3.2对数与对数函数 重点、难点、易错点 解读对数概念及运算 对数是中学数学中重要的内容之一,理解对数的定义,掌握对数 的运算性质是学习对数的重点内容.现梳理这部分知识,供同学们参 考. 、对数的概念 对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即ab N→logN=b(a>0,且a≠1),据此可得两个常用恒等式:(1) Dlogaab=b; (2)algan=N 例1计算:log2+logs1+log?79log2 分析根据定义,再结合对数两个恒等式即可求值 解原式=1+0+log3-3+(3og32}=1-3+4=2 点评解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对 数式化为同底数 、对数的运算法则 常用的对数运算法则有:对于M0,N0 (1)loga(MN)=logaM+logan; (2)logax-logaM-logaN: (3logaMn=-nlogaM. 例2计算:lg14-2lg3+g7-lg18 分析运用对数的运算法则求解. 解由已知,得 原式=lg(2×7)-2(g7-1g3)+lg7-1g(32×2) =lg2+1g7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 点评对数运算法则是进行对数运算的根本保证同学们必须能 从正反两方面熟练应用 三、对数换底公式 根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式
3.2 对数与对数函数 解读对数概念及运算 对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数 的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参 考． 一、对数的概念 对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即 a b＝ N⇔logaN＝b(a>0，且 a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaa b＝b； (2)alogaN＝N. 例 1 计算：log22＋log51＋log3 1 27＋9log32. 分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值． 解 原式＝1＋0＋log33－3＋(3log32) 2＝1－3＋4＝2. 点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对 数式化为同底数． 二、对数的运算法则 常用的对数运算法则有：对于 M>0，N>0. (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga M N ＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM. 例 2 计算：lg 14－2lg 7 3 ＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解． 解 由已知，得 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(3 2×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能 从正反两方面熟练应用． 三、对数换底公式 根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：
lo log, b pg (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0) ogsa 由对数换底公式又可得到两个重要结论 (1logab-logha=1 (2) logan,bm、x 例3计算:(og25+log4125) og log√35 分析在利用换底公式进行化简求值时,一般是根据题中对数式 的特点选择适当的底数进行换底,也可选择以10为底进行换底 og 解原式=(0og5+S)×og5 og25×log2=4 点评对数的换底公式是“同底化”的有力工具,同学们要牢 记 通过上面讲解,同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互 化的依据,正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径.对数的 运算性质,同学们要熟练掌握,在应用过程中避免错误,将公式由“正 用”“逆用”逐步达到“活用”的境界 对数换底公式的证明及应用 设a0,∞0且a≠1,c≠1,N0,则有1lgN=9A,这个公 式称为对数的换底公式,它在对数的运算中有着重要的应用,课本中 没有给出证明,现证明如下: 证明记p=logN,则aP=N* *式两边同时取以c为底的对数(c>0且c≠1)得 log ap= log N, Bp plog a=logN 所以p ,即logN logn 推论1: logab loga=1 推论2: loganin= -oab(>0且a≠1,b>0). 例4(1)已知logs9=a,18b=5,求log3645的值 (2)求log23og34log5…log564的值
logab＝ logcb logca (a>0 且 a≠1，c>0 且 c≠1，b>0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)logab·logba＝1； (2)loganb m＝ m n logab. 例 3 计算：(log25＋log4125)× log32 log 35 . 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式 的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以 10 为底进行换底． 解 原式＝(log25＋ 3 2 log25)× log32 2log35 ＝ 5 2 log25× 1 2 log52＝ 5 4 . 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢 记． 通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互 化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的 运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正 用”“逆用”逐步达到“活用”的境界． 对数换底公式的证明及应用 设 a>0，c>0 且 a≠1，c≠1，N>0，则有 logaN＝ logcN logca ，这个公 式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中 没有给出证明，现证明如下： 证明 记 p＝logaN，则 a p＝N.* *式两边同时取以 c 为底的对数(c>0 且 c≠1)得 logca p＝logcN，即 plogca＝logcN. 所以 p＝ logcN logca ，即 logaN＝ logcN logca . 推论 1：logab·logba＝1. 推论 2：loganb m＝ m n logab(a>0 且 a≠1，b>0)． 例 4 (1)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645 的值； (2)求 log23·log34·log45·…·log6364 的值．
解(图为1g9=a18=5,所以18=a 所以lg9=alg18,lg5=blg18 所以lg45=165×9)g5+lg9 21g 18-Ig 9 blg 18+alg 18 6+a 21g 18-alg 18 2-a (2)log23 log34- log45-..log6364 Ig 3 1g 4 lg 5 1g 64 Ig 2 1g 3 1g4 Ig 63 Ig 64 6g 2 1g 2 Ig 2 点评对数运算法则中,对数式都是同底的,凡不同底的对数运 算,都需要用换底公式将底统一,一般统一成常用对数 例5已知g+86 logb+loga2=7,求ab的值 Dga +olog 解由已知可得 clog2b+ logia=7 loga +3l0g,b=15 logia=6 即 解得 3log2a+ log26=21 l0g26=3 所以a=26,b=2故ab=2623=512 点评发现底数4”,“8”与2的关系,将底数统一成2”,解决 问题比较简单 此外还有下面的关系式:logM og logaN logaM logaMlog N= logaN-log M: logaM logan log,M los =log,b b NogaL= MogaN 对数函数图象及性质的简单应用
解 (1)因为 log189＝a,18b＝5，所以 lg 9 lg 18＝a. 所以 lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. 所以 log3645＝ lg(5×9) lg 182 9 ＝ lg 5＋lg 9 2lg 18－lg 9 ＝ blg 18＋alg 18 2lg 18－alg 18 ＝ b＋a 2－a . (2)log23·log34·log45·…·log6364 ＝ lg 3 lg 2 · lg 4 lg 3 · lg 5 lg 4 ·…· lg 64 lg 63 ＝ lg 64 lg 2 ＝ 6lg 2 lg 2 ＝6. 点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运 算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数． 例 5 已知1 2 log8a＋log4b＝ 5 2 ，log8b＋log4a 2＝7，求 ab 的值． 解 由已知可得 1 6 log2a＋ 1 2 log2b＝ 5 2 ， 1 3 log2b＋log2a＝7， 即 log2a＋3log2b＝15， 3log2a＋log2b＝21. 解得 log2a＝6， log2b＝3. 所以 a＝2 6，b＝2 3 .故 ab＝2 6·23＝512. 点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决 问题比较简单． 此外还有下面的关系式：logNM＝ logaM logaN ＝ logbM logbN ； logaM·logbN＝logaN·logbM； logaM logbM ＝ logaN logbN ＝logab； NlogaM＝MlogaN. 对数函数图象及性质的简单应用
对数函数图象是对数函数的一种表达形式,形象显示了函数的性 质,为研究它的数量关系提供了“形”的直观性.它是探求解题思路、 获得问题结果的重要途径.能准确地作出对数函数的图象是利用平 移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提,而数形结合是研究与 对数函数的有关问题的常用思想 、求函数的单调区间 例6画出函数y=logx2的图象,并根据图象指出它的单调区间. 解当x≠0时,函数y=logx2满足 f( -x)=log2(-x)=log=f(x) 所以y=logx2是偶函数,它的图象关于y轴对称 当x>0时,y=log2x2=2logx, C? 因此先画出y=2log2x(x>0)的图象为C1,再作出C1关于y轴对称 的图象C2,C1与C2构成函数y=logx2的图象,如图所示 由图象可以知道函数y=logx2的单调减区间是(-∞,0),单调 增区间是(0,+∞) 点评作图象时一定要考虑定义域否则会导致求出错误的单调 区间,同时在确定单调区间时,要注意增减区间的分界点,特别要注 意区间的开与闭问题 二、利用图象求参数的值 例7若函数x)=log(x+1)a>0,a≠1)的定义域和值域都是 [0,1],则a等于() B. 2 D.2 11x 解析当a>1时,(x)=logA(x+1)的图象如图所示 f(x)在[O,1上是单调增函数,且值域为[0,1], 所以f1)=1,即og(1+1)=1
对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性 质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、 获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平 移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与 对数函数的有关问题的常用思想． 一、求函数的单调区间 例 6 画出函数 y＝log2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间． 解 当 x≠0 时，函数 y＝log2x 2满足 f(－x)＝log2(－x) 2＝log2x 2＝f(x)， 所以 y＝log2x 2是偶函数，它的图象关于 y 轴对称． 当 x>0 时，y＝log2x 2＝2log2x， 因此先画出 y＝2log2x(x>0)的图象为 C1，再作出 C1关于 y 轴对称 的图象 C2，C1与 C2构成函数 y＝log2x 2的图象，如图所示． 由图象可以知道函数 y＝log2x 2 的单调减区间是(－∞，0)，单调 增区间是(0，＋∞)． 点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调 区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注 意区间的开与闭问题． 二、利用图象求参数的值 例 7 若函数 f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是 [0,1]，则 a 等于( ) A. 1 3 B. 2 C. 2 2 D．2 解析 当 a>1 时，f(x)＝loga(x＋1)的图象如图所示． f(x)在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]， 所以 f(1)＝1，即 loga(1＋1)＝1
所以a=2 当01,试确定实数m和n的大小关系 y=logar 解在同一直角坐标系中作出函数y=logn与y=log灬的图象如 图所示,再作x=2的直线,可得m>n 点评不同底的对数函数图象的规律是 (1)底都大于1时,底大图低即在x1的部分底越大图象就越接 近x轴);(2)底都小于1时,底大图高(即在01 log, 0<x<I 在同一直角坐标系中作出函数与y=a的图象,如图可知 (1)当a<0时两个函数图象无公共点所以原方程根的个数为0; (2当a=0时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根有1 个 (3当a0时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根有2
所以 a＝2， 当 01，试确定实数 m 和 n 的大小关系． 解 在同一直角坐标系中作出函数y＝logmx与y＝lognx的图象如 图所示，再作 x＝2 的直线，可得 m>n. 点评 不同底的对数函数图象的规律是： (1)底都大于 1 时，底大图低(即在 x>1 的部分底越大图象就越接 近 x 轴)；(2)底都小于 1 时，底大图高(即在 01， －log3x， 00 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有 2 个．
点评利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出 的题型,与利用图象解不等式样,需要先将方程等价转化为两端对 应的函数为基本函数(最好端为一次函数),再作图象.若含有参数, 要注意对参数的讨论,参数的取值不同,函数图象的位置也就不同, 也就会引起根的个数不同 目类对数大小的比较 、底相同,真数不同 例10比较log^2与log的大小 分析底数相同,都是a,可借助于函数y=logx的单调性比较 大小 解由(2=81时,函数y=logx在(0,+∞)上是增函数 故log2<logV3; 当 函数y=logx在(0,+∞)上是减函数 故log 点评本题需对底数a的范围迸行分类讨论,以确定以a为底的 对数函数的单调性,从而应用函数y=log的单调性比较出两者的大 小 二、底不同,真数相同 例11比较log03与 logo.53的大小 分析底数不同但真数相同,可在同一坐标系中画出函数y= logⅸx与y= logo.sx的图象,借助于图象来比较大小;或应用换底公 式将其转化为同底的对数大小问题
点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出 的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对 应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数， 要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同， 也就会引起根的个数不同． 三类对数大小的比较 一、底相同，真数不同 例 10 比较 loga 2与 loga 3 3的大小． 分析 底数相同，都是 a，可借助于函数 y＝logax 的单调性比较 大小． 解 由( 2) 6＝81 时，函数 y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数， 故 loga 2loga 3 3. 点评 本题需对底数 a 的范围进行分类讨论，以确定以 a 为底的 对数函数的单调性，从而应用函数 y＝logax 的单调性比较出两者的大 小． 二、底不同，真数相同 例 11 比较 log0.13 与 log0.53 的大小． 分析 底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数 y＝ log0.1x 与 y＝log0.5x 的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公 式将其转化为同底的对数大小问题．
解方法一在同一坐标系中作出函数y=logx与y= logo.sx的 图象,如右图 在区间(1,+∞)上函数y=logx的图象在函数y=ogsx图象的 上方, 故有log013 方法二logo13 log30.1′ log30.5 因为3>1,故y=logx是增函数, 所以log01log53 方法三因为函数y=logx与y= logo,sx在区间(0,+∞)上都是 减函数,故log13>logo10=-1,log0s31090.5 点评方法一借助于对数函数的图象;方法二应用换底公式将问 题转化为比较两个同底数的对数大小;方法三借助于中间值来传递大 小关系 三、底数、真数均不同 例12比较log3与0g3的大小 分析底数、真数均不相同,可通过考察两者的范围来确定中间 值,进而比较大小 解因为函数y=logw与函数y=logx在(0,+∞)上都是增函数, E loglogs=0 6 g310g5 点评当底数、真数均不相同时,可找中间量(如1或0等)传递 大小关系,从而比较出大小 综上所述,比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相 同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,对数函数的 单调性由“底”的范围决定,若“底”的范围不明确,则需分“底数
解 方法一 在同一坐标系中作出函数y＝log0.1x与y＝log0.5x的 图象，如右图． 在区间(1，＋∞)上函数 y＝log0.1x 的图象在函数 y＝log0.5x 图象的 上方， 故有 log0.13>log0.53. 方法二 log0.13＝ 1 log30.1，log0.53＝ 1 log30.5. 因为 3>1，故 y＝log3x 是增函数， 所以 log30.1 1 log30.5. 即 log0.13>log0.53. 方法三 因为函数 y＝log0.1x 与 y＝log0.5x 在区间(0，＋∞)上都是 减 函数 ，故 log0.13>log0.110 ＝－1 ， log0.53log0.53. 点评 方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问 题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大 小关系． 三、底数、真数均不同 例 12 比较 log3 2 3 与 log5 6 5 的大小． 分析 底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间 值，进而比较大小． 解 因为函数y＝log3x与函数y＝log5x在(0，＋∞)上都是增函数， 故 log3 2 3 log51＝0， 所以 log3 2 3 <log5 6 5 . 点评 当底数、真数均不相同时，可找中间量(如 1 或 0 等)传递 大小关系，从而比较出大小． 综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相 同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的 单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数
大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论,如例10;二看真 数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式 将其转化为同底的对数来比较大小,如例11;三找中间值,底数 真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较 如例12 初学对数给你提个醒 对数函数是函数的重要内容之一,由于同学们对概念、定义域 值域、图象等知识点掌握得不够好,经常岀现解题错误,现将这些错 误进行归纳并举例说明 忽视0没有对数 例13求函数y=log(1+x)}的定义域. 错解对于任意的实数x,都有(1+x)}≥0 所以原函数的定义域为R 剖析只考虑到负数没有对数.事实上,由对数的定义可知,零 和负数都没有对数 正解{xx≠-1} 忽视1的对数为0 例14求函数y log2(2x+3) 的定义域 错解由2x+3>0,得x 所以定义域为{x>-} 剖析当2x+3=1时,log21=0,分母为0没有意义,上述解法 忽视了这一点 正解{xx-且x≠-1} 、忽视底数的取值范围 例15已知log2x+s(x2+x-1)=1,则x的值是() 4 B.-2或3 D.-4或5 错解由2x+5=x2+x-1,化简得x2-x-6=0 解得x=-2或x=3.故选B
大于 1”和“底数大于 0 且小于 1”两种情况讨论，如例 10；二看真 数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式 将其转化为同底的对数来比较大小，如例 11；三找中间值，底数、 真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等)来比较， 如例 12. 初学对数给你提个醒 对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、 值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错 误进行归纳并举例说明． 一、忽视 0 没有对数 例 13 求函数 y＝log3(1＋x) 2的定义域． 错解 对于任意的实数 x，都有(1＋x) 2≥0， 所以原函数的定义域为 R. 剖析 只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零 和负数都没有对数． 正解 {x|x≠－1} 二、忽视 1 的对数为 0 例 14 求函数 y＝ 1 log2(2x＋3) 的定义域． 错解 由 2x＋3>0，得 x>－ 3 2 ， 所以定义域为{x|x>－ 3 2 }． 剖析 当 2x＋3＝1 时，log21＝0，分母为 0 没有意义，上述解法 忽视了这一点． 正解 {x|x>－ 3 2 且 x≠－1} 三、忽视底数的取值范围 例 15 已知 log(2x＋5)(x 2＋x－1)＝1，则 x 的值是( ) A．－4 B．－2 或 3 C．3 D．－4 或 5 错解 由 2x＋5＝x 2＋x－1，化简得 x 2－x－6＝0， 解得 x＝－2 或 x＝3.故选 B
剖析忽视了底数有意义的条件:2x+5>0且2x+5≠1当 时,2x+5=1,应舍去,只能取x=3 正解C 四、忽视真数大于零 例16已知lgx+lgy=2lg(x-2y,求log√2的值 错解因为lgx+lgy=2lg(x-2y), 所以x=(x-2y)2,即x2-5y+4y=0, 所以x=y或x=4y,即=1 4 所以logV=0,或logV=4 剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件, x>0,y>0,x-2y>0,所以x2y>0,所以x=y不成立 正解因为lgx+lgy=2lg(x-2y), 所以x=(x-2y2,即x2-5xy+4y2=0, 所以x=y或x=4y 因为x>0,y>0,x-2y>0 所以x=y应舍去,所以x=4y,即=4,所以lg2=4 五、对数运算性质混淆 log28 例17下列运算:(10g4=1bg示 (2)og28=3log2; 3)og(8-4)=log28-log4 4 4 (4)log23log23=log(×3).其中正确的有() A.4个 B.3个C.2个D.1个 错解A 剖析(1)g4真数8与4不能相除;(3)中log(8-4)不能把lg 乘进去运算,没有这种运算的,运算1og=log28-bg4才是刈的 (4)错把log提岀来运算了,也没有这种运算,正确的只有(2) 正解D 六、忽视对含参底数的讨论
剖析 忽视了底数有意义的条件：2x＋5>0 且 2x＋5≠1.当 x＝－ 2 时，2x＋5＝1，应舍去，只能取 x＝3. 正解 C 四、忽视真数大于零 例 16 已知 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求 log 2 x y 的值． 错解 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)， 所以 xy＝(x－2y) 2，即 x 2－5xy＋4y 2＝0， 所以 x＝y 或 x＝4y，即x y ＝1 或 x y ＝4， 所以 log 2 x y ＝0，或 log 2 x y ＝4. 剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件， x>0，y>0，x－2y>0，所以 x>2y>0，所以 x＝y 不成立． 正解 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)， 所以 xy＝(x－2y) 2，即 x 2－5xy＋4y 2＝0， 所以 x＝y 或 x＝4y， 因为 x>0，y>0，x－2y>0， 所以 x＝y 应舍去，所以 x＝4y，即x y ＝4，所以 log 2 x y ＝4. 五、对数运算性质混淆 例 17 下列运算：(1) log28 log24 ＝log2 8 4 ； (2)log28＝3log22； (3)log2(8－4)＝log28－log24； (4)log2 4 3 ·log23＝log2( 4 3 ×3)．其中正确的有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 错解 A 剖析 (1) log28 log24 真数 8 与 4 不能相除；(3)中 log2(8－4)不能把 log 乘进去运算，没有这种运算的，运算 log2 8 4 ＝log28－log24 才是对的； (4)错把 log 提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)． 正解 D 六、忽视对含参底数的讨论
例18已知函数y=logx(2≤x≤4)的最大值比最小值大1,求a 的值. 错解由题意得log4-log2=log2=1,所以a=2. 剖析对数函数的底数含有参数a,错在没有讨论a与1的大小 关系而直接按a>1解题 正解①若a>1, 函数y=logx(2≤x≤4)为增函数, 由题意得log4-log2=log2=1, 所以a=2,又2>1,符合题意 ②若0<a<1,函数y=logx(2≤x≤4)为减函数, 由题意得g2-10g4=lg=1, 所以a=,又01,符合题意, 综上可知a=2或a= 数学思想与方法 巧借对数函数图象解题 数形结合思想,就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维与形象思维相结合.通过对图形的认识、数形转化,来提 高思维的灵活性、形象性、直观性,使问题化难为易、化抽象为具体.它 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面. 利用数形结合判断方程解的范围 方程解的问题可以转化为曲线的交点问题,从而把代数与几何有 机地结合起来,使问题的解决得到简化. 例1方程lgx+x=3的解所在区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)
例 18 已知函数 y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大 1，求 a 的值． 错解 由题意得 loga4－loga2＝loga2＝1，所以 a＝2. 剖析 对数函数的底数含有参数 a，错在没有讨论 a 与 1 的大小 关系而直接按 a>1 解题． 正解 ①若 a>1， 函数 y＝logax(2≤x≤4)为增函数， 由题意得 loga4－loga2＝loga2＝1， 所以 a＝2，又 2>1，符合题意． ②若 0<a<1，函数 y＝logax(2≤x≤4)为减函数， 由题意得 loga2－loga4＝loga 1 2 ＝1， 所以 a＝ 1 2 ，又 0< 1 2 <1，符合题意， 综上可知 a＝2 或 a＝ 1 2 . 巧借对数函数图象解题 数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来， 使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提 高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面． 一、利用数形结合判断方程解的范围 方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有 机地结合起来，使问题的解决得到简化． 例 1 方程 lg x＋x＝3 的解所在区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞)