圆与方程 标准方程(x-a)2+(y-b)= 求标准方程的方法一一关键是求出圆心(a,b)和半径r 特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 ≠ 过原点 (x-a)+(y-b)=a2+b(a+b2≠0) 圆心在x轴上 x-a)+ y2=r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2+(y-b)=b2(b≠0) 与x轴相切 (x-a)2+(y-b)=b2(b≠0) 与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a(a≠0) 与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)=a2(a=1b≠0) 二、一般方程x2+y2+Dx+By+F=0(D3+E2-4F>0) Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆方程,则 A=B≠0 A=B≠0 分{C=0 D2+E2-4AF>0 求圆的一般方程方法 ①待定系数:往往已知圆上三点坐标
圆与方程 一、标准方程 ( ) ( ) 2 2 2 x a y b r − + − = .求标准方程的方法——关键是求出圆心 (a b, ) 和半径 r .特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 二、一般方程 ( ) 2 2 2 2 x y Dx Ey F D E F + + + + = + − 0 4 0 . 2 2 Ax By Cxy Dx Ey F + + + + + = 0 表示圆方程，则 2 2 2 2 0 0 0 0 4 0 4 0 A B A B C C D E F D E AF A A A = = = = + − + − .求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 条件 方程形式 圆心在原点 ( ) 2 2 2 x y r r + = 0 过原点 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x a y b a b a b − + − = + + 0 圆心在 x 轴上 ( ) ( ) 2 2 2 x a y r r − + = 0 圆心在 y 轴上 ( ) ( ) 2 2 2 x y b r r + − = 0 圆心在 x 轴上且过原点 ( ) ( ) 2 2 2 x a y a a − + = 0 圆心在 y 轴上且过原点 ( ) ( ) 2 2 2 x y b b b + − = 0 与 x 轴相切 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x a y b b b − + − = 0 与 y 轴相切 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x a y b a a − + − = 0 与两坐标轴都相切 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x a y b a a b − + − = = 0
②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系:圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系:相切时,利用到圆心与切点的连线垂直直线;相交时,利用到点 到直线的距离公式及垂径定理 D2+E2-4F>0常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 判断方法:点到圆心的距离d与半径r的大小关系 dr→点在圆外 涉及最值 ()圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值 P PBL BN PB BM=bC+ ()圆内一点A,圆上一动点P,讨论PA的最值 PAlin=AN=r- AC PA 思考:过此A点作最短的弦?(此弦垂直AC) 以A(x1,y),B(x2,y2)为直径两端点的圆方程为 (x-x1)(x-x2)+(y-n1)(y-y2)= 四、直线与圆的位置关系 判断方法(d为圆心到直线的距离 ()相离分没有公共点分△r ()相切◇只有一个公共点Δ=0分d=r ()相交◇有两个公共点分A>0分d<r
②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点 到直线的距离公式及垂径定理 . 2 2 D E F + − 4 0 常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 .判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系 d r 点在圆内； d r = 点在圆上； d r 点在圆外 .涉及最值： （）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值 min PB BN BC r = = − max PB BM BC r = = + （）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值 min PA AN r AC = = − max PA AM r AC = = + 思考：过此 A 点作最短的弦？（此弦垂直 AC ） .以 1 1 2 2 A x y B x y ( , ), ( , ) 为直径两端点的圆方程为 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) 0 x x x x y y y y − − + − − = 四、直线与圆的位置关系 .判断方法（ d 为圆心到直线的距离） （）相离 没有公共点 0 d r （）相切 只有一个公共点 = = 0 d r （）相交 有两个公共点 0 d r
P 直线与圆相切 ()知识要点 ①基本图形 ②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线l与圆C相切意味圆心C到直线l的距离恰好等于半径r ()常见题型一一求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外一一两条:点在圆上——一条:点在圆内一一无 ②求切线方程的方法及注意点 )点在圆外 如定点P(x,y),圆:(x-a)+(y-b)=r2,[(x-a)+(y-b)>r2 第一步:设切线|方程y-y=k(x-x) 第二步:通过d=r→k,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对k存在有效,当k不存在时,应补上—一千万不要漏了 :过点P(L,1作圆x2+y2-4x-6y+12=0的切线,求切线方程 答案:3x-4y+1=0和x=1 )点在圆上 若点(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)=r2上,则切线方程为 (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b) 注:碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果 ③求切线长:利用基本图形,AP=(CP-p2→1=√r 求切点坐标:利用两个关系列出两个方程14(= 直线与圆相交 ()求弦长及弦长的应用问题(最短最长):垂径定理及勾股定理
.直线与圆相切 （）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线 l 与圆 C 相切意味圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r （）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ．．． ）点在圆外 如定点 P x y ( 0 0 , ) ，圆： ( ) ( ) 2 2 2 x a y b r − + − = ，[ ( ) ( ) 2 2 2 0 0 x a y b r − + − ] 第一步：设切线 l 方程 y y k x x − = − 0 0 ( ) 第二步：通过 d r = k ，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对 k 存在有效，当 k 不存在时，应补上——千万不要漏了. 如：过点 P(1, 1) 作圆 2 2 x y x y + − − + = 4 6 12 0 的切线，求切线方程. 答案： 3 4 1 0 x y − + = 和 x =1 ）点在圆上 若点 ( x y 0 0 ， ) 在圆 ( ) ( ) 2 2 2 x a y b r − + − = 上，则切线方程为 ( )( ) ( )( ) 2 0 0 x a x a y b y b r − − + − − = 注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. ③求切线长：利用基本图形， 2 2 2 2 2 AP CP r AP CP r = − = − 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 1 AC AP AC r k k = = − .直线与圆相交 （）求弦长及弦长的应用问题(最短,最长)：垂．径定理 ．．．及勾股定理
()判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点,而定点恰好在圆内 ()关于点的个数问题 例:若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为,则半径r 的取值范围是答案:(46) 直线与圆相离:会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时) 五、圆与圆的位置关系 判断方法:几何法(d为圆心距) ()d>+2分外离 ()d=1+2分→外切 ()-1<d<+h相交()d=-h台内切 ()d<-内含 两圆公共弦所在直线方程 AC: x'+y+Dx+ ey+F=0, c: x+y+D,x+e,y+F2=0 则(D-D)x+(E-E2)y+(F1-F)=0为两相交圆公共弦方程 注:若C1与C2相切,则表示其中一条公切线方程 若C1与C2相离,则表示连心线的中垂线方程 圆系问题 ()过两圆C1:x2+y2+Dx+E1y+F=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆 系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+4(x2+y2+D2x+E2y+F)=0(2≠-1) 注:)上述圆系不包括C2 )当A=-1时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ()过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+D+Ey+F=0交点的圆系方程为 +y+Dx+ Ey+F+a(Ax+By+c) ()有关圆系的简单应用 ()两圆公切线的条数问题
（）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （）关于点的个数问题 例：若圆 ( ) ( ) 2 2 2 x y r − + + = 3 5 上有且仅有两个点到直线 4 3 2 0 x y − − = 的距离为，则半径 r 的取值范围是. 答案： (4, 6) .直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、圆与圆的位置关系 .判断方法：几何法（ d 为圆心距） （） 1 2 d r r + 外离 （） 1 2 d r r = + 外切 （） 1 2 1 2 r r d r r − + 相交 （） 1 2 d r r = − 内切 （） 1 2 d r r − 内含 .两圆公共弦所在直线方程 圆 C1： 2 2 1 1 1 x y D x E y F + + + + = 0 ，圆 C2 ： 2 2 2 2 2 x y D x E y F + + + + = 0 ， 则 (D D x E E y F F 1 2 1 2 1 2 − + − + − = ) ( ) ( ) 0 为两相交圆公共弦方程. 注：若 C1 与 C2 相切，则表示其中一条公切线方程； 若 C1 与 C2 相离，则表示连心线的中垂线方程. ．圆系问题 （）过两圆 C1： 2 2 1 1 1 x y D x E y F + + + + = 0 和 C2 ： 2 2 2 2 2 x y D x E y F + + + + = 0 交点的圆 系方程为 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x y D x E y F x y D x E y F + + + + + + + + + = 0 （ −1 ） 注：）上述圆系不包括 C2 ； ）当 =−1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） （ ） 过 直 线 Ax By C + + = 0 与 圆 2 2 x y Dx Ey F + + + + = 0 交 点 的 圆 系 方 程 为 ( ) 2 2 x y Dx Ey F Ax By C + + + + + + + = 0 （）有关圆系的简单应用 （）两圆公切线的条数问题
①相内切时,有一条公切线:②相外切时,有三条公切线 ③相交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线 六、对称问题 若圆x2+y2+(m2-1)x+2m-m=0,关于直线x-y+1=0,则实数m的值为 答案:(注意:m=-1时,D2+E2-4F<0,故舍去) 变式:已知点A是圆C:x2+y2+ax+4y-5=0上任意一点,A点关于直线x+2y-1=0的 对称点在圆C上,则实数a= 圆(x-1)2+(y-3)2=1关于直线x+y=0对称的曲线方程是 变式:已知圆C1:(x-4)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)+(y-4)=1关于直线对称, 则直线l的方程为 圆(x-3)2+(y+1)2=1关于点(2,3)对称的曲线方程是 已知直线l:y=x+b与圆C:x2+y2=1,间:是否存在实数b使自A(3,3)发出的光线被 直线l反射后与圆C相切于点B,?若存在,求出b的值;若不存在,试说明理由 七、最值问题 方法主要有:()数形结合;()代换 例:已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 () 的最大值和最小值;一一看作斜率 ()y-x的最小值;——截距(线性规划) ()x2+y2的最大值和最小值—两点间的距离的平方 八、轨迹方程 ()定义法(圆的定义) ()直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标的 关系式一一轨迹方程
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线； ③相交时，有两条公切线； ④相离时，有四条公切线 六、对称问题 .若圆 ( ) 2 2 2 x y m x my m + + − + − = 1 2 0 ，关于直线 x y − + =1 0 ，则实数 m 的值为. 答案：（注意： m =−1 时， 2 2 D E F + − 4 0 ，故舍去） 变式：已知点 A 是圆 C : 2 2 x y ax y + + + − = 4 5 0 上任意一点， A 点关于直线 x y + − = 2 1 0 的 对称点在圆 C 上，则实数 a =. .圆 ( ) ( ) 2 2 x y − + − = 1 3 1 关于直线 x y + = 0 对称的曲线方程是. 变式：已知圆 C1：( ) ( ) 2 2 x y − + − = 4 2 1 与圆 C2 ：( ) ( ) 2 2 x y − + − = 2 4 1 关于直线 l 对称， 则直线 l 的方程为. .圆 ( ) ( ) 2 2 x y − + + = 3 1 1 关于点 (2, 3) 对称的曲线方程是. .已知直线 l ：y x b = + 与圆 C ： 2 2 x y + =1 ，问：是否存在实数 b 使自 A(3, 3) 发出的光线被 直线 l 反射后与圆 C 相切于点 24 7 , 25 25 B ？若存在，求出 b 的值；若不存在，试说明理由. 七、最值问题 方法主要有：（）数形结合；（）代换 例：已知实数 x ， y 满足方程 2 2 x y x + − + = 4 1 0 ，求： （） 5 y x − 的最大值和最小值；——看作斜率 （） y x − 的最小值；——截距（线性规划） （） 2 2 x y + 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 八、轨迹方程 （）定义法（圆的定义） （）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的 关系式——轨迹方程
例:过圆x2+y2=1外一点4(2,0)作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程 分析:P+|4P2=4 )相关点法(平移转换法):二点随另二点的变动而变动 AX 动点主动点 特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动 例:如图,已知定点A(2,0),点Q是圆x2+y2=1上的动点,∠AOQ的平分线交AQ于M 当O点在圆上移动时,求动点M的轨迹方程 分析:角平分线定理和定比分点公式
例：过圆 2 2 x y + =1 外一点 A(2, 0) 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析： 2 2 2 OP AP OA + = （）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动 动点 主动点 特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例：如图，已知定点 A(2, 0) ，点 Q 是圆 2 2 x y + =1 上的动点， AOQ 的平分线交 AQ 于 M ， 当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式. 人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息 零碎的时间实在可以成就大事业 珍惜时间可以使生命变的更有价值 时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连 一个人越知道时间的价值， 就越感到失时的痛苦 得到时间，就是得到一切 用经济学的眼光来看，时间就是一种财富 时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽 我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近 夜晚给老人带 来平静，给年轻人带来希望 不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为 时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费 我的产业多么美，多么广，多么 宽，时间是我的财产，我的田地是时间 时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。 新想法常常瞬息即逝，必须集 中精力，牢记在心，及时捕获。 每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！” 不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！ 如 果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。 学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。 藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用， 只能成为空谈。 学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的 成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向