指数函数和对数函数 1、指数函数: 定义:函数y=d(a>0且a≠1)叫指数函数。 定义域为R,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y=a中的a必须a>0且a≠1 因为若a0且a≠1。 1、对三个指数函数y=23,y=(2),y=10 图1 的图象的认识。 图象特征与函数性质 函数性质 (1)图象都位于x轴上方 (1)x取任何实数值时,都有ax>0 (2)图象都经过点(0,1) (2)无论a取任何正数,x=0时,y=1 (3) y=10在第一象限内的纵坐 0,则ax>1 (3)当a>1时 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1 lx0,则a21时,y=a是增函数 当00时,y=10°的图象在y=2的图象的上方,当x2及 的图象关于y轴对称。 ③通过y=22,y=102,y= 个函数图象,可以画出任意一个函数 (a>0且a≠1)的示意图,如y=32的图象,一定位于y=2和y=10两个图象的中
1 指数函数和对数函数 1、指数函数： 定义：函数 y a (a a ) x = 0且 1 叫指数函数。 定义域为 R，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x = 中的 a 必须 a 0且a 1。 因为若 a 0 时， y ( ) x = −4 ，当 x = 1 4 时，函数 值不存在。 a = 0， y x = 0 ，当 x 0 ，函数值不存在。 a = 1 时， y x = 1 对一切 x 虽有意义，函数值恒为 1，但 y x = 1 的反函数不存在， 因为要求函数 y a x = 中的 a 0且a 1。 1、对三个指数函数 y y y x x x = = 2 = 1 2 ， ， 10 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于 x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论 a 取任何正数， x = 0 时， y = 1 ； （3） y y x x = 2 ， = 10 在第一象限内的纵坐 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， y x = 1 2 的图象正好相反； （3）当 a 1 时， x a x a x x 0 1 0 1 ，则 ，则 当 0 a 1 时， x a x a x x 0 1 0 1 ，则 ，则 （4） y y x x = 2 ， = 10 的图象自左到右逐渐 上升， y x = 1 2 的图象逐渐下降。 （4）当 a 1 时， y a x = 是增函数， 当 0 a 1 时， y a x = 是减函数。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如 y x = 2 和 y x = 10 相交于 (0，1) ， 当 x 0 时， y x = 10 的图象在 y x = 2 的图象的上方，当 x 0 ，刚好相反，故有 10 2 2 2 及 10 2 −2 −2 。 ② y x = 2 与 y x = 1 2 的图象关于 y 轴对称。 ③通过 y x = 2 ， y x = 10 ， y x = 1 2 三个函数图象，可以画出任意一个函数 y a x = （ a 0且a 1 ）的示意图，如 y x = 3 的图象，一定位于 y x = 2 和 y x = 10 两个图象的中
间,且过点(0,1),从而y= 也由关于y轴的对称性,可得y=3 的示意图,即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a=N(a>0且a≠1),那么数b就叫做以a为底的对数,记作b=logN (a是底数,N是真数,log。N是对数式。) 由于N=ab>0故log.N中N必须大于0 当M为零的负数时对数不存在 (1)对数式与指数式的互化 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求lo 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成1g0x(4/=x再 改写为指数式就比较好办。解:设logo2 则032=52 评述:由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问题,因 此必须因题而异。如求3=5中的x,化为对数式x=log35即成。 (2)对数恒等式 由a"=N(1)b= log m(2) 将(2)代入(1)得aN=N 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对 数的底数相同 计算:(3) 解:原式=3 (3)对数的性质:
2 间，且过点 (0，1) ，从而 y x = 1 3 也由关于 y 轴的对称性，可得 y x = 1 3 的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果 a N a a b = ( 0且 1) ，那么数 b 就叫做以 a 为底的对数，记作 b = loga N （a 是底数，N 是真数， loga N 是对数式。） 由于 N a b = 0 故 loga N 中 N 必须大于 0。 当 N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求 log0.32 5 2 4 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 log0.32 5 2 4 = x 再 改写为指数式就比较好办。解：设 log0.32 5 2 4 = x 则 即 ∴ 即 0 32 5 2 4 8 25 8 25 1 2 5 2 4 1 2 1 2 0 32 . log . x x x = = = − = − − 评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因 此必须因题而异。如求 3 5 x = 中的 x ，化为对数式 x = log3 5 即成。 （2）对数恒等式： 由 a N b N b = = a (1) log (2) 将（2）代入（1）得 a a N log N = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对 数的底数相同。 计算： ( 3) 1 3 − log 2 解：原式 = = − = 3 1 3 1 2 2 2 2 1 3 1 3 log log 。 （3）对数的性质：
①负数和零没有对数 ②1的对数是零 ③底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则 ①log(MN)=lgnM+ loga n(M,N∈R) ②lo log m- log n(M,N∈Rt) slog(N)= nlog N(N∈R) ④legN=lgN(N∈R2) 、对数函数: y=1082x 定义:指数函数y=a(a>0且a≠1)的反函 y=lgX 数y= log xx∈(0.,+∞)叫做对数函数。 1、对三个对数函数y=log2x,y=log1x, y=lgx的图象的认识 y=1081x 图象特征与函数性质 图象特征 函数性质 (1)图象都位于y轴右侧; 1)定义域:R,值或:R (2)图象都过点(1,0) (2)x=1时,y=0。即loga1=0 (3)y=log2x,y=lgx当x>1时,图象(3)当a>1时,若x>1,则y>0,若 在x轴上方,当00,则y0; (4)y=log2x,y=lgx从左向右图象是上(4)a>1时,y= log. x是增函数: 升,而y=log1x从左向右图象是下降。00时,y=log2x的图象在y=lgx的图象上方;而0lgl5;log2010时,在y=lgx的上方,而位于y=log2x的下方,0<x<1时 刚好相反,则对称性,可知y=log1x的示意图。 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象
3 ①负数和零没有对数； ②1 的对数是零； ③底数的对数等于 1。 （4）对数的运算法则： ① loga ( MN) = loga M + loga N ( M N R ) ， + ② loga loga loga ( ) M N = M − N M N R ， + ③ loga ( ) log ( ) n N = n a N N R + ④ loga log ( ) n N a n = N N R 1 + 3、对数函数： 定义：指数函数 y a a a x = ( 0且 1) 的反函 数 y x = a log x (0,+) 叫做对数函数。 1、对三个对数函数 y = log x y = log x 2 1 2 ， ， y = lg x 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域：R +，值或：R； （2）图象都过点（1，0）； （2） x = 1 时， y = 0 。即 loga 1 = 0 ； （3） y = log x 2 ，y = lg x 当 x 1 时，图象 在 x 轴上方，当 0 x 0 时，图象在 x 轴下 方， y = log x 1 2 与上述情况刚好相反； （3）当 a 1 时，若 x 1 ，则 y 0 ，若 0 x 1 ，则 y 0 ； 当 0 a 1 时，若 x 0 ，则 y 0 ，若 0 x 1 时，则 y 0 ； （4） y = log x y = lg x 2 ， 从左向右图象是上 升，而 y = log x 1 2 从左向右图象是下降。 （4） a 1 时， y x = a log 是增函数； 0 a 1 时， y x = a log 是减函数。 对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是 y = log x 2 与 y = lg x 在点（1,0）曲 线是交叉的，即当 x 0 时， y = log x 2 的图象在 y = lg x 的图象上方；而 0 x 1 时， y = log x 2 的图象在 y = lg x 的图象的下方，故有： log . lg . 2 15 15 ； log . lg . 2 01 01。 （2） y = log x 2 的图象与 y = log x 1 2 的图象关于 x 轴对称。 （3）通过 y = log x 2 ， y = lg x ， y = log x 1 2 三个函数图象，可以作出任意一个对数 函数的示意图，如作 y = log x 3 的图象，它一定位于 y = log x 2 和 y = lg x 两个图象的中间， 且过点（1,0）， x 0 时，在 y = lg x 的上方，而位于 y = log x 2 的下方， 0 x 1 时， 刚好相反，则对称性，可知 y = log x 1 3 的示意图。 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象
4、对数换底公式: log n loga log b LnN=log。N(其中e=2.71828…)称为N的自然对数 LN= log m称为常数对数 由换底公式可得: ,N=lgn igN 2.303lgN lge04343 由换底公式推出一些常用的结论 b=,或log。b· b=-log. b 3)log, b"=log b (4) 5、指数方程与对数方程* 定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算,故指数方程对数方程不是代数方程而属 于超越方程。 指数方程的题型与解法 基本型 b 取以a为底的对数f(x)= log b 同底数型 取以a为底的对数f(x)=o(x) 不同底数型 取同底的对数化为∫(x)·lga=o(x)·lgb 需代换型 F 0 换元令=a转化为t的代数方程 对数方程的题型与解法: 名称 解法 基本题 loga f(x)=b 对数式转化为指数式f(x)=a° 同底数型log,f(x)=g(x)转化为/(x)=(x)(必须验根) 需代换型 (logar)=0 换元令t= log, x转化为代数方程
4 4、对数换底公式： log log log log ( . ) log b a a n e g N N b L N N e N L N N = = = = 其中 … 称为 的自然对数 称为常数对数 2 71828 10 由换底公式可得： L N N e N n = = = N lg lg lg . . lg 0 4343 2 303 由换底公式推出一些常用的结论： （1） log log a log log b b a b a = b a = 1 或 · 1 （2） log log a m n b a m n = b （3） log log a n n b = a b （4） log a m n a m n = 5、指数方程与对数方程* 定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属 于超越方程。 指数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 ( ) a b f x = a a f ( x) ( x) = ( ) ( ) a b f x x = ( ) F a x = 0 取以 a 为底的对数 f (x) = loga b 取以 a 为底的对数 f (x) = (x) 取同底的对数化为 f (x)·lga = (x)·lgb 换元令 t a x = 转化为 t 的代数方程 对数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本题 loga f (x) = b 对数式转化为指数式 f (x) a b = 同底数型 loga f (x) = loga (x) 转化为 f (x) = (x) （必须验根） 需代换型 F a (log x) = 0 换元令 t x = a log 转化为代数方程