直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平 面a互相垂直
1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面α内的 直线都垂直，就说直线 l 与平 面α互相垂直． 任意一条
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与 a、bCa 判个平面内的两 a∩b=O 定|条相交直线都b → 理垂直,则该直线 b 与此平面垂直 性|垂直于同一个 b 定平面的两条直 aa a∥b a 理线平行
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
2.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所 成的角.如图所示,∠PAO就是斜线AP与平面 a所成的角 (2)线面角0的范围:0∈0,2 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角 (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角
2. 直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所 成的角．如图所示， 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． (2)线面角 θ 的范围：θ∈ 0， π 2 . 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 所组成的 图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点， 在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角． 锐角 ∠PAO 两个半平面 垂直于棱
◎4.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另 判\个平面的一条垂 定 lCB 定|线则这两个平面 互相垂直 两个平面互相垂 性直,则一个平面 质内垂直于交线的 理直线与另一个平 =4=a 面垂直
4．平面与平面垂直的判定定理
提示:垂直 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,那另一条与此平 面是否垂直? 提示:平行.可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推 导出 2.垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗?
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平 面是否垂直？ 提示：垂直． 2．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？ 提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推 导出．
●)牛刀小试 1.(款材习题改编)给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这 两个平面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条 直线垂直于这个平面 其中真命题的个数是() B.2 C.3 D.4
1．(教材习题改编)给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这 两个平面相互平行； ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条 直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C． 3 D．4
解析:选B①④正确 2.已知直线a,b和平面a,且a⊥b,a⊥a,则b与a的位 置关系为() a. bca B.b∥a C.bCa或b∥a D.b与a相交 解析:选C∵a⊥b,a⊥a,∴b∥a或bca
2．已知直线 a，b 和平面 α，且 a⊥b，a⊥α，则 b 与 α 的位 置关系为( ) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α 或 b∥α D．b 与 α 相交 解析：选 C ∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α 或 b⊂α. 解析：选 B ①④正确
3.(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连 接PB、PC,PA、AC、BD,则一定互相垂直的平面有() A.8对B.7对C.6对D.5对 解析:选B由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面 ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平 面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面 PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对
3．(教材习题改编)PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连 接 PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有( ) A．8 对 B．7 对 C．6 对 D．5 对 解析： 选 B 由于 PD⊥平面 ABCD，故平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PDB⊥平面 ABCD，平面 PDC⊥平面 ABCD，平 面 PDA⊥平面 PDC，平面 PAC⊥平面 PDB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PBC⊥平面 PDC，共 7 对．
4.已知a,B表示两个不同的平面,m为平面a内的一条直 线,则“a⊥B”是“m⊥”的 条件(填“充分不必要” “必要不充分”或“充要”) 解析:设anB=,则当mCa,且m⊥l时,有m⊥B, 否则m不垂直B,故a⊥B→/m⊥B;反之,若mCa,m⊥B, 则a⊥B 答案:必要不充分
4．已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一条直 线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件(填“充分不必要”、 “必要不充分”或“充要”)． 解析：设 α∩β＝l，则当 m⊂α，且 m⊥l 时，有 m⊥β， 否则 m 不垂直 β，故 α⊥β ⇒/ m⊥β；反之，若 m⊂α，m⊥β， 则 α⊥β. 答案：必要不充分