对数与对数函数 教学目标:掌握对数运算(高考要求)及对数函数的有关概念(高考要求) 教学重难点:熟悉对数的运算,掌握对数函数图像性质及其应用。 教学过程: 知识要点 对数概念 ()对数的定义:如果a=b(a>0.a≠1),那么叫做以为底的对数,记做 log N=b(a>0a≠1),由定义知负数和没有对数。通常以为底的对数叫做常用对 数,记做gN=logN。以无理数=…为底的对数叫做自然对数。记做hN=log,N ()对数的运算性质 log。MN=logM+ log. m, ga b, (M, N, a, b, n,m>0, a#1) ()对数的恒等式 log 1=0, log a=l, N log b logb●lo (ab,c,N>0.a,b≠1) g a 对数函数: ()定义:形如(>≠)的函数叫做对数函数。 ().对数函数的图象与性质: 图 象 性|()|定义域:(,+∞),值域为
对数与对数函数 教学目标：掌握对数运算（高考要求）及对数函数的有关概念（高考要求）. 教学重难点：熟悉对数的运算，掌握对数函数图像性质及其应用。 教学过程： 一.知识要点： .对数概念 （）对数的定义：如果 ( 0, 1) n a b a a = ，那么叫做以为底的对数，记做 log 0, 1 a N b a a = ( ) ，由定义知负数和没有对数。通常以为底的对数叫做常用对 数，记做 10 lg log N N = 。以无理数＝…为底的对数叫做自然对数。记做 ln log N N = e 。 （）对数的运算性质： ( ) log log log , log log log . log log , log log , , , , , , 0, 1 m a a a a a a n n a a a a M MN M N M N N n M n M b b M N a b n m a m = + = − = • = （）对数的恒等式： ( ) log log log log 1 0, log 1, , log 1 log , log , log log log , , , , 0, , 1 log log a b b N N a a a b a a a b a b b a a N a N N N b b c c a b c N a b a a = = = = = = • = .对数函数： （）.定义：形如 a (>≠)的函数叫做对数函数。 （）.对数函数的图象与性质： > << 图 象 性 （） 定义域：（，＋∞），值域为
质()过点()与() >0(x> 1) 时。{=0(x=1) 0(x≠)与指数函数(>≠)互为反函数,它们的定义域与值域正好 互换,它们的对应法则是互逆的,其图象关于对称 ().对数有关的大小比较的基本思路:)利用函数的单调性,)作差或作商 法,)利用中间量。)化同底或化同指数。)放缩法 二.基础练习: 若∈O,则 已知3,且1+1,则的值是5 已知[O],那么x等于 已知>,则 log, b,log.的大小关系是ogbb .函数()(√x-3x+2+y-x-x+4)的定义域为[,)U(,) 设()2+x,则()+(2)的定义域为QUQ 函数(的值域是,则的取值范围是≤ 已知函数()的定义域是[,],求0的定义域 解∵(的定义域是[,],即≤≤,∴≤≤ 函数()中≤≤.即≤≤,∴≤≤ 故函数(的定义域为[,] 例题精讲: 题型:对数运算 例计算:()log(2-3)()()·√g2)-2+1
质 （） 过点（）与（） （） >时 a ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 x x x = = ≠)与指数函数 x (>≠)互为反函数，它们的定义域与值域正好 互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于对称。 （）.对数有关的大小比较的基本思路：）利用函数的单调性，）作差或作商 法，）利用中间量。）化同底或化同指数。）放缩法。 二.基础练习： .若∈(),则 ＜＜ .已知 3 a ,且 a b 1 1 + ，则的值是 15 .已知［()］，那么 1 2 x − 等于 4 2 .已知＜＜＞＞，则 b b b a b 1 ,log ,log 1 的大小关系是 b b b a b a 1 log 1 log log . 函数（） x 1 （ 3 2 3 4 2 2 x − x + + − x − x + ）的定义域为 ［，）∪（，） .设() x x − + 2 2 ,则 ) 2 ) ( 2 ( x f x + 的定义域为 ()∪() .函数()的值域是,则的取值范围是 ≤ .已知函数(）的定义域是［，］，求()的定义域. 解∵()的定义域是［，］，即≤≤,∴ 2 1 ≤≤. ∴函数()中 2 1 ≤≤.即 2 ≤≤,∴ 2 ≤≤. 故函数()的定义域为［ 2 ，］ 三.例题精讲： 题型：对数运算. 例 计算：（）log (2 3) 2 3 − + （）( 2 ) 2 · (lg 2) lg 2 1 2 − + ;
()1324√245. 解()方法一利用对数定义求值设kg(2-3), 则()1(),∴ 方法二利用对数的运算性质求解2-)wgn2gg() ()原式()√2y-22+10√() ()原式1()4:1104×3g210)51111(×) 题型:对数函数性质及应用 例比较下列各组数的大小. ()2与6;().0.7与 ()已知,,2gn1lgn12 即由换底公式可得0.7>,而是增函数,∴>> 变式:(全国卷Ⅱ理)设a=log3z,b=log2√3,c=log2,则a>b>c g3V2c log 3 b∴a>b>c 例.已知函数()(在区间(∞,√]上是单调递减函数 求实数的取值范围. 解令(),则0() 由以上知()的图象关于直线对称且此抛物线开口向上. 因为函数((的底数>,在区间(∞√]上是减函数
（） 2 1 49 32 3 4 8 245 . 解 （）方法一 利用对数定义求值 设 log (2 3) 2 3 − + , 则( 3 ) 3 2 3 1 + （ 3 ）,∴. 方法二 利用对数的运算性质求解 log (2 3) 2 3 − + 2 3 log + 2 3 1 + 2 3 log + ( 3 ). （）原式 2 （ 2 ） (lg 2) 2lg 2 1 2 − + 2 () 2 2 ( 2 ). （）原式 2 1 （） 3 4 2 1 2 1 2 1 () 3 4 × lg 2 2 3 2 1 () 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 (×) 2 1 2 1 . 题型：对数函数性质及应用. 例 比较下列各组数的大小. （） 3 2 与 5 6 ;（）1.10.7 与; （）已知 2 1 ＜ 2 1 ＜ 2 1 ,比较,2a ,2c的大小关系. 解 （）∵ 3 2 ＜, 而 5 6 ＞,∴ 3 2 ＜ 5 6 . ()方法一 ∵＜＜＜, ∴＞ log0.71.1 log0.7 1.2 , ∴ log 1.2 1 log 1.1 1 0.7 0.7 , 即由换底公式可得 1.10.7＜. 方法二 作出与的图象. 如图所示两图象与相交可知 1.10.7＜. ()∵ x 2 1 log 为减函数，且 b a c 2 1 2 1 2 1 log log log , ∴＞＞,而是增函数，∴＞＞. 变式：（全国卷Ⅱ理）设 3 2 3 a b c = = = log , log 3, log 2 ，则 abc 3 2 2 log 2 log 2 log 3 b c 2 2 3 3 log 3 log 2 log 3 log = a b a b c 例.已知函数（）()在区间（∞, 3 ］上是单调递减函数. 求实数的取值范围. 解 令(),则()（ 2 a ） 4 2 a , 由以上知(）的图象关于直线 2 a 对称且此抛物线开口向上. 因为函数()()的底数＞, 在区间（∞ 3 ］上是减函数
所以(在区间(∞]上也是单调减函数,且0> a-3)>0(-5 解得≤,由③得0的定义域是0 ()()[Q(][(P-)(P+](时,时,O的值域是(∞O] 当≠),如果对于任意∈[,∞) 都有(≥成立,试求的取值范围. 解当>时,对于任意∈[,∞),都有0> 所以,(,而(在[,∞)上为增函数, ∴对于任意∈[,∞),有0≥., 要使()≥对于任意∈[,∞)都成立
所以()在区间（∞ 3 ］上也是单调减函数，且()＞. ∴ − − − − − − − (1 3) (1 3) 0 2 2 3 (1 3) 0 2 1 3 2 a a a g a ，即 解得 3 ≤＜. 故的取值范围是{ 3 ≤＜}. 例.已知函数() 1 1 − + x x ()(). （）求()的定义域； （）求()的值域. 解 （）()有意义时，有 − − − + 0 ③, 1 0 ②, 0 ①, 1 1 p x x x x 由①、②得＞,由③得＜,因为函数的定义域为非空数集，故＞()的定义域是(). （）()［()()］ ［（ 2 p −1 ） 4 ( 1) 2 p + ］ (＜＜), ①当＜ 2 p −1 ＜，即＞时， ＜( 4 ( 1) 4 ( 1) ) 2 1 2 2 2 + + + p − p p , ∴ + + − − − 4 ( 1) ) 2 1 ( 2 p 2 p x ≤(). ②当 2 p −1 ≤，即＜≤时， ∵＜( 2( 1), 4 ( 1) ) 2 1 2 2 − + + − p p p ∴ + + − − − 4 ( 1) ) 2 1 ( 2 p 2 p x ＜(). 综合①②可知： 当＞时，()的值域是（∞()］; 当＜≤时，函数()的值域是(∞()). 题型：综合应用. 例.已知函数()(＞≠)，如果对于任意∈［，∞） 都有()≥成立，试求的取值范围. 解 当＞时，对于任意∈［，∞），都有()＞. 所以，()(),而()在［，∞）上为增函数， ∴对于任意∈［，∞），有()≥. ， 要使()≥对于任意∈［，∞）都成立
只要≥即可,∴,且≠,>) ()求O的定义域;()讨论0的奇偶性;()讨论()的单调性.解()由xb ((>.解得()的定义域为(∞)∪(∞).()∵() (-)=lg(--)=log()=-f(x),∴()为奇函数 ()令()x+b,则02.它在(∞)和(∞)上是减函数.∴当时,(在(∞)和(∞)上是减函数 例.设∈,且≠,定义在区间()内的函数()g+ax是奇函数 ()求的取值范围;()讨论函数Q的单调性 解()()1+a(<<)是奇函数等价于
只要≥即可，∴＜≤. 当＜＜时，对于∈［，∞），有()＜, ∴()(). ∵（）在［，∞）上为减函数， ∴（）在［，∞）上为增函数. ∴对于任意∈［，∞）都有 ()()≥. 因此，要使()≥对于任意∈［，∞）都成立， 只 要≥成立即可， ∴≤ a 1 ,即 a 1 ≤,∴ 3 1 ≤＜. 综上，使()≥对任意∈［，∞）都成立的取值范围是(，］∪［ 3 1 ，）. 例.已知函数 2 a ()在(∞)上是增函数，求的取值范围. 解 因为 ()在(∞］上是减函数， 在［, ∞)上是增函数， 要使 2 a ()在(∞)上是增函数， 首先必有＜＜, 即＜＜或＜＜,且有 − − 2, ( 2) 0, a 得≥ 4 1 . 综上，得 4 1 ≤＜或＜＜. 例.已知函数() x b x b − + (＞,且≠，＞). （）求()的定义域； （）讨论()的奇偶性；（）讨论(）的单调性.解 （）由 x b x b − + ＞ ()() ＞ . 解 得 () 的定义域为（∞）∪ ( ∞ ). （）∵（） ( ) log ( ) log ( ) ( ), 1 f x x b x b x b x b x b x b a a = − − + = + − = − − − + − ∴（）为奇函数. （）令（） x b x b − + ，则() . 2 x b b − 它在（∞）和(∞)上是减函数. ∴当＜＜时，() 在（∞）和(∞)上是增函数； 当＞时，()在（∞）和(∞)上是减函数. 例.设∈，且≠,定义在区间（）内的函数() x ax 1 2 1 lg + + 是奇函数. （）求的取值范围； （）讨论函数()的单调性. 解 （）() x ax 1 2 1 + + (＜＜)是奇函数等价于：
1-ax 对任意∈O都有 1+a ①式即为g;=g 由此可得1-ax=1+2x,也即, 此式对任意∈Q都成立相当于,因为≠,所以, 代入②式,得1-2x>,即!<<1, 1+ 此式对任意∈(都成立相当于!≤<≤, 所以的取值范围是(,1] ()设任意的∈(,且<,由∈(,1], 得≤<<<≤ 所以<<<<, 从而0)0k,21-11=2x +2X 1+2x2 (1+2x2(1-2x) 因此Q在()内是减函数,具有单调性 能力测试题 化简求值. ()(· 解(原式y ()原式 ()原式(题2单22单2+2232
对任意∈()都有 + + − = − 0 ② 1 2 1 ( ) ( ) ①, ， ， x ax f x f x ①式即为 ax x x ax + + = − − 1 1 2 lg 1 2 1 lg ， 由此可得 ax x x ax + + = − − 1 1 2 1 2 1 ,也即, 此式对任意∈()都成立相当于,因为≠,所以， 代入②式，得 x x 1 2 1 2 + − ＞,即 2 1 ＜＜ 2 1 , 此式对任意∈()都成立相当于 2 1 ≤＜≤ 2 1 , 所以的取值范围是（, 2 1 ］. （）设任意的∈()，且＜,由∈（， 2 1 ］， 得 2 1 ≤＜＜＜≤ 2 1 , 所以＜＜＜＜, 从而()() lg1 0. (1 2 )(1 2 ) (1 2 )(1 2 ) lg 1 2 1 2 lg 1 2 1 2 lg 2 1 2 1 1 1 2 2 = + − − + = + − − + − x x x x x x x x 因此()在（)内是减函数，具有单调性. 能力测试题 .化简求值. （） 48 7 2 1 ; （）()·; （）()·(). 解 ()原式 48 7 42 . 2 3 log 2 2 2 1 log 48 42 2 7 12 2 3 = 2 = 2 = − − （）原式(). （）原式( . 4 5 6lg2 5lg3 · 2lg3 3lg2 ) 3lg2 lg3 2lg2 lg3 )·( 2lg3 lg2 lg3 lg2 + + = =
计算()--m256 函数()yx=2|的定义域为[,∞) 函数()(x-2)的定义域为(,)或(,) 若函数()(>,且≠)的图象过两点(,)和(,),则 设>,函数Q在区间[,2a]上的最大值与最小值之差为,则 函数,O的递增区间是(∞) 函数()()在[,]上的最大值和最小值之和为,则 已知()O,则x 若函数(·)的定义域为,则实数的取值范围为≤ 、解答题 已知函数0((>),若函数(图象上任意一点关于原点对称点的轨迹恰好是函 数()的图象 ()写出函数O)的解析式; ()当∈[,)时总有()Q≥成立,求的取值范围. 解()设(,)为0图象上任意一点,则(,)是点关于原点的对称点, ∵(,)在()的图象上, (),即0(.()0(≥,即x≥. 设()1+x∈[,),由题意知,只要()≥即可 ∵()在[,)上是增函数,∴()().故≤即为所求 已知过原点的一条直线与函数的图象交于、两点,分别过、作轴的平行线与函数的 图象交于、两点 ()证明:点、和原点在同一直线上 ()当平行于轴时,求点的坐标 ()证明设点、的横坐标分别为
. 计算( 2 1 ) 2 3 log 3 − − 4 1 5 3 4 21 . .函数() log ( 1) | 2 | 1 2 − − − x x 的定义域为［，∞）. .函数() 2 2 9 1 ( 2 ) x g x x − − 的定义域为 （，）或（，） ； .若函数() (＞,且≠)的图象过两点（，）和（，），则 .设＞,函数()在区间［,2a］上的最大值与最小值之差为 2 1 ，则 .函数 2 1 ()的递增区间是 （∞） .函数（）（）在［，］上的最大值和最小值之和为，则 2 1 .已知()(),则 = y x . .若函数(·)的定义域为，则实数的取值范围为≤ 三、解答题 .已知函数()()(＞),若函数()图象上任意一点关于原点对称点的轨迹恰好是函 数()的图象. （）写出函数()的解析式； （）当∈［，）时总有()()≥成立，求的取值范围. 解 （）设（，）为()图象上任意一点， 则（，）是点关于原点的对称点， ∵（，）在()的图象上， ∴（），即()(). （）()()≥,即 x x − + 1 1 ≥. 设（） x x − + 1 1 ∈［，）， 由题意知，只要（）≥即可. ∵（）在［，）上是增函数， ∴（）（）.故≤即为所求. .已知过原点的一条直线与函数的图象交于、两点，分别过、作轴的平行线与函数的 图象交于、两点. （）证明:点、和原点在同一直线上； （）当平行于轴时，求点的坐标. （）证明 设点、的横坐标分别为
由题设知>>,则点、的纵坐标分别为、 因为、在过点的直线上,所以=如0g 点、的坐标分别为()、O, 由于,的斜率为=31, 的斜率为k==30g,由此可知,即、、在同一直线上 ()解由于平行于轴,知,即得1, 代入,得,由于>,知≠,故,又因>,解得,于是点的坐标为(,3)
由题设知＞＞,则点、的纵坐标分别为、. 因为、在过点的直线上，所以 2 8 2 1 8 1 log log x x x x = 点、的坐标分别为()、(), 由于 log 2 log 8 8 1 x , 的斜率为 1 8 1 1 2 1 log 3log x x x x = , 的斜率为 , log 3log 2 8 2 2 2 2 2 x x x x k = = 由此可知,即、、在同一直线上. （）解 由于平行于轴，知，即得 3 1 , 代入，得,由于＞,知≠,故, 又因＞,解得 3 ,于是点的坐标为（ 3 ， 3 ). 人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息 零碎的时间实在可以成就大事业 珍惜时间可以使生命变的更有价值 时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连 一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦 得到 时间，就是得到一切 用经济学的眼光来看，时间就是一种财富 时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽 我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近 夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望 不浪费时间，每时每刻 都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为 时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费 我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间 时间就是性命，无端的空耗别人的时 间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。 新想法常常瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。 每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美 妙的一天，我又要获得多少知识啊！” 不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！ 如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。 学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个 丰收。 藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。 学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。 不渴望能够一 跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向