第九节函数模型及其应用
知识排查双基落实
小题热身 下列函数中随x的增大而增大速度最快的是() A.0-100 B. v=100ln x 100 0-x D.U=100×22 解析:只有0=1000和0=100×2是指数函数, 并且e>2,所以=1006的增大速度最快,故选A 答案:A
[小题热身] 1．下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( ) A．v＝ 1 100·ex B．v＝100ln x C．v＝x 100 D．v＝100×2 x 解析：只有 v＝ 1 100·ex和 v＝100×2 x是指数函数， 并且 e>2，所以 v＝ 1 100·ex的增大速度最快，故选 A. 答案：A
2.(2017广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量x和变 量y的几组数据,如下表: x0.50099201398 0.990010.98200 则对x,y最适合的拟合函数是() A y=2x B y=x-1 C. y=2x-2 D. y=log2 解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A; 根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据 代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D 答案:D
2．(2017·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变 量 y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x B．y＝x 2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A； 根据 x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据 代入函数 y＝log2x，可知满足题意．故选 D. 答案：D
3.(2015北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记 录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米 2015年5月1日 35000 2015年5月15日48 35600 注:“累计里程”指汽车从岀厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为() A.6升B.8升C.10升D.12升 解析:因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明 这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35600-35000 600(升米),故每100千米平均耗油量为48-÷6=8(升) 答案:B
3．(2015·北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记 录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2015 年 5 月 1 日 12 35 000 2015 年 5 月 15 日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( ) A．6 升 B．8 升 C．10 升 D．12 升 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明 这段时间总耗油量为 48 升，而行驶的路程为 35 600－35 000＝ 600(升米)，故每 100 千米平均耗油量为 48÷6＝8(升)． 答案：B
4.如图是张大爷晨练时所走的离家距离0)与行走时间x)之 间函数关系的图象,若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散 步行走的路线可能是() 解析:由图可知,张大爷开始匀速离家直线行走,中间一段 离家距离不变,说明在以家为圆心的圆周上运动,最后匀速回 家.故选D 答案:D
4．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之 间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散 步行走的路线可能是( ) 解析：由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段 离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回 家．故选 D. 答案：D
5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业 个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=2x2+2x+ 20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业 个月应生产该商品数量为 万件 解析:利润L(x)=20x-C(x)=-2(x-18)+142,当x=18 时,L(x)有最大值 答案:18
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业 一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝ 1 2 x 2＋2x＋ 20(万元)．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一 个月应生产该商品数量为________万件． 解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－ 1 2 (x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m) 40m 40 0 解析:设矩形花园的宽为ym,则 4040 即y=40-x, 矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当 x=20m时,面积最大 答案:20
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为______(m)． 解析：设矩形花园的宽为 y m，则 x 40＝ 40－y 40 ，即 y＝40－x， 矩形花园的面积 S＝x(40－x)＝－x 2＋40x＝－(x－20)2＋400，当 x＝20 m 时，面积最大． 答案：20
「知识重温] 、必记2●个知识点 1.三种函数模型的性质 函数 性质 y=a(a>1) y=logar(a>1)I y=x(n>0) 在(0,+∞)上的 增减性 ①增函数②增函数③增函数 增长速度④越来越快⑤越来越慢「相对平稳 随x增大逐渐|随x增大逐渐表 图象的变化 表现为与⑥现为与⑦x轴随n值变化而 y轴平行 平行 不同
[知识重温] 一、必记 2●个知识点 1．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝a x (a＞1) y＝logax(a＞1) y＝x n (n＞0) 在(0，＋∞)上的 增减性 ①______ ②______ ③______ 增长速度 ④________ ⑤________ 相对平稳 图象的变化 随 x 增大逐渐 表现为与⑥ ______平行 随 x 增大逐渐表 现为与⑦______ 平行 随 n 值变化而 不同 增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y 轴 x 轴
2函数y=a(a>1),y=logx(a>1)和y=x《n>0)的增长速 度比较 (1)指数函数y=d和幂函数y=x(n>0)在区间(0,+∞)上 无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内a会小于x,但由 于y=d的增长速度⑧快于y=x的增长速度,因此总存在一个 x0,当x>x0时有⑨a>x
2.函数 y＝a x (a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝x n (n＞0)的增长速 度比较 (1)指数函数 y＝a x和幂函数 y＝x n (n＞0)在区间(0，＋∞)上， 无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 a x会小于 x n，但由 于 y＝a x的增长速度⑧______y＝x n的增长速度，因此总存在一个 x0，当 x＞x0时有⑨______. 快于 a x＞x n