3.2函数模型及其应用 3.2.1几类不同增长的函数模型 、点击考点 1.数学模型为一次函数的问题 次函数也是最常见的一种函数模型,在初中就已经接触过。 例]某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地,在B地停留1h后,再以 50km/h的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始) 的函数,并画出函数的图象:再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数,并画出函数的图象 [解]汽车离开A地的距离xkm与时间th之间的关系是: t∈[025] r(km) 150 t∈(2.53.5 u50-50(-35)t∈(3.565] 它的图象右如图所示. 2.53.56.5th) 速度vkm/h与时间th的函数关系是: t u(km/h) t∈[02.5 t∈[253.5 50,B3.565) -40 它的图象如右图所示 -60}-50 2.数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故常 常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。 [例]渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到 最大养殖量,必须留下适当的空闲量,已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率 的乘积成正党组织,比例系数为k(k>0 (1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域 (2)求鱼群年增长量的最大值 (3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围 [例](1)y=kx1--)0<x<m) k k (2) -(x2-mx)= 今(x-m ∴当x="时,y取得最大值 (3)依题意,为保证鱼群留有一定的生长空间,则有实际养殖量与年增长量的和小于最 大养殖量,即0<x+y<m 因为当x=m时,y大=6团,所以联想到“八(xy)(xy)<a”这一等价转化 命题,则有
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 一、点击考点 1．数学模型为一次函数的问题 一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。 ［例］某人开汽车以 60km/h 的速度从 A 地到 150km 远的 B 地，在 B 地停留 1h 后，再以 50km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x (km)表示为时间 t (h)（从 A 地出发时开始） 的函数，并画出函数的图象；再把车速 v (km/h)表示为时间 t (h)的函数，并画出函数的图象. ［解］汽车离开 A 地的距离 x km 与时间 t h 之间的关系是： − − = 150 50( 3.5), 150, 60 , t t x (3.5,6.5]. (2.5,3.5], [0,2.5], t t t 它的图象右如图所示. 速度 v km/h 与时间 t h 的函数关系是： − 50, 0, 60, x [3.5,6.5). [2.5,3.5), [0,2.5), t t 它的图象如右图所示 2．数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常 常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。 ［例］渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到 最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率 的乘积成正党组织，比例系数为 k(k 0). （1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值； （3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求 k 的取值范围. ［例］（1） (1 )(0 x m) m x y = kx − ； （2）∵ . 4 ) 2 ( ) ( 2 2 m k m x m k x mx m k y = − − = − − + ∴当 2 m x = 时， y 取得最大值 . 4 km （3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最 大养殖量，即 0 x + y m. 因为当 2 m x = 时， 4 km y最大 = ，所以联想到“ f (x, y) fmax (x, y) a ”这一等价转化 命题，则有
00,从而得0O且a≠1)的函数叫做指数函数,而在生产、生活实际中,以函 数y=b·a+k作为模型的应用问题很常见 [例]某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%, 每过滤一次可使杂质含量减少一,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知 l2=0.3010g3=0.4771) [分析]每次过滤杂质含量降为原来的,过滤n次后杂质含量为,·(=)y,结合按市 1003 场要求杂质含量不能超过0.1%,即可建立数学模型. [解析]依题意,得 1003)s1,即(≤则mg2-g3)≤-(1+g2),故 1+g2 3-2≈74考虑到n∈N,即至少要过滤8次才能达到市场要求 4.数学模型为对数函数的问题 形如y=lgax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数,a>1时,此函数为增函数 0<a<1时,此函数为减函数,虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多,但我们 知道,对数运算实际是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算 [例]在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度vm/s和燃料的质量M(kg)、火箭 (除燃料外)的质量m(kg)的关系ν=2000n(1+-)当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火 箭的最大速度可达12km/s? [解]由12000=2000(1+-),即6=h(1+-)1+=e°,利用计算器算得 ≈402 例]某城市现有人口100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,年自然增长 率应控制在多少以内? [解]设年自然增长率为x,依题意有: 100×(1+x)20≤120 (1+x)20≤1.2 20g(1+x)≤lg1.2, 1+x)≤g1.2
m m km + 2 4 0 ，解得 −2 k 2. 但 k 0 ，从而得 0 k 2. 思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大 养殖量的关系又是如何？ 3．数学模型为指数函数的问题 一般地，形如 y = a (a 0 a 1) x 且 的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函 数 y b a k x = • + 作为模型的应用问题很常见. ［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%， 每过滤一次可使杂质含量减少 3 1 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知： lg 2 = 0.3010,lg 3 = 0.4771 ） ［分析］每次过滤杂质含量降为原来的 3 2 ，过滤 n 次后杂质含量为 n ) 3 2 ( 100 2 • ，结合按市 场要求杂质含量不能超过 0.1%，即可建立数学模型. ［解析］依题意，得 1000 1 ) 3 2 ( 100 2 • n ，即 20 1 ) 3 2 ( n .则 n(lg 2 − lg 3) −(1+ lg 2) ，故 7.4, lg 3 lg 2 1 lg 2 − + n 考虑到 nN ，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求。 4．数学模型为对数函数的问题 形如 y x a = log （ a 0 且 a 1 ）的函数叫做对数函数， a 1 时，此函数为增函数； 0 a 1 时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们 知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。 ［例］在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v (m/s)和燃料的质量 M (kg)、火箭 （除燃料外）的质量 m (kg)的关系 2000ln(1 ). m M v = + 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火 箭的最大速度可达 12km/s？ ［解］由 12000 2000ln(1 ) m M = + ，即 6 6 ln(1 ),1 e m M m M = + + = ，利用计 算器算得 402. m M ［例］某城市现有人口 100 万，如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万，年自然增长 率应控制在多少以内？ ［解］设年自然增长率为 x ，依题意有： lg1.2. 2 1 lg(1 ) 20lg(1 ) lg1.2, (1 ) 1.2, 100 (1 ) 120, 20 20 + + + + x x x x
由计算器计算得x≤09% 答:年自然增长率应控制在09%以内 5.比较函数模型的增长趋势 比较函数模型的增长趋势一般有两条途径:(1)不等式的方法,即作差比较或解不等式 (2)结合函数的图象,数形结合的方法 例]为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所 使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元) 的关系如图所示 v(元) y(元) B(3035) 0 2040x(分)O2040x(分) (1)分别求出通话费y、y2与通话时间x之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡比较使用 [分析]由图形可知,函数关系是线性关系,因此,可以用一次函数解决实际问题 [解](1)由图象可设y=kx+29,y2=kx,把点B(3035)、C3015)分别代入所设两 函数式中得k=,k n=-x+29,y2-2 (2)令H=马2,即x+29 即x=96 当x=965时,=y2,两种卡收费一致 32-323 当xy2,即“如意卡”便宜; 当x>965时,y<y2,即“便民卡”便宜 [点评]使用哪种电话卡使用属于最优化问题,常借助于函数的图象、函数的最值去解 6、分段函数问题; [考题1]“依法纳税是每个公民应尽的义务”,国家征收个人工资、薪金所得税是分段计 算的:总收入不超过1000元的,免征个人工资、薪金所得税:超过1000元部分需征税,设 全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x,x=全月总收入-1000元,税 率见下表 级数 全月应纳税所得额x 不超过500元部分 2 超过500元至2000元部分 10%
由计算器计算得 x 0.9 %。 答：年自然增长率应控制在 0.9%以内。 5．比较函数模型的增长趋势 比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：（1）不等式的方法，即作差比较或解不等式； （2）结合函数的图象，数形结合的方法。 ［例］为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所 使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30 天）的通话时间 x (分)与通话费 y (元) 的关系如图所示. （1）分别求出通话费 1 y 、 2 y 与通话时间 x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用. ［分析］由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题. ［解］（1）由图象可设 y k x y k x 1 1 2 2 = + 29, = ，把点 B(30,35) 、C(30,15) 分别代入所设两 函数式中得 . 2 1 , 5 1 k1 = k2 = ∴ . 2 1 29, 5 1 1 2 y = x + y = x （2）令 1 2 y = y ，即 x x 2 1 29 5 1 + = ，即 . 3 2 x = 96 当 3 2 x = 96 时， 1 2 y = y ，两种卡收费一致； 当 3 2 x 96 时， 1 2 y y ，即“如意卡”便宜； 当 3 2 x 96 时， 1 2 y y ，即“便民卡”便宜. ［点评］使用哪种电话卡使用属于最优化问题，常借助于函数的图象、函数的最值去解 决. 6、分段函数问题； ［考题 1］“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计 算的：总收入不超过 1000 元的，免征个人工资、薪金所得税；超过 1000 元部分需征税，设 全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为 x, x = 全月总收入－1000 元，税 率见下表： 级数 全月应纳税所得额 x 税率 1 不超过 500 元部分 5% 2 超过 500 元至 2000 元部分 10%
超过2000元至5000元部分 超过1000元部分 (1)若应纳税额为f(x),试用分段函数表示1-3级纳税额∫(x)的计算公式 (2)某人2000年10月份工资总收入为4200元,试计算这个人10月份应纳个人所得税 多少元? [解析](1)依税率表,有 第一级:x·5% 第二级:(x-500)·10%+500·5% 第三级:(x-2000)·15%+1500·10%+500·5% 0.05X (00)时,试把该公司生产并销售这种产品 所得的年利润表示为当年产量x的函数 (2)当该公司的年产量多大时,当年所得利润最大? [解析](1)当05时,产品只能出售500件. (5x--x2)-(0.5+0.25x)(05 (2)当05时,f(x)=12-0.25x为单调减函数,∴f(x)10.75,∴f(x)=10.80,此时x=475(件), ∴当年产量为475件时,利润最大 点评]求分段函数的最值和值域时,应先分段分别求其最值和值域,再以各段的最大
3 超过 2000 元至 5000 元部分 15% … … …45% 9 超过 100000 元部分 （1）若应纳税额为 f (x) ，试用分段函数表示 1—3 级纳税额 f (x) 的计算公式. （2）某人 2000 年 10 月份工资总收入为 4200 元，试计算这个人 10 月份应纳个人所得税 多少元？ ［解析］（1）依税率表，有 第一级： x • 5%, 第二级： (x − 500) •10% + 500 •5%, 第三级： (x − 2000) •15% +1500 •10% + 500 •5%. 即 − + = − + 0.15( 2000) 175 0.1( 500) 25 0.05 ( ) x x x f x (2000 5000). (500 2000), (0 500), x x x （2）这个人 10 月份纳税所得额 x = 4200 −1000 = 3200, f (3200) = 0.15(3200 − 2000) +175 = 355. 答：这个人 10 月份应缴纳个人所得税 355 元。 ［点评］本题实际上是用表格形式给出的一个分段的一次函数，要注意这个分段函数中 x 的不同取值范围. ［考题 2］某公司生产一种产品每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品 还需要增加投资 0.25 万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，且当出售的这 种产品的数量为 t （单位：百件）时，销售所得的收入约为 2 2 1 5t − t （万元）. （1）若该公司的年产量为 x （单位：百件） (x 0) 时，试把该公司生产并销售这种产品 所得的年利润表示为当年产量 x 的函数. （2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？ ［解析］（1）当 0 x 5 时，产品全部出售，当 x 5 时，产品只能出售 500 件. ∴ − − + − − + = 5 ) (0.5 0.25 )( 5). 2 1 (5 5 ) (0.5 0.25 )(0 5), 2 1 (5 ( ) 2 2 x x x x x x f x （2）当 0 x 5 时， , 8 85.75 ) 2 9.5 ( 2 1 ( 9.5 ) 0.5 2 ( ) 2 2 − − = − − + f x = − x x x ∴当 x = 4.75 时， f (x) 有最大值 ( ) 10.80. f x max = 当 x 5 时， f (x) =12 − 0.25x 为单调减函数，∴ f (x) f (5) =10.75. 又∵ 10.80 10.75 ，∴ f (x)max =10.80 ，此时 x = 475 （件）， ∴当年产量为 475 件时，利润最大. ［点评］求分段函数的最值和值域时，应先分段分别求其最值和值域，再以各段的最大
值和最大者为函数的最大值,各段的最小值中最小者为函数的最小值:而各段的值域的并集 则是函数的值域 第三章单元知识梳理与能力整合 、考点聚焦 函数的零点与其对应方 数 程根的关系 与 程用三分法求方程的近似解 画函數的应用} 園广匹关不同增长的画数楼型 模 问 用已知函数模型解决问题 题 其 用 莫型 建立实际问题的函数模 二、基本思想总结 1.数形结合的思想 数形结合的思想是本章重要的数学思想 [例1]某公司试销一种成本单价为500元/件的新产4- 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/200 件 经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似1 看作 一次函数y=kx+b的关系(如图所示) (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式:(2)设公司获得的毛利润(毛利润 销售总价一成本总价)为S元。①试用销售单价x表示毛利润S:②试问销售单价定为多少时 该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少? [解析](1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b 中,得
值和最大者为函数的最大值，各段的最小值中最小者为函数的最小值；而各段的值域的并集 则是函数的值域。 第三章 单元知识梳理与能力整合 一、考点聚焦 二、基本思想总结 1．数形结合的思想 数形结合的思想是本章重要的数学思想。 ［例 1］某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产 品 ， 规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于 800 元/ 件 ， 经试销调查，发现销售量 y (件)与销售单价 x (元/件)可近似 看 作 一次函数 y = kx+ b 的关系（如图所示）。 （1）根据图象，求一次函数 y = kx+ b 的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润= 销售总价－成本总价）为 S 元。①试用销售单价 x 表示毛利润 S；②试问销售单价定为多少时， 该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？ ［解析］（1）由图象知，当 x = 600 时， y = 400 ；当 x = 700 时， y = 300 ，代入 y = kx+ b 中，得
400=600k+bk=-1 1300=70k+bb=100 ∴y=-x+1000500≤x≤800 (2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,代入求毛 利润的公式,得 S=xy-500y=x(-x+1000-500-x+1000) x2+1500x-500000 =-(x-750)2+62500500≤x≤800) ∴当销售单价为750元/件时,可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件 [点评]数形结合有两类题型,一类是函数关系是由图形给出的,另一类是函数关系是 种定性的变化关系,反映在图形上又是怎样的要能正确判断 2.用函数与方程的思想解题 [例1]利用计算器,求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1) [解析]设f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的草图,如图的示 因为f(2)=-10 所以在区间(23)上,方程x2-2x-1=0有一解,记为x 取2与3的平均数25 因为f(2.5)=0.25>0,所以20→x∈(23) f(2)0→x∈(22.5) f(2.25)0→x(2252.5) f(2.375)0→x∈(2.3752.5) f(2.375)0→x1∈(2.37524375) 因为2375与24375精确到01的近似值都为24,所以此方程的近似解为x≈24 利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解 [点评]利用函数图象的性质求方程的根,这是因为若f(a)·f(b)<0,且f(x)在 x∈(a,b)内单调,则必存在一个C,使∫()=0成立。 三、基本方法总结 1.方程的根与函数的零点:方程f(x)=0有实数根→函数y=f(x)的图象与x轴有交 点y=f(x)有零点 2.零点判断法 如果函数v=f(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0 那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得∫(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根。 3.用二分法求零点的近似值的步骤:
= + = + 300 700 , 400 600 , k b k b 解得 = = − 1000. 1, b k ∴ y = −x +1000(500 x 800). （2）销售总价=销售单价×销售量= xy ，成本总价=成本单价×销售量=500 y ，代入求毛 利润的公式，得 ( 750) 62500(500 800). 1500 500000 500 ( 1000) 500( 1000) 2 2 = − − + = − + − = − = − + − − + x x x x S x y y x x x ∴当销售单价为 750 元/件时，可获得最大毛利润 62500 元，此时销售量为 250 件。 ［点评］数形结合有两类题型，一类是函数关系是由图形给出的，另一类是函数关系是 一种定性的变化关系，反映在图形上又是怎样的要能正确判断。 2．用函数与方程的思想解题 ［例 1］利用计算器，求方程 2 1 0 2 x − x − = 的一个近似解（精确到 0.1）. ［解析］设 ( ) 2 1 2 f x = x − x − ，先画出函数图象的草图，如图的示. 因为 f (2) = −1 0, f (3) = 2 0, 所以在区间 (2,3) 上，方程 2 1 0 2 x − x − = 有一解，记为 . 1 x 取 2 与 3 的平均数 2.5 因为 f (2.5) = 0.25 0 ，所以 2 2.5. x1 再取 2 与 2.5 的平均数 2.25 因为 f (2.25) = −0.4375 0 ，所以 2.25 2.5. x1 如此继续下去，得 (2) 0, (3) 0 (2,3) f f x1 (2.375) 0, (4375) 0 (2.375,2.4375) (2.375) 0, (2.5) 0 (2.375,2.5) (2.25) 0, (2.5) 0 (2.25,2.5) (2) 0, (2.5) 0 (2,2.5) 1 1 1 1 f f x f f x f f x f f x 因为 2.375 与 2.4375 精确到 0.1 的近似值都为 2.4，所以此方程的近似解为 2.4. x1 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解。 ［点评］利用函数图象的性质求方程的根，这是因为若 f (a) • f (b) 0 ，且 f (x) 在 x (a,b) 内单调，则必存在一个 c ，使 f (c) = 0 成立。 三、基本方法总结 1．方程的根与函数的零点：方程 f (x) = 0 有实数根 函数 y = f (x) 的图象与 x 轴有交 点 y = f (x) 有零点. 2．零点判断法 如果函数 v = f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) • f (b) 0 ， 那么，函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是 方程 f (x) = 0 的根。 3．用二分法求零点的近似值的步骤：
第1步:确定区间[ab,验证f(a)·∫(b)<0,给定精确度E; 第2步:求区间(ab)的中点x 第3步:计算f(x) 若f(x)=0,则x就是函数的零点 (2)若f(a)·f(x)<0,则令b=x[此时零点x∈(ax)小 (3)若f(x)·f(b)<0,则令a=x[此时零点x∈(x,b) 第4步:判断是否达到精确度￡:即若|a-bkε,则得到零点近似值a(或b);否则 重复(2) 4.函数模型的应用实例 解函数应用问题,一般地可按以下四步进行。 第一步,阅读理解、认真审题。 就是读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学 实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握住新信息 在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与函数值的意义, 尝试找出问题的函数关系,审题时要抓住题目中的关键的量,要勇于尝试、探索,敢于发现 归纳,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化 第二步:引进数学符号,建立数学模型 般地设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件,运用 已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学 问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型。 第三步:利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果 第四步:再转译成具体问题作出回答 四、典型例题 1.读图识图题 这类问题是将实际问题用图象表示出来,让同学们根据题意作出符合题意的图象,能够 考查学生的读图和识图能力。 例1](1)图是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有() ①这几年人民的生活水平逐年得到提高: ②人民生活费收入增长最快的一年是1998 ③虽然2000年生活费收入增长是缓慢,但由于生活价 生活费收入指数 格指数也略有降低,因而人民的生活仍有较大改善 A.1项 B.2项 C.3项 l10 生活价格指数 [解析]本题主要考査阅读理解能力以及函数曲线变化 1998199920002001年 的观察识别能力,根据图象(如图),“生活费收入指数”减 去“生活价格指数”的差是逐年增大的,故①正确:“生活费收入指数”1998年~1999年最 “陡”,故②正确,生活价格指数下降,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故③正确
第 1 步：确定区间 [a,b] ，验证 f (a) • f (b) <0，给定精确度 ； 第 2 步：求区间 (a.,b) 的中点 1 x ； 第 3 步：计算 ( ) 1 f x ； （1）若 f(x1 ) = 0 ，则 1 x 就是函数的零点； （2）若 f(a) • f(x1 ) 0 ，则令 1 b = x [此时零点 ( , ) 0 1 x a x ]； （3）若 f(x1 ) • f(b) 0 ，则令 1 a = x [此时零点 ( , ) x0 x1 b ]. 第 4 步：判断是否达到精确度 ：即若 | a − b | ，则得到零点近似值 a （或 b ）；否则 重复（2）～（4）。 4．函数模型的应用实例 解函数应用问题，一般地可按以下四步进行。 第一步，阅读理解、认真审题。 就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学 实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。 在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义， 尝试找出问题的函数关系，审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敢于发现、 归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化。 第二步：引进数学符号，建立数学模型。 一般地设自变量为 x ，函数为 y ，并用 x 表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用 已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学 问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。 第四步：再转译成具体问题作出回答。 四、典型例题 1．读图识图题 这类问题是将实际问题用图象表示出来，让同学们根据题意作出符合题意的图象，能够 考查学生的读图和识图能力。 ［例 1］（1）图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有（ ） ①这几年人民的生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是 1998； ③虽然 2000 年生活费收入增长是缓慢，但由于生活价 格指数也略有降低，因而人民的生活仍有较大改善。 A．1 项 B．2 项 C．3 项 D．0 项 ［解析］本题主要考查阅读理解能力以及函数曲线变化 的观察识别能力，根据图象（如图），“生活费收入指数”减 去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”1998 年～1999 年最 “陡”，故②正确，生活价格指数下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故③正确， 选 C
(2)一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体温基本 正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫,下列各图能基 本上反映出亮亮这一天(0时~24时)体温的变化情况是() 体温(℃) 体温(℃ 体温(℃) 37 06121824 12182406121824O [解析]从亮亮的体温变化,可看出图象应为:早晨37℃以上 37℃(中午 下午晚上37℃以上半夜37C,故选C [点评]图形是函数的另一种表示方法,有时很难用解析式表示,因为两个变量之间的 变化只有一个定性的关系,而很难定量分析。 [例2]甲、乙两人连续6年对某农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调査,提供了两个 方面的信息如图所示。 ↑平均数 甲鱼池数 0123456 甲调查表明:每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只。 乙调查表明:甲鱼池个数由第1个30年减少到第6年10个 请你根据提供的信息说明: (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数 (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由 (3)哪一年的规模最大?说明理由。 [解析]首先根据图象可知,两种调査信息都符合一次函数,因此,可以采用待定系数 法求出函数的解析式,下面的问题就容易解决了 (1)由图可知,直线v=kx+b,经过(1,1和(6,2)可求得k=02b=0.8 ∴=0.2(x+4) 同理可得y=4(-x+一) 第2年甲鱼池的个数为26个,全县出产甲鱼的总数为 26×1.2=31.2(万只) (2)规模缩小,原因是:第一年出产甲鱼总数30万只,而第6年出产甲鱼总数为20万 (3)设第x年规模最大,即求 ·y乙=0.2(x+4)·4(-x+-)=-0.8x2+36x+272的最大值
（2）一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本 正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫，下列各图能基 本上反映出亮亮这一天（0 时～24 时）体温的变化情况是（ ）. ［解析］从亮亮的体温变化，可看出图象应为：早晨 37℃以上 37℃(中午) 晚上 37℃以上 37℃，故选 C。 ［点评］图形是函数的另一种表示方法，有时很难用解析式表示，因为两个变量之间的 变化只有一个定性的关系，而很难定量分析。 ［例 2］甲、乙两人连续 6 年对某农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个 方面的信息如图所示。 甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第 6 年 2 万只。 乙调查表明：甲鱼池个数由第 1 个 30 年减少到第 6 年 10 个. 请你根据提供的信息说明： （1）第 2 年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数； （2）到第 6 年这个县的甲鱼养殖业的规模比第 1 年是扩大了还是缩小了？说明理由； （3）哪一年的规模最大？说明理由。 ［解析］首先根据图象可知，两种调查信息都符合一次函数，因此，可以采用待定系数 法求出函数的解析式，下面的问题就容易解决了。 （1）由图可知，直线 y甲 = kx+ b ，经过(1,1)和(6,2)可求得 k = 0.2,b = 0.8. ∴ y甲 = 0.2(x + 4). 同理可得 ). 2 17 y乙 = 4(−x + 第 2 年甲鱼池的个数为 26 个，全县出产甲鱼的总数为 261.2 = 31.2 （万只）. （2）规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数 30 万只，而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万 只。 （3）设第 x 年规模最大，即求 ) 0.8 3.6 27.2 2 17 0.2( 4) 4( 2 y甲 • y乙 = x + • −x + = − x + x + 的最大值. 升 下午 降 上午 降 半夜
当x=_369 2x(=08)42 年 ·y=-0.8×4+36×2+27.2=31.2最大 即第二年规模最大,为31.2万只 点评]本题首先要读懂图,能够由图设出函数解析式,用待定系数法求出解析式,其 次,要会使用所求得的解析式解决新问题,在实际问题中,还要注意x的取值范围,如本例中 x∈N*,当x=-时,只能取x=2 2.与几何图形有关的应用问题 我们还会经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关,在求数学模型时,要注意平面几何 的有关性质的应用 [例1]设计一个水槽,其横截面为等腰梯形(如图所示),小-5---D要求 满足条件AB+BC+CD=a(常数),∠ABC=120°写出横截面积y 与腰 长x间的关系式,并求它的定义域和值域。 [解]设AB=CD=x,则BC=a-2x,作BE⊥AD于E, ∠ABC=120°,∴∠BAD=60°, 于是BE=√3 AE=-,AD=a-x故梯形面积 y=2x(a-2x+a-r=34 由实际问题的意义可知 a>0. a-x>0.→00 又y 33x2+03c=-3(x-9y+3a 时,y有最大值a2,即值域为(0, 例2]某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出 解析]当一端点在BC上,只有在B点时长方形8C扑飞“ 长方形地面建造一幢公寓,问:如何设计才能使公寓占地面 大?并求出最大面积(尺寸如图,单位:m) 的面 积最大 ∴S1= SBCDB=5600m2
当 2 4 9 2 ( 0.8) 3.6 = − x = − 年， y甲 • y乙 = −0.84 +3.62 + 27.2 = 31.2 最大. 即第二年规模最大，为 31.2 万只。 ［点评］本题首先要读懂图，能够由图设出函数解析式，用待定系数法求出解析式，其 次，要会使用所求得的解析式解决新问题，在实际问题中，还要注意 x 的取值范围，如本例中 xN* ，当 4 9 x = 时，只能取 x = 2. 2．与几何图形有关的应用问题 我们还会经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关，在求数学模型时，要注意平面几何 的有关性质的应用。 ［例 1］设计一个水槽，其横截面为等腰梯形（如图所示）， 要求 满足条件 AB+BC+CD= a （常数）， ABC =120 . 写出横截面积 y 与腰 长 x 间的关系式，并求它的定义域和值域。 ［解］设 AB =CD = x ，则 BC = a −2x ，作 BE ⊥ AD 于 E, ∵ ABC =120 ，∴ BAD = 60 , 于是 , . 2 , 2 3 AD a x x BE = x AE = = − 故梯形面积 . 2 3 4 3 4 ( 2 ) 2 3 2 1 2 y = • x a − x + a − x = − x + ax 由实际问题的意义可知： − − 2 0. . 2 0, 0 0, a x a a x x a 又 . 12 3 ) 3 ( 4 3 3 2 3 4 3 3 2 2 2 a a y = − x + ax = − x − + ∴当 3 a x = 时， y 有最大值 2 12 3 a ，即值域为 ]. 12 3 (0, 2 a ［例 2］某房地产公司要在荒地 ABCDE（如图）上划出 一块 长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面 积最 大？并求出最大面积（尺寸如图，单位：m）. ［解析］当一端点在 BC 上，只有在 B 点时长方形 BB1DC 的面 积最大， ∴ 5600 1 1 S = SBCDB = m2
当一端点在EA边上时,只有在A点时长方形AADE的面积最大, s2 6000m2 当一端点在AB边上时,设该点为M,如图构造长方形MDP,并补出长方形OCDE, 设MQ=x(0≤x≤20) ∴MP=PO-MO=80-x 又OA=20OB=30且Q4=2Q, OBOB 2x,∴B==x,∴MN=QC=OB+BC=x+70 3 OB ∴SMDP=S3=MN·MP=(70+x)·(80-x) 3.50、,18050 3 18050 比较SS,S,得S最大,此时M=3m,Ms253 故当长方形一端落在AB边上离B点 m处时,公寓占地面积最大。 已知和选择函数模型题 [例1]某地上年度电价为08元,年用量为1亿度,本年度计划将电价调至055元-075 元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-04)元成反比例,又 当x=0.65元时,y=0.8 (1)求y与x之间的函数关系式: (2)若每度电的成本价为03,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度 增加20%?[收益=用电量×(实际电价一成本价 [解析](1)∵y与x-04成反例,∴设y k (k≠ x-04 把x=0.65,y=08代入上式,得0.8 ,k=0.2 0.65-04 即y与x之间的函数关系式为y x-045x-2 (2)依题意得,得(1+ ·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%) 整理,得x2-1.1x+0.3=0.解得x=0.5x2=06 经检验x=0.5x2=0.6都是所列方程的根, 因x的取值范围是0.55-0.75之间,故x=0.5不符合题意,应舍去 所以,取x=0.6
当一端点在 EA 边上时，只有在 A 点时长方形 AA1DE 的面积最大， ∴ 6000 2 1 S = SAA DE = m2 . 当一端点在 AB 边上时，设该点为 M，如图构造长方形 MNDP ，并补出长方形 OCDE ， 设 MQ = x(0 x 20). ∴ MP = PQ − MQ = 80 − x. 又 OA = 20,OB = 30 且 , QB MQ OB OA = ∴ QB x = 3 2 ，∴ QB x 2 3 = ，∴ 70, 2 3 MN = QC = QB + BC = x + ∴ ) (80 ). 2 3 S S3 MN MP (70 x x MNDP = = • = + • − . 3 18050 ) 3 50 ( 2 3 2 = − x − + 当 3 50 x = 时， . 3 18050 S3 = 比较 1 2 3 S , S , S ，得 3 S 最大，此时 3 50 MQ = m， 3 25 13 BM = m. 故当长方形一端落在 AB 边上离 B 点 3 25 13 m 处时，公寓占地面积最大。 3、已知和选择函数模型题 ［例 1］某地上年度电价为 0.8 元，年用量为 1 亿度，本年度计划将电价调至 0.55 元—0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y (亿度)与 (x − 0.4) 元成反比例，又 当 x = 0.65 元时， y = 0.8. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若每度电的成本价为 0.3，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度 增加 20%？[收益=用电量 (实际电价－成本价)] ［解析］（1）∵ y 与 x −0.4 成反例，∴设 ( 0). 0.4 − = k x k y 把 x = 0.65, y = 0.8 代入上式，得 , 0.2. 0.65 0.4 0.8 = − = k k ∴ . 5 2 1 0.4 0.2 − = − = x x y 即 y 与 x 之间的函数关系式为 . 5 2 1 − = x y （2）依题意得，得 ) ( 0.3) 1 (0.8 0.3) (1 20%). 5 2 1 (1 • − = − + − + x x 整理，得 1.1 0.3 0 2 x − x + = . 解得 0.5, 0.6. x1 = x2 = 经检验 x1 = 0.5, x2 = 0.6 都是所列方程的根， 因 x 的取值范围是 0.55−0.75 之间，故 x = 0.5 不符合题意，应舍去. 所以，取 x = 0.6