教学设计 课题:§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时)
教学设计 课题：§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时）
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) 课题:§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) 【教材分析】 直线与圆的位置关系是必修2第4章第2节第一课时内容,是继直线方程、圆 的方程之后,研究解析几何曲线与曲线之间位置关系的重要课题之一。从知识体系 上看,它安排在“点和圆的位置关系”之后,“圆与圆的位置关系”之前;从数学 思想方法上看,它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。 因此,直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。直线与圆的位置关 系判断的方法、建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法,“坐标法”研究直线与 圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展,又是后续研究圆与圆的位置关系和 直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。 【学情分析】 (1)知识储备 学生在初中平面几何部分已经学习了直线与圆的位置关系,知道可以利用直线 与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小,判断直线与圆的位置 关系。通过数学文化渗透引导学生感受解析几何产生的背景和价值,为学生感受用 代数方法解决几何问题的解析几何思想,为本节课的重点用“坐标法”解决平面解 析几何问题做好铺垫。 (2)心理特征 上课班级为髙级中学理科平行班的学生。根据高级中学已有学生的数学素养和 高一学生的认知特点及心理特征,确定本节课的情感目标为让学生感受数学思想文 化的价值。引导学生感受源远流长的数学文化背景,体会代数方法解决几何问题的 奇妙,感受代数与几何对立统一的关系。博大精深的数学文化可以恰如到好处的满 足学生的心理需求,同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧,膜 拜古人持之以恒追求知识的精神,可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学 家的仰望和敬意。而高一阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升,同时 学生的观察能力、想象能力在迅速发展。这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现,注
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 课题: §4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 【教材分析】 直线与圆的位置关系是必修 2 第 4 章第 2 节第一课时内容，是继直线方程、圆 的方程之后，研究解析几何曲线与曲线之间位置关系的重要课题之一。从知识体系 上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学 思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。 因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。直线与圆的位置关 系判断的方法、建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法， “坐标法”研究直线与 圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和 直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。 【学情分析】 (1)知识储备 学生在初中平面几何部分已经学习了直线与圆的位置关系，知道可以利用直线 与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离 d 与半径 r 的大小，判断直线与圆的位置 关系。通过数学文化渗透引导学生感受解析几何产生的背景和价值，为学生感受用 代数方法解决几何问题的解析几何思想，为本节课的重点用“坐标法”解决平面解 析几何问题做好铺垫。 (2)心理特征 上课班级为高级中学理科平行班的学生。根据高级中学已有学生的数学素养和 高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为让学生感受数学思想文 化的价值。引导学生感受源远流长的数学文化背景，体会代数方法解决几何问题的 奇妙，感受代数与几何对立统一的关系。博大精深的数学文化可以恰如到好处的满 足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜 拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学 家的仰望和敬意。而高一阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，同时 学生的观察能力、想象能力在迅速发展。这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现，注
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) 意力容易分散,教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生广泛的、积极主动 的参与到教学中,引发学生的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上。 (3)潜能方面 创设问题情境,激发学生的好奇心,学生对新内容的学习有一定的的兴趣和积极性, 但在探究能力和合作交流发展上还不够均衡。 【设计思想】 本节课的内容是数学文化引出解析几何产生的背景和价值,让学生从宏观上感 受古人在利用代数方法解决几何问题时的奇妙与伟大。借助结合画板直观画出直线 与圆的相交、相离、相切,学生可以直观判断。从已有的知识,圆心到直线的距离 与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系,产生认知冲突,恰好符合华罗庚论 数形结合的诗“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,形少数时难入微,数形结 合百般好”。看似相切却相离,将激发学生寻求新的办法一“坐标法”。如何确定 几何画板上定圆的方程和定直线的方程,引导学生建立坐标系。从而将本节课的重 点突破进行剖析,学生可以从几何与代数角度分析判断直线与圆的位置关系。并会 选择用最恰当的方法判断直线与圆的位置关系,并能总结出每一种方法的优点与缺 点。 利用代数方法研究直线和圆的方程。情境的改变必然导致研究思路的变化,本 节课主要是研究利用解析法来判断直线和圆的位置关系,研究问题的思想方法学生 不熟悉。教学难点确定为:灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相 关问题。从数学文化的宏观认识到微观判断直线与圆位置关系的过渡,体现几何直 观和代数运算辩证统一的思想方法中让学生感受数形统一的思维过程。为了突破本 节课的难点以层层递进的例题设计为学生的思维搭架子,让学生感受知识的层层分 化,从数学思想方法的历史积淀到微观认识,回归到现实生活让学生感受到数学思 想方法是历史发展的产物、与现实生活有密切的联系。在教学的过程中要调动学生 学习的积极性,让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功,享受学习的乐趣。 【教学目标】
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 意力容易分散，教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生广泛的、积极主动 的参与到教学中，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上。 (3) 潜能方面 创设问题情境，激发学生的好奇心，学生对新内容的学习有一定的的兴趣和积极性， 但在探究能力和合作交流发展上还不够均衡。 【设计思想】 本节课的内容是数学文化引出解析几何产生的背景和价值，让学生从宏观上感 受古人在利用代数方法解决几何问题时的奇妙与伟大。借助结合画板直观画出直线 与圆的相交、相离、相切，学生可以直观判断。从已有的知识，圆心到直线的距离 与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系，产生认知冲突，恰好符合华罗庚论 数形结合的诗“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，形少数时难入微，数形结 合百般好”。看似相切却相离，将激发学生寻求新的办法—“坐标法”。如何确定 几何画板上定圆的方程和定直线的方程，引导学生建立坐标系。从而将本节课的重 点突破进行剖析，学生可以从几何与代数角度分析判断直线与圆的位置关系。并会 选择用最恰当的方法判断直线与圆的位置关系，并能总结出每一种方法的优点与缺 点。 利用代数方法研究直线和圆的方程。情境的改变必然导致研究思路的变化，本 节课主要是研究利用解析法来判断直线和圆的位置关系，研究问题的思想方法学生 不熟悉。教学难点确定为：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相 关问题。从数学文化的宏观认识到微观判断直线与圆位置关系的过渡，体现几何直 观和代数运算辩证统一的思想方法中让学生感受数形统一的思维过程。为了突破本 节课的难点以层层递进的例题设计为学生的思维搭架子，让学生感受知识的层层分 化，从数学思想方法的历史积淀到微观认识，回归到现实生活让学生感受到数学思 想方法是历史发展的产物、与现实生活有密切的联系。在教学的过程中要调动学生 学习的积极性，让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功，享受学习的乐趣。 【教学目标】
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) 新课程标准要求是能根据直线与圆的方程判断其位置关系,体会用代数方法处 理几何问题的思想,感受形与数的对立与统一。根据本节课的教学内容和我所教学 生的实际,本节课的教学目标确定为以下三个方面 (1)知识与技能 结合几何直观图形,感受17世纪数学史上的创举-解析几何的核心思想。学生 能用定义来判断直线与圆的位置关系,体会“坐标法”解决平面解析几何问题三步 曲,体会几何法和代数法求解优越性。 (2)过程与方法 通过解析几何的思想方法渗透,让学生感受代数方法解决几何问题,几何直观 解释代数结论的对立统一关系 (3)情感态度与价值观 数学文化中蕴含的数学思想“坐标法”,让学生深刻的感受到数学思想是历史发 展的产物,更坚定了学生学习数学的兴趣。数学推动17世纪社会的社会、经济的 飞跃,也推动现今社会的发展,是学生爱国教育的新视角 【教学重点】 1、解析几何核心思想“坐标法”的理解,灵活应“代数法”和“几何法”判断直 线与圆的位置关系 【教学难点】体会“坐标法”解决平面解析几何问题三步曲的方法,并能灵活进行 几何直观与代数运算的转化 【教法学法】为了实现上述教学目标,本节课采取以下教学方法 (1)恰当的利用多媒体课件,通过学生身边的实际生活问题引入课题,拉近数学 与现实的距离,激发学生的问题意识和求知欲,调动学生主体参与的积极性 (2)采用“启发式”问题教学法,用环环相扣的问题将探究活动额层层深入,站 在学生思维的最近发展区上启发诱导
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 新课程标准要求是能根据直线与圆的方程判断其位置关系，体会用代数方法处 理几何问题的思想，感受形与数的对立与统一。根据本节课的教学内容和我所教学 生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面： (1)知识与技能 结合几何直观图形，感受 17 世纪数学史上的创举-解析几何的核心思想。学生 能用定义来判断直线与圆的位置关系，体会“坐标法”解决平面解析几何问题三步 曲，体会几何法和代数法求解优越性。 (2)过程与方法 通过解析几何的思想方法渗透，让学生感受代数方法解决几何问题，几何直观 解释代数结论的对立统一关系。 (3)情感态度与价值观 数学文化中蕴含的数学思想“坐标法”，让学生深刻的感受到数学思想是历史发 展的产物，更坚定了学生学习数学的兴趣。数学推动 17 世纪社会的社会、经济的 飞跃，也推动现今社会的发展，是学生爱国教育的新视角。 【教学重点】 1、解析几何核心思想“坐标法”的理解，灵活应“代数法”和 “几何法”判断直 线与圆的位置关系 【教学难点】体会“坐标法”解决平面解析几何问题三步曲的方法，并能灵活进行 几何直观与代数运算的转化 【教法学法】 为了实现上述教学目标，本节课采取以下教学方法 （1）恰当的利用多媒体课件，通过学生身边的实际生活问题引入课题，拉近数学 与现实的距离，激发学生的问题意识和求知欲，调动学生主体参与的积极性。 （2）采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动额层层深入，站 在学生思维的最近发展区上启发诱导
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) (3)在整个数学教学过程中,既要体现学生的主体地位,更要强调教师的主导地 位,在科学讲授的同时教会学生清晰的思维和严谨的推理。 学法上注重以下几点 (1)让学生从代数和几何两个角度来解决直线与圆的位置关系问题,并体会几何 法的优越性 2)在用几何法解决直线与圆的位置关系时,要能够明确运算方向,把握关键步 骤,正确的处理较为复杂数据。 【授课类型】新授课。 【课时安排】2课时 【教具】多媒体、翻页笔、粉笔 教学流程图 【教学过程】 情境导入 探究用“坐标法 知识应用 数学息都方法 研究能与■的位量关系 直与圆位关系判断 12分钟 能力提升 11分钟
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） （3）在整个数学教学过程中，既要体现学生的主体地位，更要强调教师的主导地 位，在科学讲授的同时教会学生清晰的思维和严谨的推理。 学法上注重以下几点： （1）让学生从代数和几何两个角度来解决直线与圆的位置关系问题，并体会几何 法的优越性； （2）在用几何法解决直线与圆的位置关系时，要能够明确运算方向，把握关键步 骤，正确的处理较为复杂数据。 【授课类型】新授课。 【课时安排】2 课时。 【教具】多媒体、翻页笔、粉笔。 【教学过程】 情境导入 数学思想方法 5分钟 探究用“坐标法” 研究直线与圆的位置关系 12分钟 “知识应用 直线与圆位置关系判断 8分钟 能力提升 综合应用 11分钟 课时小结 2分钟 作业布置 2分钟
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) 教学用 教学内容 师生互动 设计意图 环节时 情景导入数学文化 以解析几何的产 (1)解析几何的产生 生、形成、价值思 (2)解析几何的形成 想引入,让学生数 (3)解析几何的价值 学文化中感受数学 (4)解析几何的核心思想 设置问题串思想方法是历史发 从古希腊时起,代数与几何这引导学生思展的产物,是社会 两个古老的分支,独立的存在与发考。学生参发展的动力。 展 与活动,积本节课是在古人 解析几何成为17世纪最重要极完成老师|智慧的引领下用 课分 的数学成就之一,其创立归功于法布置的任“坐标法”研究 导|钟 国数学家笛卡儿和费马 务,回答老《直线与圆的位置 入 《几何学》把对立的两个对象师的提问,关系》激发学生学 数”与“形”统一起来 自主完成思习兴趣,培养学生 笛卡尔阐明了平面直角坐标系,给考 人文素养,使学生 坐标与点赋予新的意义,用方程表 既可以宏观了解解 示曲线,把几何问题转化为代数的 析几何背景,更让 问题。 学生感受数学价 值。 运用“坐标法”探究直线与 从学生已有认知 圆的位置关系 基础出发,温故而 问题1:根据初中所学,直线与圆教师以问题串|知新 的位置关系有哪几种? 的方式进行层利用几何画板任 问题2:如何判断直线与圆的位置层递进引入。作直线和圆,学生 关系? 采用单独提问进行观察判断。直 探究直 探究:判断直线与圆的位置关系和集体回答的观判断产生认知冲 用几何画板做圆A,直线CD学生方式调动学生突时,引导学生运 可以直观判断出相交、相离、当直思考。 用定量分析解决问
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 教学 环节 用 时 教学内容 师生互动 设计意图 一、 新 课 导 入 5 分 钟 一、情景导入-数学文化 (1) 解析几何的产生 (2) 解析几何的形成 （3）解析几何的价值 (4) 解析几何的核心思想 从古希腊时起，代数与几何这 两个古老的分支，独立的存在与发 展。 解析几何成为 17 世纪最重要 的数学成就之一，其创立归功于法 国数学家笛卡儿和费马. 《几何学》把对立的两个对象 “ 数” 与“ 形” 统一起来。 笛卡尔阐明了平面直角坐标系，给 坐标与点赋予新的意义，用方程表 示曲线，把几何问题转化为代数的 问题。 教 设置问题串 引导学生思 考。学生参 与活动，积 极完成老师 布置的任 务，回答老 师的提问， 自主完成思 考。 以解析几何的产 生、形成、价值思 想引入，让学生数 学文化中感受数学 思想方法是历史发 展的产物，是社会 发展的动力。 本节课是在古人 智慧的引领下用 “坐标法”研究 《直线与圆的位置 关系》激发学生学 习兴趣，培养学生 人文素养，使学生 既可以宏观了解解 析几何背景，更让 学生感受数学价 值。 二、 探 究 直 1 2 分 钟 二、运用“坐标法”探究直线与 圆的位置关系 问题 1：根据初中所学，直线与圆 的位置关系有哪几种？ 问题 2：如何判断直线与圆的位置 关系？ 探究：判断直线与圆的位置关系 用几何画板做圆 A，直线 CD.学生 可以直观判断出相交、相离、当直 教师以问题串 的方式进行层 层递进引入。 采用单独提问 和集体回答的 方式调动学生 思考。 从学生已有认知 基础出发，温故而 知新。 利用几何画板任 作直线和圆，学生 进行观察判断。直 观判断产生认知冲 突时，引导学生运 用定量分析解决问
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) 线CD与圆的位置如图所示,让学 题。学生运用 生判断。 结合图形直观“坐标法”,建立 线与圆的位置关系 引导学生积极直角坐标系,用坐 地进行思维冲标表示点,用方程 突,引导学生表示曲线,借助点 思考如何定量到线的距离d,与 问题3:观察直线CD与圆的位置|分析来考虑。半径r进行比较进 关系,如何进行定量分析? 本环节中以学行定量分析。(这 建立平面直角坐标系,把圆心用坐/生个别回答为种引导分析方法恰 标表示,求出点A到直线的CD的主引导学生,好符合历史相似 距离d与半径r进行比较。 集体回答辅|性)-利用坐标法 问题4:还有什么方法可以判断直/助,调动学生解决平面解析几何 线与圆的位置关系? 人人参与思考的“三步曲”。引 联立直线与圆的方程,消去y,/与活动。 导学生思考可否用 别的方法定量分 判断△与0的大小关系,从而得出 直线与圆的位置关系。 析?引出代数法 总结探究:为了解决几何问题进 在学生自主回答的 基础上,让学生对 行定量分析,引出“坐标法”解决 平面几何问题的三步曲。(1)建 两种方法进行命 立直角坐标系;(2)代数运算; 名。比较“几何 法”与“代数法” (3)几何结论。 的优越性 知识应用 例1问题(1)可 先让学生独以两种方法判断, 勾/6例直线:3x+y-6=0和 立思考、尝试|培养学生解决问题 次/分圆C:x2+(y-1)=5 /钟(试判断直线和圆C的位置关示/解决,再个别的能力:问题 回答、集体探|(2)求弦长,引 (2)求直线l截圆C所得的弦长 讨。暴露学生导学生将几何问题 用 (3)求直线和圆C相交的交点坐标 思维,并引导代数处理;问题
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 线 与 圆 的 位 置 关 系 线 CD 与圆的位置如图所示，让学 生判断。 问题 3：观察直线 CD 与圆的位置 关系，如何进行定量分析？ 建立平面直角坐标系，把圆心用坐 标表示，求出点 A 到直线的 CD 的 距离 d 与半径 r 进行比较。 问题 4：还有什么方法可以判断直 线与圆的位置关系？ 联立直线与圆的方程，消去 y， 判断 与 0 的大小关系，从而得出 直线与圆的位置关系。 总结探究：为了解决几何问题进 行定量分析，引出“坐标法”解决 平面几何问题的三步曲。（1）建 立直角坐标系；（2）代数运算； （3）几何结论。 结合图形直观 引导学生积极 地进行思维冲 突，引导学生 思考如何定量 分析来考虑。 本环节中以学 生个别回答为 主引导学生， 集体回答辅 助，调动学生 人人参与思考 与活动。 题。学生运用 “坐标法”，建立 直角坐标系，用坐 标表示点，用方程 表示曲线，借助点 到线的距离 d，与 半径 r 进行比较进 行定量分析。（这 种引导分析方法恰 好符合历史相似 性）-利用坐标法 解决平面解析几何 的“三步曲”。引 导学生思考可否用 别的方法定量分 析？引出代数法， 在学生自主回答的 基础上，让学生对 两种方法进行命 名。比较“几何 法”与“代数法” 的优越性。 三、 知 识 应 用 6 分 钟 三、知识应用： (3) . (2) (1) ( 1) 5. 1. 3 6 0 2 2 求直线 和圆 相交的交点坐标 求直线 截圆 所得的弦长； 试判断直线 和圆 的位置关系； 圆 ： 例 直线 ： 和 l C l C l C C x y l x y + − = + − = 先让学生独 立思考、尝试 解决，再个别 回答、集体探 讨。暴露学生 思维，并引导 例 1 问题（1）可 以两种方法判断， 培养学生解决问题 的能力；问题 （2）求弦长，引 导学生将几何问题 代数处理；问题
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) 学生分析两种(3)曲线交点问 方法优越性。题,引导学生理解 点在曲线上,则 点坐标符合曲线方 程”的内涵 四、能力提升综合应 例2对学生计算 例2已知直线/:kx-y+2k=0和 引导学生思能力要求较高,让 圆C:x2+y2=1 考,找准问题学生感悟“几何 试问:k为何值时,直线与圆C相切? 四 变式:k为何值时,直线与圆相交解决切入点,法”在运算量上的 能|1变式:为何值时,直线与圆C相离{通过学生独立优越性。 力|2 思考和小组交渗透一题多解, 提 流,结合学生通过寻找方程蕴涵 升|钟 板演进 几何意义(动直线 练习过程过定点),巧妙解 中,教师做好决。同时引导学生 课堂巡视,加|感受“数”“形” 强个别指导。巧妙结合的美。 五、课时小结 回顾本节课所 课|21.两种方法:几何法、代数法; 注重数学思想方法 学知识,提炼 时|分2.一种思想:解析几何思想方法 的提炼,可使学生 思想方法 小|钟|3.一种感悟,数学的文化背景。 逐渐把经验内化为 悟数学文化 结 能力。 六、作业布置 六 1.书面作业: 提高学生知识的应 作|2课本P132页习题4.2A组1 要求学生独立用能力 业分2、及导学案思考题 布钟2.弹性作业 思考如何判断圆与圆的位置关 系
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 学生分析两种 方法优越性。 （3）曲线交点问 题，引导学生理解 “点在曲线上，则 点坐标符合曲线方 程”的内涵。 四、 能 力 提 升 1 2 分 钟 四、能力提升综合应 变式 ： 为何值时，直线与圆 相离？ 变式 ： 为何值时，直线与圆 相交？ 试问： 为何值时，直线与圆 相切？ 圆 例 已知直线 和 k l C k l C k l C C x y l k x y k 1 1 : 1. 2. : 2 0 2 2 + = − + = 引导学生思 考，找准问题 解决切入点， 通过学生独立 思考和小组交 流，结合学生 板演进。 练习过程 中，教师做好 课堂巡视，加 强个别指导。 例 2 对学生计算 能力要求较高，让 学生感悟“几何 法”在运算量上的 优越性。 渗透一题多解， 通过寻找方程蕴涵 几何意义（动直线 过定点），巧妙解 决。同时引导学生 感受“数”“形” 巧妙结合的美。 五、 课 时 小 结 2 分 钟 五、课时小结 1.两种方法：几何法、代数法； 2.一种思想：解析几何思想方法； 3.一种感悟，数学的文化背景。 回顾本节课所 学知识，提炼 思想方法、感 悟数学文化。 注重数学思想方法 的提炼，可使学生 逐渐把经验内化为 能力。 六、 作 业 布 置 2 分 钟 六、作业布置 1. 书面作业： 课本Ｐ132 页习题 4.2 A 组 1、 2、及导学案思考题 2. 弹性作业： 思考如何判断圆与圆的位置关 系。 要求学生独立 完成 提高学生知识的应 用能力
§4.2.1直线与圆的位置关系(第1课时) §4.2.1直线与圆的位置关系 、坐标法 板书设计 引例几何法代数法 直线与圆的位置关系 几何法代数法 知识应用例1、例2 四、课堂小结 教学反思
§4.2.1 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 板 书 设 计 §4.2.1 直线与圆的位置关系 一、坐标法 引例 几何法 代数法 二、直线与圆的位置关系 几何法 代数法 三、知识应用例 1、例 2 四、课堂小结 教 学 反 思