直线和圆的位置关系( 教学目标 (一)教学知识点 1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系 2.了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系 (二)能力训练要求 1.经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力 2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关 系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化 (三)情感与价值观要求 通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的 严谨性以及数学结论的确定性 在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心 教学重点 经历探索直线与圆位置关系的过程 理解直线与圆的三种位置关系 了解切线的概念以及切线的性质 教学难点 经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系 探索圆的切线的性质. 教学方法 教师指导学生探索法 教具准备 投影片三张 第一张:(记作A) 第二张:(记作B) 第三张:(记作C) 教学过程 创设问题情境,引入新课 [师]我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些?
直线和圆的位置关系（一） 教学目标 (一)教学知识点 1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． (二)能力训练要求 1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力． 2．通过观察得出“圆心到直线的距离 d 和半径 r 的数量关系”与“直线和圆的位置关 系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化． (三)情感与价值观要求 通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的 严谨性以及数学结论的确定性． 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 经历探索直线与圆位置关系的过程． 理解直线与圆的三种位置关系． 了解切线的概念以及切线的性质． 教学难点 经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系． 探索圆的切线的性质． 教学方法 教师指导学生探索法． 教具准备 投影片三张 第一张：(记作 A) 第二张：(记作 B) 第三张：(记作 C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距 离等于半径:圆的内部到圆心的距离小于半径:圆的外部到圆心的距离大于半径.因此点和 圆的位置关系有三种,即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离和半径 作比较,若距离大于半径在圆外,等于半径在圆上,小于半径在圆内 [师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系 Ⅱ.新课讲解 1.复习点到直线的距离的定义 [生]从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条 直线的距离 如下图,C为直线AB外一点,从C向AB引垂线,D为垂足,则线段CD即为点C到直 线AB的距离. 2.探索直线与圆的三种位置关系 [师]直线和圆的位置关系,我们在现实生活中随处可见,只要大家注意观察,这样的 例子是很多的.如大家请看课本113页,观察图中的三幅照片,地平线和太阳的位置关系怎 样?作一个圆,把直尺的边缘看成一条直线,固定圆,平移直尺,直线和圆有几种位置关系? [生]把太阳看作圆,地平线看作直线,则直线和圆有三种位置关系;把直尺的边缘看 成一条直线,则直线和圆有三种位置关系 [师]从上面的举例中,大家能否得出结论,直线和圆的位置关系有几种呢? [生]有三种位置关系 [师]直线和圆有三种位置关系,如下图: 它们分别是相交、相切、相离
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距 离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和 圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径 作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内． [师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系． Ⅱ．新课讲解 1．复习点到直线的距离的定义 [生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条 直线的距离． 如下图，C 为直线 AB 外一点，从 C 向 AB 引垂线，D 为垂足，则线段 CD 即为点 C 到直 线 AB 的距离． 2．探索直线与圆的三种位置关系 [师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的 例子是很多的．如大家请看课本 113 页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎 样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？ [生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看 成一条直线，则直线和圆有三种位置关系． [师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？ [生]有三种位置关系： [师]直线和圆有三种位置关系，如下图： 它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线( tangen 当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交 当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离 因此,从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系,你能总结吗? [生]当直线与圆有唯一公共点时,这时直线与圆相切 当直线与圆有两个公共点时,这时直线与圆相交 当直线与圆没有公共点时,这时直线与圆相离 [师]能否根据点和圆的位置关系,点到圆心的距离d和半径r作比较,类似地推导出 如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢? [生]如上图中,圆心O到直线的距离为d,圆的半径为r,当直线与圆相交时,dr,因此可以用d与r间的大小关系断定 直线与圆的位置关系 [师]由此可知:判断直线与圆的位置关系有两种方法.一种是从直线与圆的公共点的 个数来断定;一种是用d与r的大小关系来断定 投影片(A) 「(1)从公共点的个数来判断 直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交:直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切 直线与圆没有公共点时,直线与圆相离 (2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断: dr时,直线与圆相离 投影片(B) [例1己知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切? (2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎 样的位置关系? 分析:根据d与r间的数量关系可知:
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)． 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？ [生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离． [师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离 d 和半径 r 作比较，类似地推导出 如何用点到直线的距离 d 和半径 r 之间的关系来确定三种位置关系呢？ [生]如上图中，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，圆的半径为 r，当直线与圆相交时，d＜r； 当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用 d 与 r 间的大小关系断定 直线与圆的位置关系． [师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的 个数来断定；一种是用 d 与 r 的大小关系来断定． 投影片(A) (1)从公共点的个数来判断： 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切； 直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． (2)从点到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断： d＜r 时，直线与圆相交； d＝r 时，直线与圆相切； d＞r 时，直线与圆相离． 投影片(B) [例 1]已知 Rt△ABC 的斜边 AB＝8cm，AC＝4cm． (1)以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C 相切？ (2)以点 C 为圆心，分别以 2cm 和 4cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎 样的位置关系？ 分析：根据 d 与 r 间的数量关系可知：
d=r时,相切;dr时,相离 解:(1)如上图,过点C作AB的垂线段CD AC=4cm, AB=8cm AC 1 AB 2 ∴∠A=60 C=ACsinA=4sin60 因此,当半径长为2V3cm时,AB与⊙C相切 (2)由(1)可知,圆心C到AB的距离在=2√3cm,所以,当r=2cm时,D>n,⊙C与 AB相离; 当r=4cm时,d<r,⊙C与AB相交 议一议(投影片C) (1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗? 2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗? (3)如图(2),直线CD与⊙0相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说一 说你的理由 图(2) 对于(3),小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD.你同意他们的观点吗? [师]请大家发表自己的想法 [生](1)把一只筷子放在碗上,把碗看作圆,筷子看作直线,这时直线与圆相交 自行车的轮胎在地面上滚动,车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相切
d＝r 时，相切；d＜r 时，相交；d＞r 时，相离． 解：(1)如上图，过点 C 作 AB 的垂线段 CD． ∵AC＝4cm，AB＝8cm； ∴cosA＝ ， ∴∠A＝60°． ∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2 (cm)． 因此，当半径长为 2 cm 时，AB 与⊙C 相切． (2)由(1)可知，圆心 C 到 AB 的距离 d＝2 cm，所以，当 r＝2cm 时，d＞r，⊙C 与 AB 相离； 当 r＝4cm 时，d＜r，⊙C 与 AB 相交． 3．议一议(投影片 C) (1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？ (2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ (3)如图(2)，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一 说你的理由． 对于(3)，小颖和小亮都认为直径 AB 垂直于 CD．你同意他们的观点吗？ [师]请大家发表自己的想法． [生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交； 自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；
杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相离. (2)图(1)中的三个图形是轴对称图形.因为沿着d所在的直线折叠,直线两旁的部分 都能完全重合.对称轴是d所在的直线,即过圆心O且与直线1垂直的直线 (3)所谓两条直线的位置关系,即为相交或平行,相交又分垂直和斜交,直线CD与⊙O 相切于点A,直径AB与直线CD垂直,因为图(2)是轴对称图形,AB是对称轴,所以沿AB 对折图形时,AC与AD重合,因此∠BAC=∠BAD=90 [师]因为直线D与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD垂直,直线D是⊙O的切线 因此有圆的切线垂直于过切点的直径. 这是圆的切线的性质,下面我们来证明这个结论 在图(②2)中,AB与CD要么垂直,要么不垂直.假设AB与CD不垂直,过点O作一条直 径垂直于CD垂足为M,则OMOA,即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此CD 与⊙O相交,这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾,所以AB与CD垂直 这种证明方法叫反证法,反证法的步骤为第一步假设结论不成立:第二步是由结论不 成立推出和已知条件或定理相矛盾.第三步是肯定假设错误,故结论成立 Ⅲ.课堂练习 随堂练习 Ⅳ.课时小结 本节课学习了如下内容: 1.直线与圆的三种位置关系 (1)从公共点数来判断 (2)从d与r间的数量关系来判断 2.圆的切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径 3.例题讲解. V.课后作业 习题3.7 Ⅵ.活动与探究 如下图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处,并以每小时10 千米的速度向北偏东60°的BF方向移动,距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域
杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离． (2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着 d 所在的直线折叠，直线两旁的部分 都能完全重合．对称轴是 d 所在的直线，即过圆心 O 且与直线 l 垂直的直线． (3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB 是对称轴，所以沿 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°． [师]因为直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 垂直，直线 CD 是⊙O 的切线， 因此有圆的切线垂直于过切点的直径． 这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论． 在图(2)中，AB 与 CD 要么垂直，要么不垂直．假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作一条直 径垂直于 CD、垂足为 M，则 OM＜OA，即圆心 O 到直线 CD 的距离小于⊙O 的半径，因此 CD 与⊙O 相交，这与已知条件“直线 CD 与⊙O 相切”相矛盾，所以 AB 与 CD 垂直． 这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不 成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．直线与圆的三种位置关系． (1)从公共点数来判断． (2)从 d 与 r 间的数量关系来判断． 2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 3．例题讲解． Ⅴ．课后作业 习题 3．7 Ⅵ．活动与探究 如下图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 300 千米的 B 处，并以每小时 10 千米的速度向北偏东 60°的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围是受台风影响的区域．
(1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么? (2)若A城受到这次台风的影响,试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长 分析:因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心,半径为200千米的圆,A城能 否受到影响,即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小.若△>200,则无影响, 若d≤200,则有影响 解:(1)过A作AC⊥BF于C 在Rt△ABC中,∵∠CBA=30°,B=300, ∴AC=ABin30°=300×2=150(千米) AC<200,∴A城受到这次台风的影响. (2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米,则台风中心在线段DE上时,对A城均 有影响,而在DE以外时,对A城没有影响 AC=150,AD=AE=200 C=2001502=50 ∴DE=2DC=100 s100√7 ∴.t=v 10√7 =10(小时) 答:A城受影响的时间为10小时
(1)A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？ (2)若 A 城受到这次台风的影响，试计算 A 城遭受这次台风影响的时间有多长？ 分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为 200 千米的圆，A 城能 否受到影响，即比较 A 到直线 BF 的距离 d 与半径 200 千米的大小．若 d＞200，则无影响， 若 d≤200，则有影响． 解：(1)过 A 作 AC⊥BF 于 C． 在 Rt△ABC 中，∵∠CBA＝30°，BA＝300， ∴AC＝ABsin30°＝300× ＝150(千米)． ∵AC＜200，∴A 城受到这次台风的影响． (2)设 BF 上 D、E 两点到 A 的距离为 200 千米，则台风中心在线段 DE 上时，对 A 城均 有影响，而在 DE 以外时，对 A 城没有影响． ∵AC＝150，AD＝AE＝200， ∴DC＝ ． ∴DE＝2DC＝100 ． ∴t＝ ＝10(小时)． 答：A 城受影响的时间为 10 小时．
板书设计 直线和圆的位置关系 、1.复习点到直线的距离的定义 2.探索直线与圆的三种位置关系 (1)从公共点个数来判断 (2)从点到直线的距离d与半径r间的数量关系来判断. 3.议一议 课堂练习 随堂练习 三、课时小结 四、课后作业
板书设计 直线和圆的位置关系(一) 一、1．复习点到直线的距离的定义 2．探索直线与圆的三种位置关系 (1)从公共点个数来判断 (2)从点到直线的距离 d 与半径 r 间的数量关系来判断． 3．议一议 二、课堂练习 随堂练习 三、课时小结 四、课后作业