指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 1)根式的概念 ①如果x"=a,a∈R,x∈R,n>1,且n∈N,那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时,a的n次 方根用符号日表示;当n是偶数时,正数a的正的n次方根用符号√a表示,负的n次方根用符号-a 表示;0的n次方根是0:负数a没有n次方根 ②式子√a叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.当n为奇数时,a为任意实数:当n为偶数 时,a≥0 ③根式的性质:(√a)y=a:当n为奇数时,《a=a;当n为偶数时,√a=a= ja (az0 (a0,m,n∈N,且n>1).0的正分数指数幂等于0② 正数的负分数指数幂的意义是:an=()”=(-)(a>0,m,n∈N,且n>1).0的负分数指 数幂没有意义,注意口诀:底数取倒数,指数取相反数 (3)分数指数幂的运算性质 aa2=a"+(a>0,r,s∈R) ②(a)=a"(a>0,r,s∈R) (abr=ab(a>0,b>0,rER) 2.1.2指数函数及其性质 (4)指数函数 指数函数 函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数 a>1 01(x>0),y=1(x=0),01(x0) a变化对在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴:在第一象限内,a越小图象越高,越靠近y轴 图象影响〖在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴.在第二象限内,a越小图象越低,越靠近x轴
指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果 , , , 1 n x a a R x R n = ，且 n N + ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n 次 方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n − a 表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根． ②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数 时， a 0 ． ③根式的性质： ( ) n n a a = ；当 n 为奇数时， n n a a = ；当 n 为偶数时， ( 0) | | ( 0) n n a a a a a a = = − ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： ( 0, , , m n n m a a a m n N = + 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1 1 ( ) ( ) ( 0, , , m m n n m a a m n N n a a − = = + 且 n 1) ．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① ( 0, , ) r s r s a a a a r s R + = ② ( ) ( 0, , ) r s rs a a a r s R = ③ ( ) ( 0, 0, ) r r r ab a b a b r R = 2.1.2 指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 ( 0 x y a a = 且 a 1) 叫做指数函数 图象 a 1 0 1 a 定义域 R 值域 （0,+∞） 过定点 图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的 变化情况 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) a 变化对 图象影响 在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴． 0 1 x y = a x y (0,1) O y = 1 0 1 x y = a x y (0,1) O y = 1
21指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 (n)=n C.x3+y3=(x+y) D.√= 15 2.化简(a3b2)(-3a2b3)÷(a°b)的结果 B. -a d. a 3.设指数函数f(x)=a2(a>0.,a≠1),则下列等式中不正确的是 A.f(x+y)=f(x)·f(y) B.f(x-y)=/(x) f() C.f(nx)=[f(x)(n∈Q D.f(xy)"=[f(x)"Lf(y)”(mn∈N) 4.函数y=(x-5)+(x-2)2 B.{x|x>2} 或x>5} 若指数函数y=a2在[—1,1上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于 B.-1+c.1D.y5 6.当a≠0时,函数y=ax+b和y=b“的图象只可能是 图3 7.函数f(x)=2的值域是 A.(0, B.(0,1) 2-x-1,x≤0 8.函数f(x) ,满足∫(x)>1的x的取值范围 x-,x> 0 C.{x|x>0或x1或x<-l} 9.函数y=() -xx*2得单调递增区间是 B.(-∞,-1 +∞
2.1 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A． 7 1 7 7 ( ) n m m n = B．12 4 3 (−3) = − 3 C． 4 3 4 3 3 x + y = (x + y) D． 3 3 9 = 3 2．化简 ) 3 1 ( )( 3 ) ( 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 a b − a b a b 的结果 （ ） A． 6a B． −a C． −9a D． 2 9a 3．设指数函数 f (x) = a (a 0,a 1) x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A．f(x+y)=f(x)·f(y) B． ( ) ( ) f y f x f（x − y）= C． f (nx) [ f (x)] (n Q) n = D． ( ) [ ( )] ·[ ( )] ( ) + f xy = f x f y n N n n n 4．函数 2 1 0 ( 5) ( 2) − y = x − + x − （ ） A．{x | x 5, x 2} B．{x | x 2} C．{x | x 5} D．{x | 2 x 5或x 5} 5．若指数函数 x y = a 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于 （ ） A． 2 1+ 5 B． 2 −1+ 5 C． 2 1 5 D． 2 5 1 6．当 a 0 时，函数 y = ax + b 和 y b ax = 的图象只可能是 （ ） 7．函数 | | ( ) 2 x f x − = 的值域是 （ ） A． (0,1] B．(0,1) C．(0,+) D．R 8．函数 − = − , 0 2 1, 0 ( ) 2 1 x x x f x x ，满足 f (x) 1 的 x 的取值范围 （ ） A． (−1,1) B． (−1,+) C．{x | x 0或x −2} D．{x | x 1或x −1} 9．函数 2 2 ) 2 1 ( − + + = x x y 得单调递增区间是 （ ） A． ] 2 1 [−1, B．(−,−1] C．[2,+) D． ,2] 2 1 [
0.已知f(x)= 则下列正确的是 A.奇函数,在R上为增函数 B.偶函数,在R上为增函数 C.奇函数,在R上为减函数 D.偶函数,在R上为减函数 1l.已知函数∫(x)的定义域是(1,2),则函数∫(2x)的定义域是 2.当a>0且a≠1时,函数f(x)=a-2-3必过定点 三、解答题 13.求函数y=-—的定义域 14.若a>0,b>0,且a+b=c, 求证:(1)当r>1时,a+bc. 15.已知函数f(x) 1). (1)判断函数f(x)的奇偶性:(2)证明f(x)在(-∞,+∞)上是增函数 16.函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值. 参考答案 一、 DCDDD AADDA 二、11.(0,1) 三、13.解:要使函数有意义必须: 1≠0 x≠1 ≠ ≠0 定义域为:{xx∈R且x≠0x≠
10．已知 2 ( ) x x e e f x − − = ，则下列正确的是 （ ） A．奇函数，在 R 上为增函数 B．偶函数，在 R 上为增函数 C．奇函数，在 R 上为减函数 D．偶函数，在 R 上为减函数 11．已知函数 f (x)的定义域是（1，2），则函数 (2 ) x f 的定义域是 . 12．当 a＞0 且 a≠1 时，函数 f (x)=ax－2－3 必过定点 . 三、解答题： 13．求函数 y x x = − − 1 5 1 1 的定义域. 14．若a＞0，b＞0，且a+b=c， 求证：(1)当r＞1时，a r +b r＜c r；(2)当r＜1时，a r +b r＞c r . 15．已知函数 1 1 ( ) + − = x x a a f x (a＞1). （1）判断函数f (x)的奇偶性；（2）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数. 16．函数 f(x)＝a x (a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，求 a 的值． 参考答案 一、DCDDD AAD D A 二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 三、13． 解：要使函数有意义必须： x x x x x − − 1 0 1 0 1 0 ∴定义域为：x x R且x 0, x 1
a+b c/’10c. 15.解:(1)是奇函数 (2)设x 即f(x1)1,则f(x)在[1,2上递增 a--a 即a=或a=0(舍去) (2)若0<a<1,则f(x)在[12]上递减, a=或a=0(舍 综上所述,所求a的值为或
14． 解： r r r r r c b c a c a b + = + ，其中 0 1,0 1 c b c a . 当r＞1时， + = 1 + c b c a c b c a r r ，所以a r +b r＜c r； 当 r＜1 时， + = 1 + c b c a c b c a r r ，所以 a r +b r＞c r . 15．解：(1)是奇函数. (2)设x1＜x2，则 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 + − − + − − = x x x x a a a a f x f x 。= ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 2 1 2 1 2 + + − + − + − x x x x x x a a a a a a ∵a＞1，x1＜x2，∴a 1 x ＜a 2 x . 又∵a 1 x +1＞0，a 2 x +1＞0， ∴f (x1 )－f (x2 )＜0，即f (x1 )＜f (x2 ). 函数 f(x)在(－∞，+∞)上是增函数. 16、 (1)若 a>1，则 f(x)在[1,2]上递增， ∴a 2－a＝ a 2 ，即 a＝ 3 2 或 a＝0(舍去)． (2)若 0<a<1，则 f(x)在[1,2]上递减， ∴a－a 2＝ a 2 ，即 a＝ 1 2 或 a＝0(舍去)， 综上所述，所求 a 的值为1 2 或 3 2