指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学 内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨 1.比较大小 例1已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b2)与f(c)的大小关系是 分析:先求b,c的值再比较大小,要注意b,c的取值是否在同一单调区间内 解:∵f(1+x)=f(1-x) ∴函数f(x)的对称轴是x=1. 故b=2,又∫(0)=3,∴c=3 函数f(x)在(-∞1]上递减,在[+∞)上递增 若x≥0,则32≥2≥1,∴f(3)≥f(2) 若xf(22) 综上可得f(3)≥f(2),即f(c2)≥f(b 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问 题,有时需要对参数进行讨论 2.求解有关指数不等式 例2已知(a2+2a+5)>(a2+2a+5)x,则x的取值范围是 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围 解:∵a2+2a+5=(a+1)2+4≥4>1 函数y=(a2+2a+5)在(-∞,+∞)上是增函数 3x>1-x,解得x> x的取值范围是 注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于 含有参数的要注意对参数进行讨论 3.求定义域及值域问题 例3求函数y=√1-62的定义域和值域 解:由题意可得1-6-2≥0,即6-2≤1
1 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学 内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例 1 已知函数 2 f x x bx c ( ) = − + 满足 f x f x (1 ) (1 ) + = − ，且 f (0) 3 = ，则 ( )x f b 与 ( )x f c 的大小关系是 _____． 分析：先求 b c ， 的值再比较大小，要注意 x x b c ， 的取值是否在同一单调区间内． 解：∵ f x f x (1 ) (1 ) + = − ， ∴函数 f x( ) 的对称轴是 x = 1． 故 b = 2 ，又 f (0) 3 = ，∴ c = 3 ． ∴函数 f x( ) 在 (−∞，1 上递减，在 1，+∞) 上递增． 若 x≥0 ，则 3 2 1 x x ≥ ≥ ，∴ (3 ) (2 ) x x f f ≥ ； 若 x 0 ，则 3 2 1 x x ，∴ (3 ) (2 ) x x f f ． 综上可得 (3 ) (2 ) x x f f ≥ ，即 ( ) ( ) x x f c f b ≥ ． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问 题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例 2 已知 2 3 2 1 ( 2 5) ( 2 5) x x a a a a − + + + + ，则 x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵ 2 2 a a a + + = + + 2 5 ( 1) 4 4 1 ≥ ， ∴函数 2 ( 2 5)x y a a = + + 在 ( ) − + ∞， ∞ 上是增函数， ∴ 3 1 x x − ，解得 1 4 x ．∴x 的取值范围是 1 4 + ， ∞ ． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于 含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例 3 求函数 2 1 6x y − = − 的定义域和值域． 解：由题意可得 2 1 6 0 x− − ≥ ，即 2 6 1 x− ≤
x-2≤0,故x≤2.∴函数f(x)的定义域是(-∞,2] 令1=6-2,则y=√h-1 又∵x≤2,∴x-2≤0.∴00且a≠1)在区间[-1上有最大值14,则a的值是 分析:令【=a可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t的取值范围 解:令1=a2,则1>0,函数y=a2+2a2-1可化为y=(t+1)2-2,其对称轴为t=-1 a>1 ≤a≤a,即1≤t≤a 当t=a时,ynm=(a+1)2-2=14 解得a=3或a=-5(舍去) 当00),上述方程可化为92-80-9=0,解得t=9或 1s、\(舍去),∴3=9,∴x=2,经检验原方程的解是x=2
2 ∴ x − 2 0 ≤ ，故 x≤2 ． ∴函数 f x( ) 的定义域是 (−∞，2 ． 令 2 6 x t − = ，则 y t = −1 ， 又∵ x≤2 ，∴ x − 2 0 ≤ ． ∴ 2 0 6 1 x− ≤ ，即 0 1 t≤ ． ∴ 0 1 1 ≤ − t ，即 0 1 ≤y ． ∴函数的值域是 01，) ． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例 4 函数 2 2 1( 0 1) x x y a a a a = + − 且 在区间 [ 11] − ， 上有最大值 14，则 a 的值是_______． 分析：令 x t a = 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值范围． 解：令 x t a = ，则 t 0 ，函数 2 2 1 x x y a a = + − 可化为 2 y t = + − ( 1) 2 ，其对称轴为 t =−1 ． ∴当 a 1 时，∵ x − 11， ， ∴ 1 x a a a ≤ ≤ ，即 1 t a a ≤ ≤ ． ∴当 t a = 时， 2 max y a = + − = ( 1) 2 14． 解得 a = 3 或 a =−5 （舍去）； 当 0 1 a 时，∵ x − 11， ， ∴ x 1 a a a ≤ ≤ ，即 1 a t a ≤ ≤ ， ∴ 1 t a = 时， 2 max 1 y 1 2 14 a = + − = ， 解得 1 3 a = 或 1 5 a = − （舍去），∴a 的值是 3 或 1 3 ． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例 5 解方程 2 2 3 3 80 x x + − − = ． 解：原方程可化为 2 9 (3 ) 80 3 9 0 x x − − = ，令 3 ( 0) x t t = ，上述方程可化为 2 9 80 9 0 t t − − = ，解得 t = 9 或 1 9 t =− （舍去），∴ 3 9 x = ，∴ x = 2 ，经检验原方程的解是 x = 2 ．
评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根 6.图象变换及应用问题 例6为了得到函数y=9×32+5的图象,可以把函数y=3的图象() A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 分析:注意先将函数y=9×32+5转化为t=322+5,再利用图象的平移规律进行判断 解:∵:y=9×32+5=32+5,∴把函数y=3的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可 得到函数y=9×32+5的图象,故选(C) 评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象 并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 习题 l、比较下列各组数的大小 (1)若a>b>C>1,比较 (2)若a>b>0,c>0 比较a与 (3)若a>b>0.Cy>0日a2=b,比较a与b a,b∈(0,1),x ,比较a与b 分析b均为正数,>1,m比校两个正数的大小比空的的大小 数函数的图象规律,还要掌握底的变化对图象形状的影响.这主要有两方面:其一是对x>0,ax>b2台以含 对不b分a1,故a ,此时函数 为减函数.由b>C,故 2)由2(b/,a>b>0 b c>0 b 从而>b° >1 >a-b 因a>b>0,故b 又C<0
3 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数 9 3 5 x y = + 的图象，可以把函数 3 x y = 的图象（ ）． A．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注意先将函数 9 3 5 x y = + 转化为 2 3 5 x t + = + ，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵ 2 9 3 5 3 5 x x y + = + = + ，∴把函数 3 x y = 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可 得到函数 9 3 5 x y = + 的图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象， 并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题 1、比较下列各组数的大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ； （4）若 ，且 ，比较 a 与 b； （5）若 ，且 ，比较 a 与 b． 分析：设 均为正数，则 ，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与 1 的大小．掌握指 数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对 ； 对 ．用语言叙述即在 y 轴右侧，底越大其图象越远离 x 轴；在 y 轴左侧，底越大，其图 象越接近 x 轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于 1 时，底越大，其图象越接近 y 轴；当 底均小于 1 时，底越小，其图象越接近 y 轴．一个便于记忆的方法是：若以离 1 远者为底，则其图象接近 y 轴．当然这 是指底数均大于 1 或均小于 1．这部分内容即本题（4）与（5）． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． （3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
≥1 (4)应有a0 b ,这样 xa2≥b2.又因x>y,b>1,故b32>b.从而a2>b),这与已知a2=b矛盾 (5)应有a>b,因若a≤b,则b ,这样有 2≥b2.又因xb3.从而a2>b,这与已知a2=b矛盾 小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解, (0.1) 2、()指数函数①f(x)=m②g(x)=”满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是() (A) (B) (C) (D) 析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线 解:由0<m<<1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 进而再判断①②与和的 对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,①对应的函数值分别为m和,由明<n可知应选 的大,(2线C1,C2,C3C4分别是指数函数y=ay=b2,y=c2和y=d2 图象 b.c.d 小关系是() (4)a<b<1<c<d
4 （4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 2、(1)指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 解:由 可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 或 ,进而再判断①②与 和 的 对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 ,①②对应的函数值分别为 和 ,由 可知应选 . (2)曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与 1 的大小关系是 ( )
(B)a1,d>1,00且y≠1 (2)y=4+2+1的定义域为R∵2>0,∴y=4+2+1=(2)2+2·2+1=(2+1)21 ∴y=4+2+1的值域为{yly>1 4已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3-9的最大值和最小值 解:设t=3,因为-1≤x≤2,所以≤≤9,且f(x)=g(t)=(t-3)2+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9 即x=2时f(x)取最小值-24 5、设0≤x≤2,求函数=4 3.2x+5 的最大值和最小值 分析:注意4=(2=2x=(2)2,设2=2,则原来的函数成为 利用闭区间 上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值 2x=,由0≤x≤2知,1≤M≤4 (2)2 n2-3t=5 函数成为 t∈ 对称轴 =3∈[14 故函 32-3.3+5 数最小值为2 2,因端点=1较=4距对称轴4=3远,故函数的最大值为 +5 6(9分)已知函数y=a2+2a2-1(a>1)在区间[-1,1上的最大值是14,求a的值
5 ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函 数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的 主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值 3 求下列函数的定义域与值域. (1)y＝2 3 1 x− ; (2)y＝4 x +2x+1+1. 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2 3 1 x− 的定义域为｛x｜x∈R 且 x≠3｝.又∵ 3 1 x − ≠0，∴2 3 1 x− ≠1， ∴y＝2 3 1 x− 的值域为｛y｜y>0 且 y≠1｝. (2)y＝4 x +2x+1+1 的定义域为 R.∵2 x >0,∴y＝4 x +2x+1+1＝(2x ) 2 +2·2 x +1＝(2x +1)2 >1. ∴y＝4 x +2x+1+1 的值域为｛y｜y>1｝. 4 已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 x+1 -9 x的最大值和最小值 解：设 t=3x ,因为-1≤x≤2，所以 9 3 1 t ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2 +12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。 5、设 ，求函数 的最大值和最小值． 分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间 上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函 数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 ． 6（9 分）已知函数 2 1( 1) 2 y = a + a − a x x 在区间[－1,1]上的最大值是 14，求 a 的值
解:y=a2x+2a2-1(a>1),换元为y=12+21-1(-1,t=a,即x1时取最大值,略 解得a3(-5舍去) 7.已知函数f(x)=a2-3a2+2(a>0且a≠1 (1)求 f(x) 的最小值 (2)若(x)<0 取值范 f(x)=a2x-3x2+2=(3、21 3 解:(1) x=8a2时,有最小值为4 (2):/(x)=a2-3x2+2=(a2-1)a2-2)<0,解得1<a<2 0<a<1 lo 时 g a2<x<0 8(10)(1)已知∫(3)3~)+m是奇函数,求常数的值 2)画出函数y=3x-1|的图象,并利用图象回答:为何值时,方程3×-11=玩 解?有一解?有两解? 解:(1)常数m=1 (2)当k0时,直线=k与函数y=32-1的图象无交点即方程无解 当0或k≥1时,直线严k与函数y=32-1的图象有唯一的交点,所以方程有一解 当0<k1时,直线y=k与函数y=3-1的图象有两个不同交点,所以方程有两解 f(x= a 解;∵Jf(x)为奇函数,(-x)=-f(x), 即 10.已知9-10.3+9≤0,求函数y=()“-4·(-)+2的最大值和最小值
6 ．解： 2 1( 1) 2 y = a + a − a x x ， 换元为 ) 1 2 1( 2 t a a y = t + t − ，对称轴为 t = −1. 当 a 1， t = a ，即 x=1 时取最大值，略 解得 a=3 (a= －5舍去) 7．已知函数 （ 且 ） （1）求 的最小值； （2）若 ，求 的 取值范 围． ．解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为 （2） ，解得 当 时， ； 当 时， ． 8（10分）（1）已知 f x x + m − = 3 1 2 ( ) 是奇函数，求常数m的值； （2）画出函数 =| 3 −1| x y 的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无 解？有一解？有两解？ 解： （1）常数m=1 （2）当k<0时，直线y=k与函数 =| 3 −1| x y 的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k 1时, 直线y=k与函数 =| 3 −1| x y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 =| 3 −1| x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。 9．若函数 是奇函数，求 的值． ．解： 为奇函数， ， 即 ， 则 ， 10. 已知 9 x -10.3 x +9≤0，求函数 y=（ 4 1 ）x-1 -4·（ 2 1 ）x +2 的最大值和最小值
解:由己知得(33)2-10·32+9≤0得(3-9)(3-1)≤0 1≤3≤9故0≤x≤2 而y=(-) )2+2=4·(-)2-4·(-)2+2 令t=(-)‘(-≤t≤1) 则y=f(t)=4t2-4t+2=4(t--)2+1 当t=一即x=1时,y2=1 当t=1即x=0时,y-=2 11.已知 求函数 2的值域 解由”)2*s2,m2+x≤4-2x,解24≤x51,是 ()+≥()32()2 <1<16 故所求函数的值为(26/ 12.(分)求函数y=2+2x+2 的定义域,值域和单调区间 定义域为R值域(0,8)。(3)在(-∞,1)上是增函数 在(1,+∞)上是减函数 3求函数y=/1)…x+2 的单调区间 分析这是复合函数求单调区间的问题 可设y= u=x2-3x+2,其中y==为减函数 3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 3x+2,y关于u递减 当x∈(-∞,-)时,u为减函数, y关于x为增函数:当x∈[-,+∞)时,u为增函数,y关于x为减函数 7
7 解：由已知得（3 x） 2 -10·3 x +9≤0 得（3 x -9）（3 x -1）≤0 ∴1≤3 x≤9 故 0≤x≤2 而 y=( 4 1 ) x-1 -4·( 2 1 ) x +2= 4·（ 2 1 ）2x -4·（ 2 1 ）x +2 令 t=（ 2 1 ） x（ 1 4 1 t ） 则 y=f（t）=4t2 -4t+2=4（t- 2 1 ）2 +1 当 t= 2 1 即 x=1 时，ymin=1 当 t=1 即 x=0 时，ymax=2 11．已知 ，求函数 的值域． 解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函数的值域为 12. (9 分)求函数 2 2 2 2 − + + = x x y 的定义域，值域和单调区间 定义域为 R 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔1，+∞）上是减函数。 13 求函数 y＝ 3 2 2 3 1 − + x x 的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设 y＝ u 3 1 ,u＝x 2 -3x+2，其中 y＝ u 3 1 为减函数 ∴u＝x 2 -3x+2 的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u＝x 2 -3x+2 的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解：设 y＝ u 3 1 ,u＝x 2 -3x+2,y 关于 u 递减， 当 x∈(-∞， 2 3 )时，u 为减函数， ∴y 关于 x 为增函数；当 x∈［ 2 3 ，+∞)时，u 为增函数，y 关于 x 为减函数
14已知函数f(x)= (a>0且a≠1) (1)求f(x)的定义域和值域:(2)讨论f(x)的奇偶性:(3)讨论f(x)的单调性 解:(1)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}. 设y=口-1,解得=-y+10:0>0当且仅当y+1)0时,方程①有解解-y+10得1y ∴f(x)的值域为{y|-11时,∵a+1为增函数,且a+1>0. 为减函数,从而f(x)=1 为增函数.2°当0<a<1时,类似地可得f(x) 为减函 15、已知函数f(x)=a- (a∈R) (1)求证:对任何a∈R,f(x)为增函数 (2)若f(x)为奇函数时,求a的值 (1)证明:设x<x2 _2( (1+21+2 故对任何a∈R,f(x)为增函数 (2)∵X∈R,又f(x)为奇函数 f(0)=0得到a-1=0。即a 16、定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x∈(01)时,f(x) (1)求f(x)在[-1,1上的解析式:(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性 (3)当A为何值时,方程∫(x)=2在x∈[-1上有实数解 解(1)∵x∈R上的奇函数 f(0)=0 又∵2为最小正周期∴f(1)=f(2-1)=f(-1)=-f()=0
8 14 已知函数 f(x)＝ 1 1 + − x x a a (a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域和值域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)讨论 f(x)的单调性. 解：(1)易得 f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝. 设 y＝ 1 1 + − x x a a ,解得 a x＝- 1 1 − + y y ①∵a x >0 当且仅当- 1 1 − + y y >0 时，方程①有解.解- 1 1 − + y y >0 得-11 时，∵a x +1 为增函数，且 a x +1>0. ∴ 1 2 + x a 为减函数，从而 f(x)＝1- 1 2 + x a ＝ 1 1 + − x x a a 为增函数.2°当 0<a<1 时，类似地可得 f(x)＝ 1 1 + − x x a a 为减函 数. 15、已知函数 f（x）=a－ 2 1 2 + x （a∈R）， （1） 求证：对任何 a∈R，f（x）为增函数． （2） 若 f（x）为奇函数时，求 a 的值。 （1）证明：设 x1＜x2 f（x2）－f（x1）= (1 2 )(1 2 ) 2(2 2 ) 1 2 2 1 x x x x + + − ＞0 故对任何 a∈R，f（x）为增函数． （2） x R ，又 f（x）为奇函数 = f (0) 0 得到 a − =1 0 。即 a =1 16、定义在 R 上的奇函数 f (x) 有最小正周期为 2，且 x(0,1) 时， 4 1 2 ( ) + = x x f x （1）求 f (x) 在[－1，1]上的解析式；（2）判断 f (x) 在（0，1）上的单调性； （3）当 为何值时，方程 f (x) = 在 x[−1,1] 上有实数解. 解（1）∵x∈R 上的奇函数 ∴ f (0) = 0 又∵2 为最小正周期 ∴ f (1) = f (2−1) = f (−1) = − f (1) = 0
设x∈(-1,0),则一x∈(0,1),f(-x) f(x)= X∈(-10) 4x+1 01)的图像是( A D 分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想 解法1:(分类讨论): (x≥0) 去绝对值,可得y 又a>1,由指数函数图像易知,应选B. 解法2:因为y=a1是偶函数,又a>1,所以当x≥0时,y=a是增函数:x<0时,y=a是减函数
9 设 x∈（－1，0），则－x∈（0，1）， ( ) 4 1 2 4 1 2 f ( x) f x x x x x = − + = + − = − − ∴ 4 1 2 ( ) + = − x x f x （ 2 ） 设 01)的图像是( ) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法 1：(分类讨论)： 去绝对值，可得 y＝ ) ( 0). 1 ( ( 0), x a a x x x 又 a>1，由指数函数图像易知，应选 B. 解法 2：因为 y＝a ｜x｜是偶函数，又 a>1，所以当 x≥0 时，y＝a x 是增函数；x＜0 时，y＝a -x是减函数. + + − = x (0,1) 4 1 2 0 x {-1,0,1} x (-1,0) 4 1 2 ( ) x x x x f x
应选B. 学习指数函数定义的两个注意点 指数函数施我们学习的基本函数之一,对于指数函数的学习,概念非常重要,因此一定要弄懂指数函数的定义 指数函数的定义: 函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。 注意点1:为什么要规定a>0且a≠1呢? ①若a=0,则当x>0时,a2=0:当当X0且a≠1。在规定以后,对于任何x∈R,a3都有意义,且a3>0.因 此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞)。 注意点2:函数y=2·32是指数函数吗? 指数函数的解析式y=a中,a2的系数是1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=a2+k(a>0且a≠1,k∈Z):有些函数看起来不像指数 函数,实际上却是,如y=a(a>0且a≠1),因为它可以化为y=a)·其中>0,且-≠1 以上两点在学习中经常会碰到,希望大家在学习中能引起注意,真正理解指数函数的定义
10 ∴应选 B. 学习指数函数定义的两个注意点 指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。 指数函数的定义： 函数 y = a (a 0 a 1) x 且 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R。 注意点 1：为什么要规定 a a 0 1 且 呢？ ①若 a = 0 ，则当 x 0 时， 0 x a = ；当当 x 0 时， x a 无意义. ②若 a 0 ，则对于 x 的某些数值，可使 x a 无意义. 如 x (−2) ，这时对于 1 4 x = ， 1 2 x = ，…等等，在实数范 围内函数值不存在. ③若 a =1 ，则对于任何 x R ， 1 x a = ，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定 a a 0 1 且 。在规定以后，对于任何 x R ， x a 都有意义，且 0 x a . 因 此指数函数的定义域是 R ，值域是 (0, ) + 。 注意点 2：函数 x y = 23 是指数函数吗？ 指数函数的解析式 x y a = 中， x a 的系数是 1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 x y a k = + ( a a 0 1 且 ， k Z )；有些函数看起来不像指数 函数，实际上却是，如 x y a − = ( a a 0 1 且 )，因为它可以化为 1 x y a = ，其中 1 0 a ，且 1 1 a 。 以上两点在学习中经常会碰到，希望大家在学习中能引起注意，真正理解指数函数的定义