人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.3 空间直角坐标系习题(5).doc_大学文库

4．一束光线自点 P（1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（） A． 37 B． 47 C． 33 D． 57 【解答】解：点 P（1，1，1）平面 xoy 的对称点的 M 坐标（1，1，-1），一束光线自点 P （1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是： 2 2 2 (3 −1) + (3 −1) + (6 +1) = 57 ．故选 D． 5．点 P（x，y，z）满足 2 2 2 (x −1) + ( y −1) + (z +1) =2，则点 P 在（） A．以点（1，1，-1）为圆心，以 2 为半径的圆上 B．以点（1，1，-1）为中心，以 2 为棱长的正方体上 C．以点（1，1，-1）为球心，以 2 为半径的球面上 D．无法确定【解答】解：式子 2 2 2 (x −1) + (y −1) + (z +1) =2 的几何意义是动点 P（x，y，z）到定点（1，1，-1）的距离为 2 的点的集合．故选 C． 6．若 A、B 两点的坐标是 A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（） A．[0，5] B．[1，5] C.（1，5） D．[1，25] 【解答】解：由题意可得|AB|= 2 2 (3cos − 2cos ) + (3sin  − 2sin ) = 9 + 4 −12cos cos + sin sin  = 13−12cos( − ) ． ∵-1≤cos（α-β）≤1，∴1≤13-12cos（α-β）≤25，∴1≤ 13−12cos( − ) ≤5，故选 B． 7．在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）C ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，﹣y，z）； ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2（x，﹣y，﹣z）； ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，﹣y，z）； ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（﹣x，﹣y，﹣z）． A．3 B．2 C．1 D．0 8．设 A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则 AB 中点 M 到 C 点的距离为（）C A． B． C． D． 9．点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的正投影，则|OB|等于（）B A． B． C． D． 10．已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点 D 的坐标为（）D A．（3.5，4，﹣1） B．（2，3，1） C．（﹣3，1，5） D．（5，13，﹣3） 11．已知点 A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么 x，y 的值分别是（）C A．0.5，4 B．1，8 C．-0.5，﹣4 D．﹣1，﹣8 12．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是（ A）

A． B． C． D．二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为 P1，P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2，则|P1P2|= ____2 14 【解答】解：∵点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为 P1，所以 P1（-1，2，-3），P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2，所以 P2（1，-2，3）， ∴|P1P2|= 2 2 2 (−1−1) + (2 + 2) + (−3 − 3) =2 14 ．故答案为：2 14 14．已知三角形的三个顶点为 A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则 BC 边上的中线长为 _____________2 11 【解答】解：∵B（3，2，-6），C（5，0，2），∴BC 边上的中点坐标是 D（4，1，-2） ∴BC 边上的中线长为 2 2 2 (4 − 2) + (1+1) + (−2 − 4) =2 2 ，故答案为：2 11 15．已知 x，y，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么 x 2+y2+z2 的最小值是 ____________27-10 2 ．【解答】解：由题意可得 P（x，y，z），在以 M（3，4，0）为球心， 2 为半径的球面上， x 2+y2+z2 表示原点与点 P 的距离的平方，显然当 O，P，M 共线且 P 在 O，M 之间时，|OP| 最小，此时|OP|=|OM|- 2 = 3 4 2 + - 2 =5 2 ，所以|OP|2=27-10 2 ．故答案为：27-10 2 ． 16. 已知点 A（﹣3，1，4），则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为；AB 的长为．（3，-1，-4）2 三、解答题（共 70 分） 17．如图所示，过正方形 ABCD 的中心 O 作 OP⊥平面 ABCD，已知正方形的边长为 2， OP=2，连接 AP、BP、CP、DP，M、N 分别是 AB、BC 的中点，以 O 为原点，射线 OM、 ON、OP 分别为 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若 E、F 分别为 PA、 PB 的中点，求 A、B、C、D、E、F 的坐标．解：【解答】解：如图所示，B 点的坐标为（1，1，0），因为 A 点关于 x 轴对称，得 A（1，-1，0），C 点与 B 点关于 y 轴对称，得 C（-1，1，0）， D 与 C 关于 x 轴对称，的 D（-1，-1，0），又 P（0，0，2），E 为 AP 的中点，F 为 PB 的中点，由中点坐标公式可得 E（0.5，-0.5，1），F（0.5，0.5，1）．

18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0（4，1，2）的距离为 30 ；（2）在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1）的距离最小．解：【解答】解：（1）设点 P 的坐标是（x，0，0），由题意|P0P|= 30 ，即 2 2 2 (x − 4) +1 + 2 = 30 ，∴（x-4）2=25．解得 x=9 或 x=-1． ∴点 P 坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点 M（x，1-x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（2）设点 M（x，1-x，0）则|MN|= 2( 1) 51 2 x − + ∴当 x=1 时，|MN|min= 51 ．∴点 M 的坐标为（1，0，0）时到点 N（6，5，1）的距离最小． 19．已知空间直角坐标系 O-xyz 中点 A（1，1，1），平面 α 过点 A 且与直线 OA 垂直，动点 P（x，y，z）是平面 α 内的任一点．（1）求点 P 的坐标满足的条件；（2）求平面 α 与坐标平面围成的几何体的体积．解：【解答】解：（1）因为 OA⊥α，所以 OA⊥AP，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即 3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面 α 与 x 轴、y 轴、z 轴的点分别为 M、N、H，则 M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=3 2 ，所以等边三角形 MNH 的面积为： 3 /4×(3 2 ) 2=9 3 /2．又|OA|= 3 ，故三棱锥 0-MNH 的体积为： 3 1 ×9 3 /2× 3 =4.5． 20．如图，已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 a，M 为 BD′的中点，点 N 在 A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求 MN 的长．【解答】解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为 a，所以 B（a，a， 0），A'（a，0，a），C'（0，a，a），D'（0，0，a）．由于 M 为 BD'的中点，取 A'C'中点 O',所以 M（ 2 a ， 2 a ， 2 a ），O'（ 2 a ， 2 a ，a）．因为|A'N|=3|NC'|，所以 N 为 A'C'的四等分, 从而 N 为 O'C'的中点，故 N（ 4 a ， 4 3 a，a）．根据空间两点距离公式，可得|MN|＝ 2 2 2 ) 2 ) ( 4 3 2 ) ( 2 4 ( a a a a a a − + − + − ＝ 4 6 a 21．在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，1）和 B（1，0，﹣3），试问

人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.3 空间直角坐标系习题(5)

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