高中数学:函数模型及其应用 三种函数模型的性质的比较 函数 y=a(a>1) y=logar(a>l) 性质 =x(n>0) 在区间(0,+∞) 上的增减性 单调 单调 单调 增长速度越来越快越来越慢 相对平稳 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 次函数模型 fx)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 fx)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 反比例函数模型 fx)=+b(k,b为常数且k≠0) 指数函数模型 fx)=ba+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 fx)= blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 匚幂函数模型 fx)=ax2+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0) 题组一常识题 1.[教材改编]函数模型:①y=1.002X,②y=0.25x,③y=logx+1随着x的增大,增 长速度的大小关系是 2.[教材改编]某公司市场营销人员的个人月收入与其每月 的销售量的关系满足一次函数,已知销售量为1000件时,收入为3000元,销售量为 2000件时,收入为5000元,则营销人员没有销售量时的收入是元 3.[教材改编]某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利 10%(相对进货价),则该家具的进货价是 题组二常错题 ◆索引:实际问题中函数的定义域 4.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次,其中变速车存车费是每 辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次02元.若普通车存车量为x辆次,存车费总收入 为y元,则y关于x的函数关系式是 等腰三角形的周长为20,腰长为x,则其底边长y=x)= 题组三常考题 6.[2014·湖南卷改编]某市职工收入连续两年持续增加,第一年的增长率为a,第二年 的增长率为b,则该市这两年职工收入的年平均增长率为 7.[2015·四川卷改编]某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函 数关系y=c+(e=271828…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时 间是240小时,在22℃的保鲜时间是60小时,则该食品在11℃的保鲜时间是 时 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 高中数学：函数模型及其应用 1．三种函数模型的性质的比较 函数 性质 y＝a x (a>1) y＝logax(a>1) y＝x n (n>0) 在区间(0，＋∞) 上的增减性 单调________ 单调________ 单调________ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ k x ＋b(k，b 为常数且 k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a＞0 且 a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a＞0 且 a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0) 题组一 常识题 1．[教材改编] 函数模型：①y＝1.002x，②y＝0.25x，③y＝log2x＋1.随着 x 的增大，增 长速度的大小关系是____________． 2．[教材改编] 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月 的销售量的关系满足一次函数，已知销售量为 1000 件时，收入为 3000 元，销售量为 2000 件时，收入为 5000 元，则营销人员没有销售量时的收入是________元． 3．[教材改编] 某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元． 题组二 常错题 ◆ 索引：实际问题中函数的定义域． 4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4000 辆次，其中变速车存车费是每 辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元．若普通车存车量为 x 辆次，存车费总收入 为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是________． 5．等腰三角形的周长为 20，腰长为 x，则其底边长 y＝f(x)＝________________． 题组三 常考题 6．[2014·湖南卷改编] 某市职工收入连续两年持续增加，第一年的增长率为 a，第二年 的增长率为 b，则该市这两年职工收入的年平均增长率为______________． 7．[2015·四川卷改编] 某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x (单位：℃)满足函 数关系 y＝e kx＋b (e＝2.718 28…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时 间是 240 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 60 小时，则该食品在 11℃的保鲜时间是________小 时．
8.[2014福建卷改编]要制作一个容积为16m,高为1m的无盖长方体容器,已知该 容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ◎探究点一一次、二次函数模型 1某厂有容量300吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已 知该厂生活用水每小时10吨,工业生产用水总量W(吨)与时间(单位:小时,规定早晨六 点时t=0)的函数关系为W=100,水塔的进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后 每提高一级,进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在供应同时打开进水管.问该 天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出 总结反思](1)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法 (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等,应 构建二次函数模型,利用二次函数的图像与单调性求解 (3)在解决二次函数的应用问题时,一定要注意其定义域 变式题设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x100)人去进行新开发的产品B的生产,分流 后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%若要 保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是() A.15B.16C.17 18 ◎探究点二指数函数、对数函数模型 例2(2016襄阳三校联考某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投 资收益的范围是[10,100(单位:万元,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单 位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过5万元,同时奖金不超过 投资收益的20% (1)若建立函数模型y=fx)制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励函数模型应满足的 条件 (2)现有两个奖励函数模型:①y=20x+1:②y=logx-2试分析这两个函数模型是否符 合公司要求 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 8．[2014·福建卷改编] 要制作一个容积为 16 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知该 容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 ________． 探究点一 一次、二次函数模型 1 某厂有容量 300 吨的水塔一个，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已 知该厂生活用水每小时 10 吨，工业生产用水总量 W(吨)与时间 t(单位：小时，规定早晨六 点时 t＝0)的函数关系为 W＝100 t，水塔的进水量有 10 级，第一级每小时进水 10 吨，以后 每提高一级， 进水量增加 10 吨．若某天水塔原有水 100 吨，在供应同时打开进水管．问该 天进水量应选择几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等，应 构建二次函数模型，利用二次函数的图像与单调性求解． (3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意其定义域． 式题 设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流 x(0<x<100)人去进行新开发的产品 B 的生产．分流 后，继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若要 保证产品 A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A．15 B．16 C．17 D．18 探究点二 指数函数、对数函数模型 2 [2016·襄阳三校联考] 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投 资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y(单 位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过 5 万元，同时奖金不超过 投资收益的 20%. (1)若建立函数模型 y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的 条件． (2)现有两个奖励函数模型：①y＝ 1 20x＋1；②y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符 合公司要求． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
总结反思](1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用 指数函数模型表示,通常可以表示为y=a(1+p)(其中a为基础数,p为增长率,x为时间) 的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系 (2)已知对数函数模型解题是常见題型,准确进行对数运算及指数与对数的互化即可 变式题2016四川卷]某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%, 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是() (参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.1,lg2≈0.30) A.2018年B.2019年 C.2020年D.2021年 探究点三分段函数模型 例 3[2016银川一中月考]某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件 需另投入成本为Cx),当年产量不足80千件时,Cx)=22+10x(万元),当年产量不小于80 千件时,Cx)=51x+x-140万元).每件商品售价为005万元,通过市场分析,该厂 生产的商品能全部售完 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式 (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? [总结反思](1)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个 问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特 别是端点值 (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏. 变式题[2016北京东城区二模一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优 惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优 惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10% 优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元 优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18% 若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免得都多,则他购买的商 品的标价可能为() A.179元B.199元 C.219元D.239元
第 3 页 共 4 页 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1) 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用 指数函数模型表示，通常可以表示为 y＝a(1＋p) x (其中 a 为基础数，p 为增长率，x 为时间) 的形式. 求解时可利用指数运算与对数运算的关系. (2)已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可． 式题 [2016·四川卷] 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%， 则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 探究点三 分段函数模型 3 [2016·银川一中月考] 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件， 需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)＝ 1 3 x 2＋10x(万元)，当年产量不小于 80 千件时，C(x)＝51x＋ 10 000 x －1450(万元)．每件商品售价为 0.05 万元．通过市场分析，该厂 生产的商品能全部售完． (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个 问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特 别是端点值． (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． 式题 [2016·北京东城区二模] 一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优 惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优 惠券 1：若标价超过 50 元，则付款时减免标价的 10%； 优惠券 2：若标价超过 100 元，则付款时减免 20 元； 优惠券 3：若标价超过 100 元，则超过 100 元的部分减免 18%. 若顾客购买某商品后，使用优惠券 1 比优惠券 2、优惠券 3 减免得都多，则他购买的商 品的标价可能为( ) A．179 元 B．199 元 C．219 元 D．239 元
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