圆的方程习题(含答案) 、单选题 1.以点P(2,-3)为圆心,并且与y轴相切的圆的方程是() A.(x+2)2+(y-3)2=4 B.(x+2)2+(y-3)2=9 (x-2)2+(y+3)2 2.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接它与定点Q(3,0),线段PQ的中点M的轨迹方 程是() A.(x+3)2+y2=1B.(x-3)2+y2=1 (2x+3)2+4y2=1 3.圆x2+y2-(4m+2x-2m+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,那么圆的 面积为() 由m的值而定 4.圆x2+y2+2√2x=0的半径是() A.√zB.2C.2yz 5.已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A、 B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为 A.x+y-3=0B.x+y+3=0C.3x-3y+4=0 6.若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(10)为两个定点,则|PA+|PB 的最大值为() 7.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴过点 A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则AB|=( 2 8.若直线1:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a-2)2+(b 2)的最小值为 A.√5B.5 2√5D.10 9.若xab均为任意实数,且(a+2)2+(b-3)2=1,则(x-a)2+(nx-b)2的最小 试卷第1页,总4页
试卷第 1 页，总 4 页 圆的方程 习题（含答案） 一、单选题 1．以点 P(2，－3)为圆心，并且与 y 轴相切的圆的方程是( ) A． (x＋2)2＋(y－3)2＝4 B． (x＋2)2＋(y－3)2＝9 C． (x－2)2＋(y＋3)2＝4 D． (x－2)2＋(y＋3)2＝9 2．当点𝑃在圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 1上运动时，连接它与定点𝑄(3,0)，线段𝑃𝑄的中点𝑀的轨迹方 程是（ ） A． (𝑥 + 3) 2 + 𝑦 2 = 1 B． (𝑥 − 3) 2 + 𝑦 2 = 1 C． (2𝑥 − 3) 2 + 4𝑦 2 = 1 D． (2𝑥 + 3) 2 + 4𝑦 2 = 1 3．圆 x 2＋y 2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0 的圆心在直线 x＋y－4＝0 上，那么圆的 面积为( ) A． 9π B． π C． 2π D． 由 m 的值而定 4．圆𝑥 2 + 𝑦 2 + 2√2𝑥 = 0的半径是（ ） A． √2 B． 2 C． 2√2 D． 4 5．已知圆𝐶1 :𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0与圆𝐶2 :𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 10𝑦 + 4 = 0相交于 A、 B 两点，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 A． 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 B． 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 C． 3𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 D． 7𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 6．若点𝑃为圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 1上的一个动点，点𝐴(−1,0)，𝐵(1,0)为两个定点，则|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| 的最大值为（ ） A． 2 B． 2√2 C． 4 D． 4√2 7．已知直线𝑙：𝑥 + 𝑎𝑦 − 1 = 0(𝑎 ∈ 𝑅)是圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0的对称轴.过点 𝐴(−4, 𝑎)作圆𝐶的一条切线，切点为𝐵，则|𝐴𝐵| =（ ） A． 2 B． 4√2 C． 6 D． 2√10 8．若直线 l：ax+by+1=0 经过圆 M：x 2 + y 2 + 4x + 2y + 1 = 0的圆心则(a − 2) 2 + （b − 2） 2 的最小值为 A． √5 B． 5 C． 2√5 D． 10 9．若𝑥, 𝑎, 𝑏均为任意实数，且(𝑎 + 2) 2 + (𝑏 − 3) 2 = 1，则(𝑥 − 𝑎) 2 + (ln𝑥 − 𝑏) 2 的最小
值为() A.3√2B.18C.32-1D.19-62 二、填空题 10.如图,扇形AOB的圆心角为90°,半径为1,点P是圆弧AB上的动点,作点P关于弦 AB的对称点Q,则DP·0的取值范围为 11.已知x,y满足x2-4x-4+y2=0,则x2+y2的最大值为 12.若直线1:2ax-by+2=0(a>0,b>0)与x轴相交于点A,与y轴相交于B,被 圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则|0A|+|0B|(0为坐标原点)的最小值为 13.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若B=23, 则圆C的面积为 14.已知圆的圆心在曲线xy=1(x>0)上,且与直线x+4y+13=0相切,当圆的面 积最小时,其标准方程为 15.在平面直角坐标系xOy中,已知过点A(2,-1)的圆C和直线x+y=1相切,且圆心 在直线y=-2x上,则圆C的标准方程为 16.已知圆C的圆心在直线2x-y=0上,且经过A(6,2),B(48)两点,则圆C的标准方 程是 17.在平面直角坐标系中,三点0(00),A(24),B(6,2),则三角形OAB的外接圆方程是 18.如图,0是坐标原点,圆0的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从 点A,B同时出发,圆0上按逆时针方向运动若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点 P运动一周的过程中,·而的最大值是 试卷第2页,总4页
试卷第 2 页，总 4 页 值为（ ） A． 3√2 B． 18 C． 3√2 − 1 D． 19 − 6√2 二、填空题 10．如图，扇形𝐴𝑂𝐵的圆心角为 90°，半径为 1，点𝑃是圆弧𝐴𝐵上的动点，作点𝑃关于弦 𝐴𝐵的对称点𝑄，则𝑂𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝑄⃑ ⃑ 的取值范围为____． 11．已知 x,y 满足𝑥 2－4𝑥－4＋𝑦 2＝0, 则𝑥 2 + 𝑦 2的最大值为____ 12．若直线 l：2ax − by + 2 = 0(a > 0, b > 0)与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于 B，被 圆x 2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0截得的弦长为 4，则|OA| + |OB|(O为坐标原点)的最小值为 ______． 13．设直线𝑦 = 𝑥 + 2𝑎与圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑦 − 2 = 0相交于𝐴,𝐵两点，若|𝐴𝐵| = 2√3， 则圆𝐶的面积为________. 14．已知圆的圆心在曲线𝑥𝑦 = 1（𝑥 > 0)上，且与直线𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0相切，当圆的面 积最小时，其标准方程为_______． 15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点𝐴(2, −1)的圆𝐶和直线 𝑥 + 𝑦 = 1相切，且圆心 在直线 𝑦 = −2𝑥上，则圆 C 的标准方程为______． 16．已知圆𝐶的圆心在直线2𝑥 − 𝑦 = 0上，且经过𝐴(6,2)，𝐵(4,8)两点，则圆𝐶的标准方 程是__________． 17．在平面直角坐标系中，三点𝑂(0,0),𝐴(2,4)，𝐵(6,2)，则三角形𝑂𝐴𝐵的外接圆方程是 __________． 18．如图，O 是坐标原点，圆 O 的半径为 1，点 A（-1，0），B（1，0），点 P，Q 分别从 点 A，B 同时出发，圆 O 上按逆时针方向运动.若点 P 的速度大小是点 Q 的两倍，则在点 P 运动一周的过程中，𝐴𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝐴𝑄⃑⃑⃑ 的最大值是_______
三、解答题 19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点, AB|=8. (1)求l的方程 (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程 20.已知圆C:x2+y2+2x-7=0内一点P(-1,2),直线l过点P且与圆C交于A,B两点 (1)求圆C的圆心坐标和面积: (2)若直线l斜率为3,求弦AB的长 (3)若圆上恰有三点到直线l的距离等于√2,求直线l的方程 21.已知点M(xo,y)在圆O:x2+y2=4上运动,且存在一定点N(6,0),点P(x,y)为线 段MN的中点 (1)求点P的轨迹C的方程 (2)过A(0,1)且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点E,F,是否存在实数k使 得DE·DF=12,并说明理由 22.已知圆经过(2,5)(-2)两点,并且圆心在直线y=x上。 (1)求圆的方程; (2)求圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离。 23.在平面直角坐标系x0y中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上 (1)求圆C的方程 (2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值 24.已知点A(1,-2),B(-1,4),求 (1)过点AB且周长最小的圆的方程 (2)过点AB且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程 25.已知Rt△ABC的顶点A(8.5),直角顶点为B(3,8),顶点C在y轴上 (1)求顶点C的坐标 试卷第3页,总4页
试卷第 3 页，总 4 页 三、解答题 19．设抛物线𝐶： 𝑦 2 = 4𝑥的焦点为𝐹，过𝐹且斜率为𝑘(𝑘 > 0)的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点， |𝐴𝐵| = 8． （1）求𝑙的方程； （2）求过点𝐴，𝐵且与𝐶的准线相切的圆的方程． 20．已知圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 7 = 0内一点𝑃(−1,2)，直线𝑙过点𝑃且与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点. （1）求圆𝐶的圆心坐标和面积； （2）若直线𝑙的斜率为√3，求弦𝐴𝐵的长； （3）若圆上恰有三点到直线𝑙的距离等于√2，求直线𝑙的方程． 21．已知点𝑀(𝑥0 ,𝑦0 )在圆𝑂: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4上运动，且存在一定点𝑁(6,0)，点𝑃(𝑥, 𝑦)为线 段𝑀𝑁的中点. （1）求点𝑃的轨迹𝐶的方程； （2）过𝐴(0,1)且斜率为𝑘的直线𝑙与点𝑃的轨迹𝐶交于不同的两点𝐸,𝐹，是否存在实数𝑘使 得𝑂𝐸⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝐹⃑⃑⃑ = 12，并说明理由. 22．已知圆经过 (2,5 , 2,1 ) (− ) 两点，并且圆心在直线 1 2 y x = 上。 (1)求圆的方程； (2)求圆上的点到直线 3 4 23 0 x y − + = 的最小距离。 23．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 1与坐标轴的交点都在圆𝐶上． （1）求圆𝐶的方程； （2）若圆𝐶与直线𝑥 − 𝑦 + 𝑎 = 0交于𝐴，𝐵两点，且𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵，求𝑎的值． 24．已知点𝐴(1, −2),𝐵(−1,4)，求 （1）过点 A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点 A,B 且圆心在直线2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0上的圆的方程． 25．已知𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(8,5)，直角顶点为𝐵(3,8)，顶点𝐶在 y 轴上； （1）求顶点𝐶的坐标；
(2)求Rt△ABC外接圆的方程 26.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上 点,且M PD (1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程 (2)求过点(3,0)且斜率为一的直线被轨迹C所截线段的长度 M 27.选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程 sine (日为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上 的点按坐标变换,2得到曲线C (Ⅰ)求曲线C的普通方程 (Ⅱ)若点A在曲线C上,点B(30),当点A在曲线C上运动时,求AB中点P的轨迹方程 试卷第4页,总4页
试卷第 4 页，总 4 页 （2）求𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶外接圆的方程． 26．如图,设 P 是圆 2 2 x y + = 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为线段 PD 上 一点,且 4 5 MD PD = ， (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为 4 5 的直线被轨迹 C 所截线段的长度. 27．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线𝐶的参数方程为{ 𝑥 = 3cos𝜃 𝑦 = 2sin𝜃 （𝜃为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线𝐶上 的点按坐标变换{ 𝑥′ = 1 3 𝑥 𝑦′ = 1 2 𝑦 得到曲线𝐶′. （Ⅰ）求曲线𝐶′的普通方程； （Ⅱ）若点𝐴在曲线𝐶′上，点𝐵(3,0)，当点𝐴在曲线𝐶′上运动时，求𝐴𝐵中点𝑃的轨迹方程
参考谷案 【解析】 【分析】 因为与y轴相切,所以可知圆的半径r=2,根据圆心坐标,可得圆的标准方程。 【详解】 圆心为(2,一3)并且与y轴相切 所以半径r=2 所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=4 所以选C 【点睛】 本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程,属于基础题。 【解析】 【分析】 设动点P(xo,y),PQ的中点为M(x,y),由中点坐标公式解出x0=2x-3,y=2y,将点 P(2x-3,2y)代入已知圆的方程,化简即可得到所求中点的轨迹方程 【详解】 x0+3 设动点P(xoy),PQ的中点为M(x,y),可得 y边,得x0=2x-3,yo=2y ∴点P(xo,y)在圆x2+y2=1上运动 ∴(2x-3)2+(2y)2=1,化简得(2x-3)2+4y2=1 所求动点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1 故选C 【点睛】 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(xy)=0; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程 (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程; 答案第1页,总16页
答案第 1 页，总 16 页 参考答案 1．C 【解析】 【分析】 因为与 y 轴相切，所以可知圆的半径𝑟 = 2，根据圆心坐标，可得圆的标准方程。 【详解】 圆心为(2，－3)并且与 y 轴相切 所以半径𝑟 = 2 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4 所以选 C 【点睛】 本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题。 2．C 【解析】 【分析】 设动点𝑃(𝑥0 ,𝑦0 )，𝑃𝑄的中点为𝑀(𝑥, 𝑦)，由中点坐标公式解出𝑥0 = 2𝑥 − 3，𝑦0 = 2𝑦，将点 𝑃(2𝑥 − 3,2𝑦)代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程． 【详解】 设动点𝑃(𝑥0 ,𝑦0 )，𝑃𝑄的中点为𝑀(𝑥, 𝑦)，可得{ 𝑥 = 𝑥0+3 2 𝑦 = 𝑦0 2 ，得𝑥0 = 2𝑥 − 3，𝑦0 = 2𝑦. ∵点𝑃(𝑥0 ,𝑦0 )在圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 1上运动 ∴(2𝑥 − 3) 2 + (2𝑦) 2 = 1，化简得(2𝑥 − 3) 2 + 4𝑦 2 = 1. ∴所求动点𝑀的轨迹方程是(2𝑥 − 3) 2 + 4𝑦 2 = 1. 故选 C. 【点睛】 求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立𝑥， 𝑦之间的关系𝐹(𝑥, 𝑦) = 0； （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程； （3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程；
(4)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(xo,y)的变化而运动,常利用代入法求 动点P(x,y)的轨迹方程 3.B 【解析】 【分析】 由圆的方程求出圆心坐标,代入直线方程求出m的值,求出圆的方程后并配方求圆的半径 代入圆的面积求解即可 【详解】 ∵圆的方程是:x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0, ∴圆心坐标是(2m+1,m) 圆心在直线x+y-4=0上,∴2m+1+m-4=0,解得m=1, 则圆的方程是:x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1, ∴半径r=1,圆的面积S=xr2=兀, 故选:B 【点睛】 本题考査由圆的一般式方程求圆心和半径的方法:公式法和配方法,属于基础题 【解析】分析:一般方程转化为标准方程,即可得到半径值 详解:把一般方程转化为圆的标准方程(x+V2+y2=2 由标准方程,可知半径为2 所以选A 点睛:本题考査了圆的一般方程与标准方程的转化,根据标准方程求圆心或半径,属于基础 题 5.A 【解析 【分析】 两个圆相减,可得交点弦所在的直线方程;再由弦的垂直平分线过圆心及斜率关系,求得 的垂直平分线方程 【详解】 答案第2页,总16页
答案第 2 页，总 16 页 （4）代入(相关点)法：动点𝑃(𝑥, 𝑦)依赖于另一动点𝑄(𝑥0 , 𝑦0 )的变化而运动，常利用代入法求 动点𝑃(𝑥, 𝑦)的轨迹方程． 3．B 【解析】 【分析】 由圆的方程求出圆心坐标，代入直线方程求出 m 的值，求出圆的方程后并配方求圆的半径， 代入圆的面积求解即可． 【详解】 ∵圆的方程是：x 2+y 2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0， ∴圆心坐标是（2m+1，m）， ∵圆心在直线 x+y﹣4=0 上，∴2m+1+m﹣4=0，解得 m=1， 则圆的方程是：x 2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1， ∴半径 r=1，圆的面积 S=πr2=π， 故选：B． 【点睛】 本题考查由圆的一般式方程求圆心和半径的方法：公式法和配方法，属于基础题． 4．A 【解析】分析：一般方程转化为标准方程，即可得到半径值。 详解：把一般方程转化为圆的标准方程(𝑥 + √2) 2 + 𝑦 2 = 2 由标准方程，可知半径为√2 所以选 A 点睛：本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，根据标准方程求圆心或半径，属于基础 题。 5．A 【解析】 【分析】 两个圆相减，可得交点弦所在的直线方程；再由弦的垂直平分线过圆心及斜率关系，求得 AB 的垂直平分线方程。 【详解】
圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A、B两点 所以AB所在的直线方程为两个方程相减,得3x-3y+4=0 B垂直平分线的斜率为x+y+b=0 圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0的圆心为(1,2) 将(1,2)代入x+y+b=0解得b=3 所以AB的垂直平分线的方程为x+y-3=0 所以选A 【点睛】 本题考查了圆方程的简单应用,注意相关性质的用法,属于基础题。 6.B 【解析】∵∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4 由不等式可得(l+p212A2+PB=2 ∴|PA|+|PB|≤2V2 故选:B 【解析】试题分析:直线1过圆心(21),所以a 所以切线长AB= (-4)2+1-4×(-4)+2+1=6,选C 考点:切线长 【视频 【解析】由圆的方程知圆心为(-2,-1),所以2a+b=1,(a-2)2+(b-2)的几何意义 为直线2a+b=1上的动点(ab)与定点(2,2)的距离的平方,故过点(2,2)向直线2a+b=1 作垂线段,其长的平方最小,最小值为d2=(+2=)2=5,故选B 【解析】 【分析】 该题可以看做是圆上的动点到曲线y=lnx上的动点的距离的平方的最小值问题,可以转化 为圆心到曲线y=lnx上的动点的距离减去半径的平方的最值问题,结合图形,可以断定那 答案第3页,总16页
答案第 3 页，总 16 页 圆𝐶1 :𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0与圆𝐶2 :𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 10𝑦 + 4 = 0相交于 A、B 两点 所以 AB 所在的直线方程为两个方程相减，得 3x-3y+4=0 AB 垂直平分线的斜率为 x+y+b=0 圆𝐶1 :𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0的圆心为（1,2） 将（1,2）代入 x+y+b=0 解得 b=-3 所以 AB 的垂直平分线的方程为𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 所以选 A 【点睛】 本题考查了圆方程的简单应用，注意相关性质的用法，属于基础题。 6．B 【解析】∵∠APB=90°，∴|PA| 2 + |PB| 2 = 4 由不等式可得( |𝑃𝐴|+|𝑃𝐵| 2 ) 2 ≤ |PA| 2+|PB| 2 2 = 2 ∴|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| ≤ 2√2 故选：B 7．C 【解析】 试题分析：直线 l 过圆心 ，所以 𝑎 = −1 ，所以切线长 𝐴𝐵 = √(−4) 2 + 1 − 4 × (−4) + 2 + 1 = 6，选 C. 考点：切线长 视频 8．B 【解析】由圆的方程知圆心为(−2, −1)，所以2𝑎 + 𝑏 = 1，(a-2) 2 + （b − 2） 2 的几何意义 为直线2𝑎 + 𝑏 = 1上的动点(𝑎, 𝑏) 与定点(2,2) 的距离的平方，故过点(2,2)向直线2𝑎 + 𝑏 = 1 作垂线段，其长的平方最小，最小值为𝑑 2 = ( |4+2−1| √5 ) 2 = 5，故选 B. 9．D 【解析】 【分析】 该题可以看做是圆上的动点到曲线𝑦 = ln𝑥上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化 为圆心到曲线𝑦 = ln𝑥上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那
个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决,从而求得切点坐标,即 满足条件的点,代入求得结果 【详解】 由题意可得,其结果应为曲线y=lnx上的点与以C-2,3)为圆心,以1为半径的圆上的点的 距离的平方的最小值,可以求曲线y=1nx上的点与圆心C(-2,3)的距离的最小值,在曲线y= lnx上取一点M(m,lnm),曲线有y=Inx在点M处的切线的斜率为k=-,从而有kcM·k 1,即m2=-1整理得m+m2+2m=-3=0解得m=1,所以点(10)满足条件 其到圆心C(-2,3)的距离为d=√(-2-1)2+(3-0)2=3V2,故其结果为(3V2-1) 19-62, 故选D 【点睛】 本题考查函数在一点处切线斜率的应用,考查圆的程,两条直线垂直的斜率关系,属中档题 10.2-1,1 【解析】分析:先建立直角坐标系,再设出点PQ的坐标,利用已知条件求出PQ的坐标,再 求出DP·0的函数表达式,求其最值,即得其取值范围 详解以点O为坐标原点以OA所在直线作x轴,以OB所在直线作y轴,建立直角坐标系 则A(1,O),B(0,1),直线AB的方程为x+y-1=0, 设P(cosa,sina)(0≤a≤),Q(xoy) 所以PQ的中点(c,+5m 1 由题得 Xot cosa+ yotsin-1=0 ,xo= 1-sina yo=1-cosac 所以Dp·0Q=cosa(1-sina)+sina(1-cosa)=sina+cosa-2 sinacom 设t=sina+cosa=√2sin(a+),t∈[1,vV2 所以 lsinacosa=2-1 所以Dp·00=1-t2+t,t∈[1,v2 所以当t=1时函数取最大值1,当t=时函数取最小值2 故答案为:[V2-1, 点睛:(1)本题的难点有三,其一是要联想到建立直角坐标系:其二是要能利用已知求出点 答案第4页,总16页
答案第 4 页，总 16 页 个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即 满足条件的点，代入求得结果. 【详解】 由题意可得，其结果应为曲线𝑦 = ln𝑥上的点与以𝐶(−2,3)为圆心，以1为半径的圆上的点的 距离的平方的最小值，可以求曲线𝑦 = ln𝑥上的点与圆心𝐶(−2,3)的距离的最小值，在曲线𝑦 = ln𝑥上取一点𝑀(𝑚, ln𝑚)，曲线有𝑦 = ln𝑥在点 M 处的切线的斜率为𝑘′ = 1 𝑚 ，从而有𝑘𝐶𝑀 ⋅ 𝑘′ = −1，即 ln𝑚−3 𝑚+2 ⋅ 1 𝑚 = −1，整理得ln𝑚 + 𝑚2 + 2𝑚 − 3 = 0，解得𝑚 = 1，所以点(1,0)满足条件， 其到圆心𝐶(−2,3)的距离为𝑑 = √(−2 − 1) 2 + (3 − 0) 2 = 3√2，故其结果为 (3√2 − 1) 2 = 19 − 6√2， 故选 D. 【点睛】 本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题. 10．[√2 − 1，1]. 【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点 P,Q 的坐标，利用已知条件求出 P,Q 的坐标，再 求出𝑂𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝑄⃑ ⃑ 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围. 详解:以点 O 为坐标原点,以 OA 所在直线作 x 轴，以 OB 所在直线作 y 轴，建立直角坐标系. 则 A(1，0),B(0，1),直线 AB 的方程为 x+y-1=0, 设 P(𝑐𝑜𝑠𝛼, sin𝛼) (0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋 2 )，𝑄(𝑥0 ,𝑦0 )， 所以 PQ 的中点( 𝑥0+cos𝛼 2 , 𝑦0+sin𝛼 2 )， 由题得{ 𝑘𝑃𝑄 = sin𝛼−𝑦0 cos𝛼−𝑥0 = 1 𝑥0+cos𝛼 2 + 𝑦0+sin𝛼 2 − 1 = 0 , ∴ 𝑥0 = 1 − sin𝛼 𝑦0 = 1 − cos𝛼 所以𝑂𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝑄⃑ ⃑ =cos𝛼(1 − sin𝛼) + sin𝛼(1 − cos𝛼) = sin𝛼 + cos𝛼 − 2sin𝛼cos𝛼 设𝑡 = sin𝛼 + cos𝛼 = √2sin(𝛼 + 𝜋 4 ),𝑡 ∈ [1,√2]， 所以sin𝛼cos𝛼 = 𝑡 2−1 2 ， 所以𝑂𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝑄⃑ ⃑ =1 − 𝑡 2 + 𝑡，𝑡 ∈ [1,√2] 所以当 t=1 时函数取最大值 1，当 t=√2时函数取最小值√2 − 1. 故答案为：[√2 − 1，1] 点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点
PQ的坐标,其三是能够利用三角函数的知识求出函数OP·0Q的值域(2)本题主要考查 利用坐标法解答数学问题,考査直线、圆的方程和三角恒等变换,考查三角函数的图像和性 质,意在考査学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力,考査学生的基本运算能力 11.12+82 【解析】 【分析】 现化简曲线的方程,判定曲线的形状,在根据x2+y2的意义,结合图形即可求解 【详解】 由题意,曲线x2-4x-4+y2=0,即为x-2)2+y2=8, 所以曲线表示一个圆心在(20),半径为2V2的圆, 又由x2+y2表示圆上的点到原点之间距离的平方,且原点到圆心的距离为2, 所以原点到圆上的点的最大距离为2+2V2, 所以x2+y2的最大值为(2+2V2)=10+8V2 【点睛】 本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用,其中把x2+y2转化为原点到圆上的点之间 的距离是解答的关键,着重考查了推理与运算能力 12.3+2V 【解析】 【分析】 先求得圆的圆心与半径,可知直线一定过圆心得a+b=1。又A(,0),B(03, 0A|+10B=2+2,由均值不等式可求得最值。 【详解】 由题意可得(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1,2),半径为2而截得弦长为4,所以直线 过圆心得a+b=1,又A(--,0),B(0 所以0A+10B=+=(+(a+b)≥(1+V2=3+2V2 当且仅当b=√za时等号成立 【点睛】 本题综合考査直线与圆,均值不等式求最值问题,本题的关键是由弦长为4,判断出直线过 答案第5页,总16页
答案第 5 页，总 16 页 P,Q 的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数𝑂𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝑄⃑ ⃑ 的值域. （2）本题主要考查 利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性 质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力. 11．12 + 8√2 【解析】 【分析】 现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据𝑥 2 + 𝑦 2的意义，结合图形即可求解． 【详解】 由题意，曲线𝑥 2 − 4𝑥 − 4 + 𝑦 2 = 0，即为(𝑥 − 2) 2 + 𝑦 2 = 8， 所以曲线表示一个圆心在(2,0)，半径为2√2的圆， 又由𝑥 2 + 𝑦 2表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2， 所以原点到圆上的点的最大距离为2 + 2√2， 所以𝑥 2 + 𝑦 2的最大值为(2 + 2√2) 2 = 10 + 8√2． 【点睛】 本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把𝑥 2 + 𝑦 2转化为原点到圆上的点之间 的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 12．3 + 2√2 【解析】 【分析】 先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得𝑎 + 𝑏 = 1。又𝐴( 1 𝑎 , 0),𝐵(0, 2 𝑏 )， |OA| + |OB| = 1 𝑎 + 2 𝑏，由均值不等式可求得最值。 【详解】 由题意可得(𝑥 + 1) 2 + (𝑦 − 2) 2 = 4的圆心为（-1，2），半径为 2,而截得弦长为 4，所以直线 过圆心得𝑎 + 𝑏 = 1，又𝐴(− 1 𝑎 , 0),𝐵(0, 2 𝑏 )， 所以|OA| + |OB| = 1 𝑎 + 2 𝑏 = ( 1 𝑎 + 2 𝑏 )(𝑎 + 𝑏) ≥ (1 + √2) 2 = 3 + 2√2 当且仅当𝑏 = √2𝑎时等号成立。 【点睛】 本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为 4，判断出直线过
13.4丌 【解析】 分析:根据弦长,求半径。应求圆的圆心、半径,弦心距。故将圆C:x2+y2-2ay-2=0的 方程变为标准方程得x2+(y-a)2=a2+2。可得圆心为C(0,a),半径为r=√a2+2。然 后求圆心到直线y=x+2的距离为d=出2x2=2,由为弦长AB=27,可得 √32+(22=√a+2即a2=2。进而可得半径r=Va2+2=2。可求圆C的面积为 丌×22=4丌。 详解:圆C:x2+y2-2ay-2=0的方程变为标准方程得x2+(y-a)2=a2+2。 所以圆心为C(0,a),半径为r=√a2+2。 直线y=x+2a化为x-y+2a=0 圆心到直线y=x+2a的距离为d V2 因为|AB|=2√3, 所以√3+(2)2=va2+2即a2=2 所以半径r=Va2+2=2。所以圆C的面积为×22=4丌。 点睛:解决与直线和圆相交弦长有关的问题,注意以弦长一半、弦心距、半径为三边长的直 角三角形的三边长关系。本题考查学生的转化能力、运算能力。 4.(x-2)2+(-32=1 【解析】 【分析】 圆的面积最小等价于圆的半径最小,根据点到直线距离公式,利用基本不等式可得结果 【详解】 圆的面积最小等价于圆的半径最小 因为圆的圆心在曲线xy=1(x>0)上, 所以可设圆心为(a-),a>0, 与直线x+4y+13=0相切 所以圆的半径等于圆心到直线x+4y+13=0的距离为d=些+≥1=T 答案第6页,总16页
答案第 6 页，总 16 页 圆心。 13．4𝜋 【解析】 分析：根据弦长，求半径。应求圆的圆心、半径，弦心距。故将圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑦 − 2 = 0的 方程变为标准方程得𝑥 2 + (𝑦 − 𝑎) 2 = 𝑎 2 + 2。可得圆心为𝐶(0, 𝑎)，半径为𝑟 = √𝑎 2 + 2。然 后求圆心到直线𝑦 = 𝑥 + 2𝑎的距离为𝑑 = |0−𝑎+2𝑎| √1 2+(−1) 2 = √2𝑎 2 。由为弦长 |𝐴𝐵| = 2√3，可得 √3 2 +（ √2𝑎 2 ) 2 = √𝑎 2 + 2 2 即𝑎 2 = 2。进而可得半径𝑟 = √𝑎 2 + 2=2。可求圆𝐶 的面积为 𝜋 × 2 2 = 4𝜋。 详解：圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑦 − 2 = 0的方程变为标准方程得𝑥 2 + (𝑦 − 𝑎) 2 = 𝑎 2 + 2。 所以圆心为𝐶(0,𝑎)，半径为𝑟 = √𝑎 2 + 2。 直线𝑦 = 𝑥 + 2𝑎化为𝑥 − y + 2𝑎 = 0 圆心到直线𝑦 = 𝑥 + 2𝑎的距离为𝑑 = |0−𝑎+2𝑎| √1 2+(−1) 2 = √2𝑎 2 。 因为 |𝐴𝐵| = 2√3， 所以√3 2 +（ √2𝑎 2 ) 2 = √𝑎 2 + 2 2 即𝑎 2 = 2 所以半径𝑟 = √𝑎 2 + 2=2。所以圆𝐶的面积为𝜋 × 2 2 = 4𝜋。 点睛：解决与直线和圆相交弦长有关的问题，注意以弦长一半、弦心距、半径为三边长的直 角三角形的三边长关系。本题考查学生的转化能力、运算能力。 14．(𝑥 − 2) 2 + (𝑦 − 1 2 ) 2 = 17 【解析】 【分析】 圆的面积最小等价于圆的半径最小，根据点到直线距离公式，利用基本不等式可得结果. 【详解】 圆的面积最小等价于圆的半径最小 因为圆的圆心在曲线𝑥𝑦 = 1（𝑥 > 0)上， 所以可设圆心为(𝑎, 1 𝑎 )，𝑎 > 0， 与直线𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0相切， 所以圆的半 径等于 圆心到 直线 𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0的距离为 𝑑 = |𝑎+ 4 𝑎 +13| √17 ≥ 17 √17 = √17， ∴