函数与方程检测题与详解答案 1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是() 解析:选B函数y=|og1x在定义域上单调递减,y=x-,在(-1,1)上不是单调函数, -x在定义域上单调递减,均不符合要求.对于y=2-1,当x=0∈(-1,1)时,y=0 且y=2-1在R上单调递增.故选B. 2.(2018·重庆一中期中)函数f(x=e+x-3在区间(0,1)上的零点个数是() 解析:选B由题知函数f(x是增函数.根据函数的零点存在性定理及f(0)=-2,f(1) e-2>0,可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点,故选B. 3.(2018豫西南部分示范性高中联考)函数f(x=|nx-的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2) D.(3,4) 解析:选B易知f(x)=Inx-与的定义域为(0,十∞),且在定义域上单调递增. f(1)=-20, f(1)·f(2)1. 5.已知实数a>1,01,0<b<1,所以f(刈)=a十x-b在R上是单调增函数
1 函数与方程检测题与详解答案 1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A．y＝log 1 2 x B．y＝2 x －1 C．y＝x 2－ 1 2 D．y＝－x 3 解析：选 B 函数 y＝log 1 2 x 在定义域上单调递减，y＝x 2－ 1 2 在(－1,1)上不是单调函数， y＝－x 3 在定义域上单调递减，均不符合要求．对于 y＝2 x －1，当 x＝0∈(－1,1)时，y＝0 且 y＝2 x －1 在 R 上单调递增．故选 B. 2．(2018·重庆一中期中)函数 f(x)＝e x ＋x－3 在区间(0,1)上的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B 由题知函数 f(x)是增函数．根据函数的零点存在性定理及 f(0)＝－2，f(1) ＝e－2>0，可知函数 f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选 B. 3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数 f(x)＝ln x－ 2 x 2的零点所在的区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：选 B 易知 f(x)＝ln x－ 2 x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增． ∵f(1)＝－20， ∴f(1)·f(2)<0，∴根据零点存在性定理知 f(x)＝ln x－ 2 x 2的零点所在的区间为(1,2)． 4．若函数 f(x)＝ax＋1 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1) 解析：选 C 由题意知，f(－1)·f(1)＜0， 即(1－a)(1＋a)＜0，解得 a＜－1 或 a＞1. 5．已知实数 a＞1,0＜b＜1，则函数 f(x)＝a x ＋x－b 的零点所在的区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：选 B 因为 a＞1,0＜b＜1，所以 f(x)＝a x ＋x－b 在 R 上是单调增函数
所以f(-1) 1-b0 由零点存在性定理可知,f(x)在区间(-1.0)上存在零点 6.若&bc,则函数f(x=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(x-)(x-a)的两个零点 分别位于区间() A.(a,b和(b,内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(一∞,a)和(c,+∞)内 解析:选A由题意知f(a=(a-b)(a-)>0,f(b=(b-c(b-a)0,由函数零点的存在性定理可知函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c) 内 7.函数f(x)=|x-2|-1nx在定义域内的零点的个数为( 解析:选∂由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞).在同一平面 直角坐标系中作出函数y=|x-2|(x0),y=1nx(x0)的图象如图所 Eln x o才2 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2 8.(2019·郑州质量测试)已知函数f(x)= (a∈R),若函数f(x)在R 2x-a,x>0 上有两个零点,则实数a的取值范围是() C.(0,1) D.(-∞,1] 解析:选A画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x在 R上有两个零点,所以f(x)在(一∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当 ≤0时,f(x有一个零点,需0a≤1;当x0时,f(x)有一个零点,需 a0,即a>0.综上,0O 10.已知函数f(x 则f(x)的零点为 2,x≤0 解析:当x>0时,由f(x)=0,即xnx=0得lnx=0,解得x=1;当x≤0时,由
2 所以 f(－1)＝ 1 a －1－b＜0，f(0)＝1－b＞0， 由零点存在性定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点． 6．若 a0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，由函数零点的存在性定理可知函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c) 内． 7．函数 f(x)＝|x－2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 C 由题意可知 f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面 直角坐标系中作出函数 y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所 示． 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. 8．(2019·郑州质量测试)已知函数 f(x)＝ e x －a，x≤0， 2x－a，x>0 (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是( ) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1] 解析：选 A 画出函数 f(x)的大致图象如图所示．因为函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当 x≤0 时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有一个零点，需 －a0.综上，0<a≤1. 9．已知函数 f(x)＝ 2 3 x ＋1 ＋a 的零点为 1，则实数 a 的值为______． 解析：由已知得 f(1)＝0，即 2 3 1＋1 ＋a＝0，解得 a＝－ 1 2 . 答案：－1 2 10．已知函数 f(x)＝ xln x，x＞0， x 2－x－2，x≤0， 则 f(x)的零点为________． 解析：当 x＞0 时，由 f(x)＝0，即 xln x＝0 得 ln x＝0，解得 x＝1；当 x≤0 时，由
f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.因为x≤0,所以x=-1 综上,函数f(x)的零点为1,-1. 答案:1,-1 11.(2019·太原模拟)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间( 1,0)和区间(1,2)内,则实数m的取值范围是 m≠2, 解析:依题意并结合函数f(x的图象可知,{f-1·f00 所以f(一x)=x+2x又因为f(x是奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x 所以f(x)= (2)方程f(x=a恰有3个不同的解, 即y=f(x)与y=a的图象有3个不同的交点 作出y=f(x与y=a的图象如图所示,故若方程f(x=a恰有3
3 f(x)＝0，即 x 2－x－2＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.因为 x≤0，所以 x＝－1. 综上，函数 f(x)的零点为 1，－1. 答案：1，－1 11．(2019·太原模拟)若函数 f(x)＝(m－2)x 2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－ 1,0)和区间(1,2)内，则实数 m 的取值范围是________． 解析：依题意并结合函数 f(x)的图象可知， m≠2， f －1 ·f 0 <0， f 1 ·f 2 <0， 即 m≠2， [m－2－m＋ 2m＋1 ] 2m＋1 <0， [m－2＋m＋ 2m＋1 ][4 m－2 ＋2m＋ 2m＋1 ]<0， 解得1 4 <m< 1 2 . 答案： 1 4 ， 1 2 12．已知方程 2 x ＋3x＝k 的解在[1,2)内，则 k 的取值范围为________． 解析：令函数 f(x)＝2 x ＋3x－k， 则 f(x)在 R 上是增函数． 当方程 2 x ＋3x＝k 的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0， 即(5－k)(10－k)<0，解得 5<k<10. 当 f(1)＝0 时，k＝5. 综上，k 的取值范围为[5,10)． 答案：[5,10) 13．已知 y＝f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x. (1)写出函数 y＝f(x)的解析式； (2)若方程 f(x)＝a 恰有 3 个不同的解，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 x＜0，则－x＞0， 所以 f(－x)＝x 2＋2x.又因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－x 2－2x. 所以 f(x)＝ x 2－2x，x≥0， －x 2－2x，x＜0. (2)方程 f(x)＝a 恰有 3 个不同的解， 即 y＝f(x)与 y＝a 的图象有 3 个不同的交点． 作出 y＝f(x)与 y＝a 的图象如图所示，故若方程 f(x)＝a 恰有 3
个不同的解,只需-1<a<1, 故实数a的取值范围为(-1,1)
4 个不同的解，只需－1＜a＜1， 故实数 a 的取值范围为(－1,1)．