ln 192 ＝192e 22k＝192(e 11k ) 2，所以 e 11k＝ 48 192 1 2＝ 1 4 1 2＝ 1 2 .设该食品在33 ℃的保鲜时间是 t 小时， 则 t＝e 33k＋ln 192＝192e 33k＝192(e 11k ) 3＝192× 1 2 3 ＝24.故选 C. 变式 2．某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资 金额 x(单位：万元)满足：f(x)＝aln x－bx＋3(a，b∈R，a，b 为常数)，且曲线 y＝f(x)与 直线 y＝kx 在点(1，3)处相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图 象经过点(4，4)． (1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式； (2)已知该公司已筹集到 40 万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种 产品投资金额均不少于 10 万元．问怎样分配这 40 万元，才能使该公司获得最大利润？ 其最大利润约为多少万元？ (参考数据：ln 10＝2.303，ln 15＝2.708，ln 20＝2.996，ln 25＝3.219，ln 30＝3.401) 解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝ a x －b，因为点(1，3)在直线 y＝kx 上， 故有 k＝3， 又曲线 y＝f(x)与直线 y＝3x 在点(1，3)处相切， 故有 f′（1）＝a－b＝3， f（1）＝－b＋3＝3， 得 a＝3， b＝0. 则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为 f(x)＝3ln x＋3(x>0)． 由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为： g(x)＝m x， 将点(4，4)代入上式，可得 m＝2， 所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为 g(x)＝2 x(x>0)． (2)设甲产品投资 x 万元， 则乙产品投资(40－x)万元，且 x∈[10，30]， 则公司所得利润为 y＝3ln x＋3＋2 40－x
故有y=3 令y>0,解得10≤x2, 02 所以2+50≥2V25×360=10800 所以y=225x+ 360≥10440 当且仅当225=3602 时,等号成 即当x=24时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是10440元 (1)通过阅读、理解,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破口 (2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系 (3)在构建数学模型时,对已知数学知识进行检索,从而认定或构建相关的数学模型 变式1.某商场已按每件80元的成本购进某商品1000件,根据市场预测,售价为 每件100元时可全部售完,售价每提高1元销量就减少5件,若要获得最大利润,售价 应定为每件 解析:设售价提高x元,获得的利润为y元,则依题意得 (1000-5x)×(20+x) 5x2+900x+20000
故有 y′＝ 3 x － 1 40－x ， 令 y′>0，解得 10≤x2)． (2)因为 x>2， 所以 225x＋ 3602 x ≥2 225×3602＝10 800. 所以 y＝225x＋ 3602 x －360≥10 440. 当且仅当 225x＝ 3602 x 时，等号成立． 即当 x＝24 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是 10 440 元． (1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口． (2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系． (3)在构建数学模型时，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相关的数学模型． 变式 1．某商场已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，售价为 每件 100 元时可全部售完，售价每提高 1 元销量就减少 5 件，若要获得最大利润，售价 应定为每件__________元． 解析：设售价提高 x 元，获得的利润为 y 元，则依题意得 y＝(1 000－5x)×(20＋x) ＝－5x 2＋900x＋20 000
5(x-902+60500 0<1000-5x≤1000,∴0≤x200 故当x=90时,ya=60500,此时售价为每件190元 答案:190 变式2.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其 移动速度v(kmh)与时间ch)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的 垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即th内台风所经过的路程s(km) (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场台风是否会侵袭到N 城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由. 解:(1)由图象可知,直线OA的方程是υ=3,直线BC的方程是=-21+70 当t=4时,=12,所以s=×4×12=24 (2)当0≤t≤10时,s=×t×3=22 当10<≤20时,S=×10×30+(-10)×30=30-150; 当20<≤35时,s=150+300+×(t-20)×(-2+70+30)=-2+70-55 综上可知,s随t变化的规律是 ∈p,10J, 30-150,t∈(10,20 r+70r-550,t∈(20,35 (3)当∈[0,10]时,Smx=5×102=150650, 当t∈(10,20时,Smx=30×20-150=450650, 当!∈(20,35]时,令一P+70-550=650,解得匚=30或40(舍去),即在台风发生 30h后将侵袭到N城
＝－5(x－90)2＋60 500. ∵0<1 000－5x≤1 000，∴0≤x<200， 故当 x＝90 时，ymax＝60 500，此时售价为每件 190 元． 答案：190 变式 2. 据气象中心观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直向正南方向移动，其 移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上一点 T(t，0)作横轴的 垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km)． (1)当 t＝4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到 N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由． 解：(1)由图象可知，直线 OA 的方程是 v＝3t，直线 BC 的方程是 v＝－2t＋70. 当 t＝4 时，v＝12，所以 s＝ 1 2 ×4×12＝24. (2)当 0≤t≤10 时，s＝ 1 2 ×t×3t＝ 3 2 t 2； 当 10<t≤20 时，s＝ 1 2 ×10×30＋(t－10)×30＝30t－150； 当 20<t≤35 时，s＝150＋300＋ 1 2 ×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t 2＋70t－550. 综上可知，s 随 t 变化的规律是 s＝ 3 2 t 2，t∈[0，10]， 30t－150，t∈（10，20]， －t 2＋70t－550，t∈（20，35]. (3)当 t∈[0，10]时，smax＝ 3 2 ×102＝150<650， 当 t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650， 当 t∈(20，35]时，令－t 2＋70t－550＝650，解得 t＝30 或 40(舍去)，即在台风发生 30 h 后将侵袭到 N 城．