圆的标准方程 【教学目标】 (1)认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法 (2)掌握圆的标准方程,并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径; (3)能根据所给条件,通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。 教学重难点】 圆的标准方程及其运用。 圆的标准方程的推导和运用 【教学过程】 、问题情境 1.情境: 转羟 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥,其圆拱所在的曲线是圆,我们能否表示出该圆 弧所在圆的方程呢? 2.问题: 在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系?如果没有坐标系,我们应该怎样建立坐标 系?如何找到表示方程的等式? 学生活动 回忆初中有关圆的定义,怎样用方程将圆表示出来? 三、建构数学 1.由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆 (x,y) 的标准方程 般地,设点P(x,y)是以C(a,b)为圆心,为半径的圆上的 (a, by
O P x y ( , ) C a b ( , ) 圆的标准方程 【教学目标】 （1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法； （2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； （3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。 【教学重难点】 圆的标准方程及其运用。 圆的标准方程的推导和运用。 【教学过程】 一、问题情境 1．情境： 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆 弧所在圆的方程呢？ 2．问题： 在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标 系？如何找到表示方程的等式？ 二、学生活动 回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？ 三、建构数学 1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆 的标准方程： 一般地，设点 P x y ( , ) 是以 C a b ( , ) 为圆心， r 为半径的圆上的
任意一点,则CP=r,由两点间距离公式,得到:x-a32+(y-b)2=即 (x-a)+(y-b) (1) 反过来,若点Q的坐标(x,y)是方程(1)的解,则(x-a)2+(y-b)2=r2, 即yx-a)+(-b)2=r,这说明点Q(x,)到点C(ab)的距离为即点Q在以Cab为 圆心,F为半径的圆上 2.方程(x-a)+(y-b=r(r>0)叫做以(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程; 3.当圆心在原点00)时,圆的方程则为x2+y2=r2(r>0) 特别地,圆心在原点且半径为1的圆通常称为单位圆:其方程为x2+y2=1 四、数学运用 例题: 例1.分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径: (2)(x-2)2+(y-3)2=7:(2)(x+5)2+(y+4)2=18 144 (5)(x-4)2+y2=4 解:(如下表) 方程 圆心 半径 (x-2)2+(y-3)2=7 (2,3) (x+5)+(y+4)=18 32 +1)2 (0,-1) √3 x2+y2=144 (0,0) 12 (x-4)2+y2=4 (4,0) 2 例2.(1)写出圆心为A(2,-3),半径长为5的圆的方程,并判断点M(5-7),N(-√5,-1) 是否在这个圆上 (2)求圆心是C(2,3),且经过原点的圆的方程 解:(1)∵圆心为A(2,-3),半径长为5 ∴该圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25 把点M(5,-7)代入方程的左边(5-2)2+(-7+3)2=32+42=25=右边即点M(5,-7)的坐标 适合方程,∴点M(5,-7)是这个圆上的点
任意一点，则 | | CP r = ，由两点间距离公式，得到： 2 2 ( ) ( ) x a y b r − + − = 即 2 2 2 ( ) ( ) x a y b r − + − = （1） ； 反过来，若点 Q 的坐标 0 0 ( , ) x y 是方程 (1) 的解，则 2 2 2 0 0 ( ) ( ) x a y b r − + − = ， 即 2 2 0 0 ( ) ( ) x a y b r − + − = ，这说明点 0 0 Q x y ( , ) 到点 C ( , ) a b 的距离为 r 即点 Q 在以 C a b ( , ) 为 圆心， r 为半径的圆上； 2．方程 2 2 2 ( ) ( ) ( 0) x a y b r r − + − = 叫做以 ( , ) a b 为圆心， r 为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点 (0,0) 时，圆的方程则为 2 2 2 x y r r + = ( 0) ； 特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为 2 2 x y + =1 四、数学运用 1．例题： 例 1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： （2） 2 2 ( 2) ( 3) 7 x y − + − = ； （2） 2 2 ( 5) ( 4) 18 x y + + + = （3） 2 2 x y + + = ( 1) 3 （4） 2 2 x y + =144 （5） 2 2 ( 4) 4 x y − + = 解：（如下表） 方程 圆心 半径 2 2 ( 2) ( 3) 7 x y − + − = (2,3) 7 2 2 ( 5) ( 4) 18 x y + + + = ( 5, 4) − − 3 2 2 2 x y + + = ( 1) 3 (0, 1) − 3 2 2 x y + =144 (0,0) 12 2 2 ( 4) 4 x y − + = (4,0) 2 例 2．（1）写出圆心为 A(2, 3) − ，半径长为 5 的圆的方程，并判断点 M (5, 7) − ，N( 5, 1) − − 是否在这个圆上； （2）求圆心是 C(2,3) ，且经过原点的圆的方程。 解：（1）∵圆心为 A(2, 3) − ，半径长为 5 ∴该圆的标准方程为 2 2 ( 2) ( 3) 25 x y − + + = 把点 M (5, 7) − 代入方程的左边 2 2 2 2 (5 2) ( 7 3) 3 4 25 − + − + = + = ＝右边即点 M (5, 7) − 的坐标 适合方程，∴点 M (5, 7) − 是这个圆上的点；
把点N(-√,-1)的坐标代入方程的左边(--22+(-1+3)2=13+45≠25即点N(-√5,-1)坐 标不适合圆的方程,∴点N不在这个圆上 (2)法一:∵圆C的经过坐标原点 圆C的半径为r=√2-0)+(-3-02=√2+32=3 因此所求的圆的方程为(x-2)2+(y-(-3)2=13即(x-2)2+(y+3)2=13 法二:∵圆心为C(2,-3) 设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2= ∴原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即(0-2)2+(0+1)2=r2即r2=13 所求圆的标准方程为:(x-2)2+(y+3)2=13 例3.(1)求以点A(1,2)为圆心,并且和x轴相切的的圆的标准方程; (2)已知两点P(4.9),Q(6,3),求以线段PQ为直径的圆的方程 解:(1)∵圆与x轴相切∴该圆的半径即为圆心A(,2)到x轴的距离2 因此圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)=4 (2)∵PQ为直径∴PQ的中点M为该圆的圆心即M(56) 又;1PQ=6-4+(8-9=4+5=2√0:=12=√0 ∴圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10 例4.已知隧道的截面是半径为4m的圆的半圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶,车 辆宽度为3m,高为3.5m的货车能不能驶入这个隧道? 解:以某一截面半圆的圆心为原点,半圆的直径AB 所在的直线为x轴,建立直角坐标系,如图所示 那么半圆的方程为:x2+y2=16(y≥0) 将x=3代入得y=√6-32=<√5=3<35 即离中心线3m处,隧道的高度低于货车的高度 因此,该货车不能驶入这个隧道 思考:假设货车的最大的宽度为cm,那么货车要驶 入高隧道,限高为多少? 略解:将x=a代入得y=√6-a2即限高为√6- 五、回顾小结: 1.圆的标准方程及其表示的圆心和半径; 2.建系思想和方程思想
把点 N( 5, 1) − − 的坐标代入方程的左边 2 2 ( 5 2) ( 1 3) 13 4 5 25 − − + − + = + 即点 N( 5, 1) − − 坐 标不适合圆的方程，∴点 N 不在这个圆上； （2）法一：∵圆 C 的经过坐标原点， ∴圆 C 的半径为 2 2 2 2 r = − + − − = + = (2 0) ( 3 0) 2 3 13 因此所求的圆的方程为 2 2 ( 2) ( ( 3)) 13 x y − + − − = 即 2 2 ( 2) ( 3) 13 x y − + + = ； 法二：∵圆心为 C(2, 3) − ∴设圆的方程为 2 2 2 ( 2) ( 1) x y r − + + = ∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即 2 2 2 (0 2) (0 1) − + + = r 即 2 r =13 ∴所求圆的标准方程为： 2 2 ( 2) ( 3) 13 x y − + + = 例 3．（1）求以点 A(1,2) 为圆心，并且和 x 轴相切的的圆的标准方程； （2）已知两点 P(4,9)，Q(6,3) ，求以线段 PQ 为直径的圆的方程。 解：（1）∵圆与 x 轴相切∴该圆的半径即为圆心 A(1,2) 到 x 轴的距离 2 ； 因此圆的标准方程为 2 2 ( 1) ( 2) 4 x y − + − = ； （2）∵ PQ 为直径∴ PQ 的中点 M 为该圆的圆心即 M (5,6) 又∵ 2 2 | | (6 4) (3 9) 4 36 2 10 PQ = − + − = + = ∴ | | 10 2 PQ r = = ∴圆的标准方程为 2 2 ( 5) ( 6) 10 x y − + − = 例 4．已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车 辆宽度为 3m ，高为 3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？ 解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图所示， 那么半圆的方程为： 2 2 x y y + = 16( 0) 将 x = 3 代入得 2 y = − = = 16 3 7 9 3 3.5 即离中心线 3m 处，隧道的高度低于货车的高度 因此，该货车不能驶入这个隧道； 思考：假设货车的最大的宽度为 am ，那么货车要驶 入高隧道，限高为多少？ 略解：将 x a = 代入得 2 y a = − 16 即限高为 2 16− a m 五、回顾小结： 1．圆的标准方程及其表示的圆心和半径； 2．建系思想和方程思想。 A O x y 3 B 4