题目 §2.2.1圆的标准方程 年级 高一年级 教学方式 多媒体教学 课型 新授课 教具 纸、剪刀、黑板,彩色粉笔 直尺,圆规 教学方法 启发式教学,讲解法 l、知识与技能目标: 1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程 2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟 练地求出圆心和半径;由不同的已知条件求得圆的标准方程。 3.掌握点与圆位置关系的判定 2、过程与方法目标 教学目标 1.进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力:加深对数形结合思想 的理解和加强对待定系数法的运用 2.利用圆的标准方程解决简单的实际问题,加强学生理论联系实际的能力。 3、情感态度与价值观目标 1.培养学生主动探究知识、合作交流的意识; 2.在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。 重点 圆的标准方程的求法及应用 根据不同的已知条件求圆的标准方程 难点 选择恰当的直角坐标系解决与圆有关的实际问题
题目 §2.2.1 圆的标准方程 年级 高一年级 教学方式 多媒体教学 课型 新授课 教 具 纸、剪刀、黑板, 彩色粉笔， 直尺，圆规 教学方法 启发式教学，讲解法 教 学 目 标 1、知识与技能目标： 1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程； 2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟 练地求出圆心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程。 3.掌握点与圆位置关系的判定 2、过程与方法目标 1.进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想 的理解和加强对待定系数法的运用； 2.利用圆的标准方程解决简单的实际问题，加强学生理论联系实际的能力。 3、情感态度与价值观目标 1.培养学生主动探究知识、合作交流的意识； 2.在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。 重 点 圆的标准方程的求法及应用。 难 点 根据不同的已知条件求圆的标准方程； 选择恰当的直角坐标系解决与圆有关的实际问题
项目 具体内容 教师学生教学 活动活动意图 利用裁 情 教师准备一张弓形的纸和一张矩形的纸 纸的方 引|裁出一个长为8m,宽为4cm的矩形?你是如何做出教师上台动/ 境 教师设问:在一张半径为5cm的半圆纸上,能否 式引 入|判断的? 提问。 激发了 学生通过观察,发现能否裁出与弓形有关,引入 手实践|学生的 新课:研究圆的方程 学习兴 复 上节课我们己经学过直线方程的概念,直线斜率 直线 习|及直线方程的常见表达式,我们知道了关于x,y的二 的方 引元一次方程都表示一条直线,那么曲线方程会有怎样 程引 入的表达式呢?这节课让我们一起来学习最常见的曲线 出圆 圆的方程的第一节圆的标准方程 教学 过程 确定圆的条件 教师 那同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有在黑 关知识,么哪一位同学来回答圆的概念? 板上 是的,平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹引导 称为圆。定点是圆心,定长是圆的半径。圆心和半径启发 分别确定了圆的位置和大同学 讲授新课 起建 二、圆的标准方程 的标 现在我们求以C(a,b)准方 X为圆心,r为半径的圆的方程,加 程 深学 引出 首先我们建立一个直角坐标系,设点M(x,y)生学 圆的 是圆上任意一点,那点M在圆上的条件是M=r,那习印 标准 么由我们已经学过的两点间的距离公式,所说条件可象 方程 以转化为方程表示 √(x-a2+(y-b)2=r 将上式两边平方得:(x-a)2+(y-b)2=r2 显然,圆上任意一点M的坐标(x,y)适合方程(1) 如果平面上一点M的坐标(x,y)适合方程(1),可 得|MC|=r,则点M在圆上 所以方程(1)是以C(a,b)为圆心、r为半径的圆
项 目 具 体 内 容 教 师 活 动 学 生 活 动 教 学 意 图 教学 过程 情 境 引 入 教师准备一张弓形的纸和一张矩形的纸。 教师设问：在一张半径为 5cm 的半圆纸上，能否 裁出一个长为 8cm，宽为 4cm 的矩形？你是如何做出 判断的？ 学生通过观察，发现能否裁出与弓形有关，引入 新课：研究圆的方程。 教 师 提问。 上台动 手实践 利用裁 纸的方 式引入 新课， 激发了 学生的 学习兴 趣。 复 习 引 入 上节课我们已经学过直线方程的概念，直线斜率 及直线方程的常见表达式，我们知道了关于 x，y 的二 元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样 的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线 ----圆的方程的第一节圆的标准方程。 类 比 直 线 的 方 程 引 出 圆 的 方 程。 讲 授 新 课 一、确定圆的条件 那同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有 关知识，么哪一位同学来回答圆的概念？ 是的，平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹 称为圆。定点是圆心，定长是圆的半径。圆心和半径 分别确定了圆的位置和大 小． 二、圆的标准方程 现在我们求以 C（a，b） 为圆心，r 为半径的圆的方 程 首先我们建立一个直角坐标系，设点 M（x，y） 是圆上任意一点，那点 M 在圆上的条件是|MC|=r，那 么由我们已经学过的两点间的距离公式，所说条件可 以转化为方程表示： 将上式两边平方得：(x-a)2 +(y-b)2 =r 2． (1) 显然，圆上任意一点 M 的坐标（x，y）适合方程（1）； 如果平面上一点 M 的坐标（x，y）适合方程（1），可 得|MC|=r，则点 M 在圆上。 所以方程(1)是以 C(a，b)为圆心、r 为半径的圆 教 师 在 黑 板 上 引 导 启 发 同 学 们 一 起 建 立 圆 的 标 准 方 程，加 深 学 生 学 习 印 象。 引 出 圆 的 标 准 方程
的方程.我们把它叫做圆的标准方程 那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特 同学独 点?思考一下当圆心在原点时,x轴上,y轴上时 考,给 圆的方程是什么? 出答 这是二元二次方程,展开后没有x项,括号内变|提醒案 数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的注意 坐标和圆的半径 圆 且当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2 在不 同位 圆心在x轴上时:(x-a)2+y2=r2(r≠0 圆心在y轴上时:x2+(y-b)2=r2(r≠0) 标准 方程 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确的不 讲定了圆,所以,只要a,b,r三个量确定了且r>0,同形 教学授圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须式 过程新具备三个独立的条件,注意,确定a、b、r,可以根 确定 课据条件,利用待定系数法来解决 圆的 标准 口头练习 方程 例1说出下列圆的圆心和半径 的必 (1)(x-3)2+(y-2)2=5 要条 (2)(2x+4)2+(2y-4) 学生独件。 (3)(x+2)2+y2=m2(m≠0) 总结:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它 结 的圆心和半径 例2 (1)圆心在原点,半径是3的圆是 (2)以(8,3)为圆心,且过点(5,1)的圆的注意 方程为 提醒 总结:根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标同学 准方程 三、点与圆的位置关系 准确。 容易看出 ①如果点M。(x。,y。)在圆外,则点到圆心 的距离大于圆的半径r,即 ②如果点M。(x。,y。)在圆上,则点到圆心
教学 过程 讲 授 新 课 的方程．我们把它叫做圆的标准方程。 那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特 点？思考一下当圆心在原点时， x 轴上， y 轴上时， 圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有 xy 项，括号内变 数 x，y 的系数都是 1．点(a，b)、r 分别表示圆心的 坐标和圆的半径． 且当圆心在原点即 C（0,0）时，方程为 2 2 2 x + y = r 圆心在 x 轴上时： 2 2 2 (x − a) + y = r (r 0) 圆心在 y 轴上时： 2 2 2 x + (y −b) = r (r 0) 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确 定了圆，所以，只要 a，b，r 三个量确定了且 r＞0， 圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须 具备三个独立的条件．注意，确定 a、b、r，可以根 据条件，利用待定系数法来解决． 口头练习 例 1 说出下列圆的圆心和半径： (1)(x-3)2 +(y-2)2 =5； (2)(2x+4)2 +(2y－4)2 =8； (3)(x+2)2 + y2 =m 2 （m≠0） 总结：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它 的圆心和半径． 例 2、 (1)圆心在原点，半径是 3 的圆是___________. （2）以（8，-3）为圆心，且过点（5，1）的圆的 方程为_________________. 总结：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标 准方程． 三、点与圆的位置关系 容易看出： 如果点 M。（x。，y。）在圆外，则点到圆心 的距离大于圆的半径 r，即 2 2 0 2 0 (x − a) + ( y −b) r 如果点 M。（x。，y。）在圆上，则点到圆心 提 醒 学 生 注 意 圆 心 在 不 同 位 置 时 圆 的 标 准 方 程 的 不 同 形 式。 教 师 注 意 提 醒 同 学 语 言 精 练 准确。 同学独 立 思 考，给 出 答 案。 学生独 立 总 结。 确 定 圆 的 标 准 方 程 的 必 要 条 件
的距离等于圆的半径r,即 (x0-a)2+(y-b)2= 确定 点与 圆的 ③如果点M。(x。,y。)在圆内,则点到圆心 位置 的距离小于圆的半径r,即 关系 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 件。 例3.已知两点P(41,P2(-2.-3),求以线段PP为 直径的圆的方程,并判断点M(-1,-4),N(5,2)和 Q(2,0)是在圆上、圆内,还是在圆外? 总结:熟练掌握点与圆的位置关系的判定方法 教学/讲四、与圆有关的实际问题 授 再回到我们最初是提出的那个问题,如何用我们 过程新今天学的方法去解决这个问题呢? 课 问题:在一张半径为5cm的半圆纸上,能否裁出 教师 个长为8cm,宽为4cm的矩形? 书写 板书, 学生独答题 立思过程 教师考,自 亲自觉发 讲解|言。 解:根据题意列出该圆的方程为:x2+y2=25例题 的解 当x=4时,y=3,所以能裁出的长方形的宽最大为3,题过 所以不能裁出长为8cm,宽为4cm的长方形。 实际 用 例4如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆反应 定义 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用情况 法和 个支柱支撑,求支柱的长度(精确到0.01m) 给予 待定 适当 系数 提醒 法解 决求 圆的 A Al A2 0 A3 A4 B 方程 问题 学以 总结:用圆的标准方程去解决实际问题 致用。 课堂练习与提高
教学 过程 讲 授 新 课 的距离等于圆的半径 r，即 2 2 0 2 0 (x − a) + ( y − b) = r 如果点 M。（x。，y。）在圆内，则点到圆心 的距离小于圆的半径 r，即 2 2 0 2 0 (x − a) + ( y − b) r 例 3.已知两点 (4,1), ( 2, 3) P1 P2 − − ，求以线段 P1P2 为 直径的圆的方程，并判断点 M(-1,-4),N(5,2)和 Q(2,0)是在圆上、圆内,还是在圆外？ 总结：熟练掌握点与圆的位置关系的判定方法 四、与圆有关的实际问题 再回到我们最初是提出的那个问题，如何用我们 今天学的方法去解决这个问题呢? 问题:在一张半径为 5cm 的半圆纸上，能否裁出一 个长为 8cm，宽为 4cm 的矩形？ 解：根据题意列出该圆的方程为： 25 2 2 x + y = 当 x=4 时，y=3，所以能裁出的长方形的宽最大为 3， 所以不能裁出长为 8cm,宽为 4cm 的长方形。 例 4.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆 拱跨度 AB = 20m，拱高 OP=4m，在建造时每隔 4m 需用 一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到 0.01m）. 总结：用圆的标准方程去解决实际问题。 课堂练习与提高 教 师 亲 自 讲 解 例 题 的 解 题 过 程，看 同 学 反 应 情 况 给 予 适 当 提醒、 启发。 学生独 立 思 考，自 觉 发 言。 确 定 点 与 圆 的 位 置 关 系 的 条 件。 教 师 书 写 板书， 规 范 答 题 过程 实 际 应 用 定 义 法 和 待 定 系 数 法 解 决 求 圆 的 方 程 问题， 学 以 致用。 x y
1.圆心为(04),且过点(30)的圆的方程为()教师 x-+(y B 提醒 C 生 2.已知圆的方程为x-2)2+(y-3)2=4,则点做文 P(3,2)() 字叙学生自 A.是圆心 B.在圆上 述题。己练习 做题步 C.在圆内D.在圆外 骤,然 后独立 3.圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是() 思考 (2,1) B.(2,-1) 讲 C·(-2,1) (-2-1) 教学授 过程新 4.以原点为圆心,4为半径的圆的方程为() 课 同学在 B 16 课堂练|课堂 练习 C 名同学 D.(x-4)2+(y-4)2=16 在黑板同 演示演示 5.方程y=√9-x2表示的曲线是() 讲解, A.一条射线 B.一个圆 巩固 C.两条射线 D.半个圆 小组讨所学 论,课知识 6.圆C:(x-1)2+(y+2)=4,点P(xy)在圆C教师堂练 内部,且d=(x-13+(x+2)则有()启发习,找 4 D.d<4 学叙述 思路 7.求过原点和点P(1),且圆心在直线 x+3y+1=0上的圆的标准方程。 学生独 思 考,模 仿例题 的求解 过程
教学 过程 讲授新课 1. 圆心为 ( 0 , 4 ) ，且过点 ( 3 , 0 ) 的圆的方程为（ ） A ． ( 4 ) 25 2 2 x + y − = B ． ( 4 ) 25 2 2 x + y + = C ． ( 4 ) 25 2 2 x − + y = D ． ( 4 ) 25 2 2 x + + y = 2. 已知圆的方程为 ( 2 ) ( 3 ) 4 2 2 x − + y − = ，则点 P ( 3 , 2 ) （ ） A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 3. 圆 :( 2) ( 1) 3 2 2 C x − + y + = 的圆心坐标是（ ） A ． ( 2 , 1 ) B ． ( 2 , − 1 ) C ． ( − 2 , 1 ) D ． ( − 2 , − 1 ) 4. 以原点为圆心， 4 为半径的圆的方程为（ ） A ． 4 2 2 x + y = B ． 16 2 2 x + y = C ． 2 2 2 x + y = D ． ( 4 ) ( 4 ) 16 2 2 x − + y − = 5. 方程 2 y = 9 − x 表示的曲线是（ ） A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆 6. 圆 :( 1) ( 2) 4 2 2 C x − + y + = ，点 ( , ) 0 0 P x y 在圆 C 内部，且 2 0 2 0 d = ( x − 1 ) + ( y + 2 ) 则有（ ） A ． d 2 B ． d 2 C ． d 4 D ． d 4 7. 求过原点和点 P ( 1 , 1 ) ，且圆心在直线 2 x + 3 y + 1 = 0 上的圆的标准方程。 教 师 应 该 注 意 提 醒 学 生 熟 练 掌 握 做 文 字 叙 述题。 教 师 启 发 引导 。 学生自 己练习 做题步 骤，然 后独立 思考。 同学在 课堂练 习，一 名同学 在黑板 演示 小组讨 论，课 堂 练 习，找 一名同 学叙述 思路 学生独 立 思 考，模 仿例题 的求解 过程。 课 堂 练习， 一 名 同 学 演示， 讲解， 巩 固 所 学 知识
1.圆的方程的推导步骤。 2.圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径。同学 3.由不同的已知条件求解圆的标准方程 总结, 小 4.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法。 巩固 结 5.数型结合的数学思想。 加 印象 P79练习1、2 新问 问题 题,为 作1.把圆的标准方程展开后是什么形式? 下节 业\2.方程x2+y2-6x+8y+20=0表示什么图形? 圆的 方程 作铺 本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计。所谓“引导 探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课 教学后记 堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”, 把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施,都是给学生 创造一种思维情景,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激 发学生的求知欲,促使学生解决问题。 2.2.1圆的标准方程 板书设计 建立圆的标准方程 圆的标准方程的应用 圆的方程的推导 复习引入 (x-a)2+(y-b)=r2 例 (擦掉) 2、圆的标准方程的特点 圆心(a,b)定位,r定型 学生练习 3、点与圆的位置关系
小 结 1．圆的方程的推导步骤。 2．圆的方程的特点：点(a，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径。 3．由不同的已知条件求解圆的标准方程。 4. 求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法。 5. 数型结合的数学思想。 同 学 总结， 巩 固 加 深 印象。 作 业 P79 练习 1、2 问题: 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？ 2．方程 6 8 20 0 2 2 x + y − x + y + = 表示什么图形？ 提 出 新 问 题，为 下 节 圆 的 一 般 方 程 作 铺 垫。 教 学 后 记 本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计 新疆 学案 王新敞 所谓“引导 探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课 堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”， 把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生 创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激 发学生的求知欲，促使学生解决问题 新疆 学案 王新敞 板 书 设 计 2.2.1 圆的标准方程 一、建立圆的标准方程 1、圆的方程的推导 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 2、圆的标准方程的特点: 圆心（a,b）定位，r 定型 3、点与圆的位置关系 二．圆的标准方程的应用 例 1 例 2 复习引入 （擦掉） 学生练习