专题11函数与方程 考情解读 1.考查函数零点的个数和取值范围 2.利用函数零点求解参数的取值范围: 驾除蘧葙联系查数学应用能力 重点知识梳理 1.函数的零点 (1)定义:如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=0,则a叫做这个函数的零 点 (2)变号零点:如果函数图象经过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点 (3)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根台→函数y=f(x)的图象与x轴有交点台函数y=f(x)有零点 2.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即 f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x∈(a,b),使f(x) 3.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0; 第二步,求区间(a,b)的中点a; 第三步,计算f(c) (1)若f(c)=0,则a就是函数的零点 (2)若f(a)f(c)<0,则令b=c(此时零点x∈(a,a); (3)若f(bf(a)<0,则令a=a(此时零点x∈(,b); 第四步,判断x是否满足给定的精确度;否则重复第二、三、四步 高频考点突破
- 1 - 专题 11 函数与方程 1.考查函数零点的个数和取值范围； 2.利用函数零点求解参数的取值范围； 3.利用二分法求方程近似解； 4.与实际问题相联系，考查数学应用能力．拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 1．函数的零点 (1)定义：如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值等于零，即 f(α)＝0，则 α 叫做这个函数的零 点． (2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过 x 轴，则称这样的零点为变号零点． (3)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． 2．零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 x0∈(a，b)，使 f(x0) ＝0. 3．用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)f(b)<0； 第二步，求区间(a，b)的中点 c1； 第三步，计算 f(c1)： (1)若 f(c1)＝0，则 c1 就是函数的零点； (2)若 f(a)f(c1)<0，则令 b＝c1(此时零点 x0∈(a，c1))； (3)若 f(b)f(c1)<0，则令 a＝c1(此时零点 x0∈(c1，b))； 第四步，判断 x0 是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．
高频考点一函数零点个数的判断 x2-2,x≤0 例1、(1)函数f(x) 的零点个数是 2x-6+1nx,x>0 (2)函数f(x)=21|1l0g0.x-1的零点个数为() 【解析】(1)当x0时,令x-2=0,解得x=-√2(正根舍).所以在(-∞,上有一个零点 当x0时,f(x)=2+5>0恒成立,所以x)在(0,+∞)是增函数 又因为(2)=-2+lm20,所以∫x)在(0,+a)上有一个零点,综上,函数fx)的零点个数为 C令=2x-1=0,得x= 设0)=x,Mx)=),在同一坐标系下分别画出函数欧(,如的图象C如图),由图象知,两函数的 图象有两个交点,因此函数f(x)有2个零点 【答案】(1)2(2)B 【方法规律】函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合 函数的图象与性质确定函数零点个数 (3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数 【变式探究】f(x)=2 sin sinx+-x2的零点个数为 【解析】f(x)=2 SIn XCOS X-x2=sin2x-x2,则函数的零点即为函数y=sin2x与函数y =x图象的交点,如图所示,两图象有2个交点,则函数有2个零点. 【答案】2 高频考点二、函数零点所在区间的判断
- 2 - 高频考点一 函数零点个数的判断 例 1、(1)函数 f(x)＝ x 2－2，x≤0， 2x－6＋ln x，x>0 的零点个数是________． (2)函数 f(x)＝2 x |log0.5x|－1 的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 图象有两个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点． 【答案】 (1)2 (2)B 【方法规律】函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，再结合 函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 【变式探究】f(x)＝2sin xsin x＋ π 2 －x 2 的零点个数为________． 【解析】 f(x)＝2sin xcos x－x 2＝sin 2x－x 2，则函数的零点即为函数 y＝sin 2x 与函数 y ＝x 2 图象的交点，如图所示，两图象有 2 个交点，则函数有 2 个零点． 【答案】 2 高频考点二、函数零点所在区间的判断
例2、(1)若∝c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点 分别位于区间() A.(a,b)和(b,c内B.(一∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内 2)设f(x)=1nx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为() A.(0,1)B.(1,2)C D.(3,4) 【解析】(1)∵a0, 由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),仂b,c)内分别存在零点,又函数fx是二次函数,最多有两个零 点;因此函数几x)的两个零点分别位于区间,b),(b,c内,故选A (2法一函数孔x)的零点所在的区间可转化为函数gx)=lx,加x)=-x+2图象交点的横坐标所在的取值 范围.作图如下: g()sIn x h(x)=- 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2) 法二易知f(x)=1nx+x-2在(0 )上为增函数 且f(1)=1-2=-10 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点 【答案】(1)A(2)B 【方法规律】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b上的图象是否连续,再看 是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点 2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 【变式探究】已知函数f(x)=1nx 的零点为斯,则x所在的区间是( A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) x-2 【解析】∵f(x)=1nx 在(0,+∞)上是增函数
- 3 - 例 2、(1)若 a0. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点． 【答案】 (1)A (2)B 【方法规律】确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看 是否有 f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 【变式探究】 已知函数 f(x)＝ln x－ 1 2 x－2 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【解析】 ∵f(x)＝ln x－ 1 2 x－2 在(0，＋∞)上是增函数
又f(1)=1n1 ln1-20 故f(x)的零点x∈(2,3) 【答案】C 高频考点三、函数零点的应用 例3、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关 于x的方程f(x)=1ognx有三个不同的实根,求a的取值范围 解由x-4)=x)知,函数的周期T=4 又x)为偶函数, ∴(x)=-x)=4-x), 因此函数y=x)的图象关于x=2对称 4看BLn 又只2)=6)=10)=2 要使方程∫x)= logar有三个不同的实根 ∫f(6)<2,「log62, 由函数的图条C如图),必须有(10)2,用19102,解之得Gax√0 c1. 故a的取值范围是(√V6,√10 【方法规律】已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法: (1)直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围: (2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决 (3)数形结合,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解 【变式探究】(1)(已知函数f(x)= 3x-1,No(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点
- 4 - 又 f(1)＝ln 1－ 1 2 －1 ＝ln 1－20. 故 f(x)的零点 x0∈(2，3)． 【答案】 C 高频考点三、 函数零点的应用 例 3、已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上 f(x)＝x，若关 于 x 的方程 f(x)＝logax 有三个不同的实根，求 a 的取值范围． 故 a 的取值范围是( 6， 10)． 【方法规律】已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法： (1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 【变式探究】(1)(已知函数 f(x)＝ e x ＋a，x≤0， 3x－1，x>0 (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点
则a的取值范围是() 2)(2016·山东卷)已知函数f(x) Ix-2mx+4m, x>m 其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 【解析】()当x0时,风x)=3x-1有一个零点x=3 因此当x0时,几x)=e+a=0只有一个实根, ∴a=-e(xO),则-1sa0又m0,解得m3. 【答案】(1)D(2)(3,+∞) 高频考点四、二次函数的零点问题 例4、已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的 取值范围. 解方法一设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),则(x1-1)(x2 1)<0 x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系,得(a-2)+(a2-1)+1<0, 即a2+a-2<0,∴-2<a<1 方法二函数图象大致如图,则有f(1)<0, 即1+(a2-1)+a-2<0,∴-2<a1
- 5 - 则 a 的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1，0) D．[－1，0) (2)(2016·山东卷)已知函数 f(x)＝ |x|，x≤m， x 2－2mx＋4m，x>m， 其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 ________． 【答案】 (1)D (2)(3，＋∞) 高频考点四、 二次函数的零点问题 例 4、已知 f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的 取值范围． 解 方法一 设方程 x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0 的两根分别为 x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2 －1)<0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0， 由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0， 即 a2＋a－2<0，∴－2<a<1. 方法二 函数图象大致如图，则有 f(1)<0， 即 1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1
故实数a的取值范围是(-2,1) 【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式:(2)可 用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组 【变式探究】若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间 (1,2)内,则m的取值范围是 B. 【答案】C m2, 【解析】依题意,结合函数fx)的图象分析可知m需满足f-1f0<0, f 1 .f 2 郎[m-2-m+2m+1]2m+1<0, m-2+m+2m+1i阵m-2+2m+m+1]-0, 解得<m 真题感悟 1.【2016高考新课标1卷】函数y=2x2-叫在[-2,2]的图像大致为 (A) (B)
- 6 - 故实数 a 的取值范围是(－2,1)． 【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可 用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 【变式探究】若函数 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间 (1,2)内，则 m 的取值范围是( ) A. － 1 2 ， 1 4 B. － 1 4 ， 1 2 C. 1 4 ， 1 2 D. － 1 4 ， 1 2 【答案】 C 1.【2016 高考新课标 1 卷】函数 2 2 x y x e = − 在 −2, 2 的图像大致为 （A） （B） （C） （D）
【答案】D 【解析】函漖数敢x)-2x2-在22上是偶函数,其图像关于y轴对称,因为f(2)=8-e2,0f(-√2),则a的取值范围是 【答案】( 【解析】由题意f(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2)>f(-√2) 可化为f(2)>f(√2),则21a ①若a=0,则∫(x)的最大值为 ②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 【答案】2,(-∞,-1) 【解析】如图,作出函数g(x)=x3-3x与直线y=-2x的图象,它们的交点是
- 7 - 【答案】D 2.【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递增. 若实数 a 满足 1 (2 ) ( 2) a f f − − ，则 a 的取值范围是______. 【答案】 1 3 ( , ) 2 2 【解析】由题意 f x( ) 在 (0, ) + 上单调递减，又 f x( ) 是偶函数，则不等式 1 (2 ) ( 2) a f f − − 可化为 1 (2 ) ( 2) a f f − ，则 1 2 2 a− ， 1 1 2 a − ，解得 1 3 2 2 a ． 3.【2016 高考天津理数】已知函数 f（x）= 2 (4 , 0, log ( 1) 1 3 , 0 3) a x a x a x x + x + + − + （a>0,且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 | ( ) | 2 f x x = − 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 （ ） （A）（0， 2 3 ] （B）[ 2 3 ， 3 4 ] （C）[ 1 3 ， 2 3 ] { 3 4 }（D）[ 1 3 ， 2 3 ） { 3 4 } 【答案】C y x = −2 相切，也符合题意，∴实数的去范围是 1 2 3 [ , ] { } 3 3 4 ，故选 C. 4.【2016 年高考北京理数】设函数 3 3 , ( ) 2 , x x x a f x x x a − = − . ①若 a = 0 ，则 f x( ) 的最大值为______________； ②若 f x( ) 无最大值，则实数 a 的取值范围是________. 【答案】 2 ， ( , 1) − − . 【解析】如图，作出函数 3 g x x x ( ) 3 = − 与直线 y x = −2 的图象，它们的交点是
A(-1,2),O(0,0),B(1-2),由g(x)=3x2-3,知x=1是函数g(x)的极小值点, -3x,x≤0 ①当a=0时,f(x)= 2x.x>0 由图象可知∫(x)的最大值是f(-1)=2 ②由图象知当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2:只有当aa 两个零点,则a的取值范围是 【答案】(-∞0)U(.+∞) 【解析】分析题意可知,问题等价于方程x2=b(x≤a)与方程x2=b(x>a)的根的个数和为2, ba有解,∴a21; 若方程x=x≤0)无解,方程2=b(x>a有2个根:则可知关于b的不等式组{b>a有解,从而 a<0,综上,实数a的取值范围是(-∞,O)U(,+∞)
- 8 - A O B ( 1, 2), (0, 0), (1, 2) − − ，由 2 g x x '( ) 3 3 = − ，知 x =1 是函数 g x( ) 的极小值点， ①当 a = 0 时， 3 3 , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x x − = − ，由图象可知 f x( ) 的最大值是 f ( 1) 2 − = ； ②由图象知当 a −1 时， f x( ) 有最大值 f ( 1) 2 − = ；只有当 a −1 时， 3 a a a − − 3 2 ，f x( ) 无最大值，所以所求的取值范围是 ( , 1) − − ． 【2015 高考湖南，理 15】已知 3 2 , ( ) , x x a f x x x a = ，若存在实数 b ，使函数 g x f x b ( ) ( ) = − 有 两个零点，则 a 的取值范围是 . 【答案】 (−,0)(1,+) . a 0 ，综上，实数 a 的取值范围是 (−,0)(1,+)
0.00,可得a∈(,、 (2014·天津卷)已知函数f(x)=|x2+3x,x∈R.若方程f(x)-ax-11=0恰有4个互异 的实数根,则实数a的取值范围为 【答案】(0,1)U(9,+∞) 【解析】在同一坐标系内分别作出y=f(x)与严=ax-1的图像如图所示,当y=ax-1与 y=f(x)的图像相切时, 整理得x+(3-a)x+a=0,则4=(3-a)2 4a=a-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当=ax-1|与y=f(x)的图像有四个交点时, 09
- 9 - 【2015 高考江苏，13】已知函数 f (x) =| ln x |， − − = | 4 | 2, 1 0,0 1 ( ) 2 x x x g x ，则方程 | f (x) + g(x)|=1 实根的个数为 【答案】4 【解析】由题意得：求函数 y f x = ( ) 与 y g x = −1 ( ) 交点个数以及函数 y f x = ( ) 与 y g x = − −1 ( ) 交点个数之和，因为 2 2 1, 0 1 1 ( ) 7 , 2 1,1 2 x y g x x x x x = − = − − ，所以函数 y f x = ( ) 与 y g x = −1 ( ) 有两个交 点，又 2 2 1, 0 1 1 ( ) 5 , 2 3,1 2 x y g x x x x x − = − − = − − ，所以函数 y f x = ( ) 与 y g x = − −1 ( ) 有两个交点，因此共 有 4 个交点 （2014·湖南卷）已知函数 f(x)＝x 2＋e x － 1 2 (x0， 整理得 x 2＋(3－a)x＋a＝0，则 Δ＝(3－a) 2 －4a＝a 2－10a＋9＝0，解得 a＝1 或 a＝9.故当 y＝a|x－1|与 y＝f(x)的图像有四个交点时， 09
(2014·浙江卷)已知函数f(x)=x2+ax2+bx+c,且09 【答案】C 【解析】由f(-1)=f(-2)=(-3)得 1+a-b+c=-8+4a-2b+c -8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c 7+3a-b=0 则f(x)=x2+6x2+11x+c,而00 范围是() [-2,1]D.[-2,0] 【答案】D 【解析】方法一:若x0,((x)=lm(x+1)=lnQ+1),由1n(+1)ax,可得 In(x+1) 成立, In(x+1) In(x+1) 令h(x) 则h(x)x+1 用令x)=x+1-1mg+1), g(x)=(x+1)=0,故g()在(O,+∞)上单调递减,所以g()<g(0)=0,可得h(x)=
- 10 - （2014·浙江卷）已知函数 f(x)＝x 3＋ax 2＋bx＋c，且 09 【答案】C 【解析】由 f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得 －1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c， －8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c ⇒ －7＋3a－b＝0， 19－5a＋b＝0 ⇒ a＝6， b＝11， 则 f(x)＝x 3＋6x 2＋11x＋c，而 0<f(－1)≤3，故 0<－6＋c≤3， ∴6<c≤9，故选 C. （2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)＝ －x 2＋2x，x≤0， ln（x＋1），x＞0. 若|f(x)|≥ax，则 a 的取值 范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 【答案】D g′(x)＝ －x （x＋1）2<0，故 g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以 g(x)<g(0)＝0，可得 h′(x)＝