《直线与圆的位置关系》 教材:华东师大版实验教材九年级上册 教材分析 教材的地位和作用 圆的有关性质,被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面,所涉及的数学知识较为广泛; 学好本章内容,能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系,它体现了运 动的观点,是研究有关性质的基础,也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知 识作铺垫 教学目标 知识目标:使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义,会 用定义来判断直线与圆的位置关系,通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直 线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法:通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法 由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系” 从而实现位置关系与数量关系的转化,渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观:创设问题情景,激发学生好奇心;体验数学活动中的探索与创造,感受 数学的严谨性和数学结论的正确性,在学习活动中获得成功的体验:通过“转化”数学思想 的运用,让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 教学重、难点 重点:理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系 难点:学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系,揭示直线与圆的位置 关系:直线与圆的三种位置关系判定方法的运用 二、教法与学法分析 教无定法,教学有法,贵在得法。数学是一门培养人的思维、发展人的思维的基础学科。在 教学过程中,不仅要对学生传授数学知识,更重要的应该是对他们传授数学思想、数学方法 初三学生虽然有一定的理解力,但在某种程度上特别是平面几何问题上,学生还是依靠事物 的具体直观形象,所以我以参与式探究教学法为主,整堂课紧紧围绕“情景问题一一学生体 验—一合作交流”的模式,并发挥微机的直观、形象功能辅助演示直线与圆的位置关系,激 励学生积极参与、观察、发现其知识的内在联系,使每个学生都能积极思维。这样,一方面 可激发学生学习的兴趣,提高学生的学习效率,另一方面拓展学生的思维空间,培养学生用 创造性思维去学会学习。 三、教学过程: 我的教学流程设计是: 创设情景、孕育新知:2、启发诱导、探索新知;3、讲练结合、巩固新知 4、知识拓展、深化提高5、小结新知,画龙点睛6、布置作业,复习巩固 教学环节 教学过程 教师活动 学生活动
《直线与圆的位置关系》 教材：华东师大版实验教材九年级上册 一、教材分析： 教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛； 学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运 动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知 识作铺垫。 教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会 用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直 线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法； 由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系” 从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受 数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想 的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 教学重、难点 重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系； 难点：学生能根据圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 之间的数量关系，揭示直线与圆的位置 关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。 二、教法与学法分析 教无定法，教学有法，贵在得法。数学是一门培养人的思维、发展人的思维的基础学科。在 教学过程中，不仅要对学生传授数学知识，更重要的应该是对他们传授数学思想、数学方法。 初三学生虽然有一定的理解力，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物 的具体直观形象，所以我以参与式探究教学法为主，整堂课紧紧围绕“情景问题——学生体 验——合作交流”的模式，并发挥微机的直观、形象功能辅助演示直线与圆的位置关系，激 励学生积极参与、观察、发现其知识的内在联系，使每个学生都能积极思维。这样，一方面 可激发学生学习的兴趣，提高学生的学习效率，另一方面拓展学生的思维空间，培养学生用 创造性思维去学会学习。 三、教学过程： 我的教学流程设计是： 创设情景、孕育新知；2、启发诱导、探索新知；3、讲练结合、巩固新知； 4、知识拓展、深化提高 5、小结新知，画龙点睛 6、布置作业，复习巩固 教学环节 教学过程 教师活动 学生活动
设计意图 创设情景,孕育新知,引入新课 1、微机演示唐朝诗人王维《使至塞上》: 单车欲问边,属国过居延 征蓬出汉塞,归雁入胡天。 大漠孤烟直,长河落日圆。 萧关逢候骑,都护在燕然 第三句以出色的描写,道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感。“荒芜人烟的戈壁滩 上只有烽火台的浓烟直冲天空”,如果我们从数学的角度看到的将是这样一幅几何图形 条直线垂直于一个平面。那么“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”又是怎样的几何图形呢? 请同学们猜想并动手画一画 借助微机展示“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”的动画图片从而展现直线与圆的三种位置 关系。 3、引入课题一一直线与圆的位置关系 提出问题,引导学生思考和探索:深入学生,了解学生探究情况 展示动画但不明示学生三种位置关系的名称 教师板书题目 观察思考,动手探究,交流发现 通过直观画面展示问题情景,学生大胆猜想,激发学生学习兴趣,营造探索问题的氛围。同 时让学生体会到数学知识无处不在,应用数学无处不有。符合“数学教学应从生活经验出发” 的新课程标准要求 启发诱导、讲解新知,探索结论 1、提出问题(让学生带着问题去学习): (1)、概括直线与圆的有哪几种位置关系,你是怎样区分这几种位置关系的? (2)如何用语言描述三种位置关系 (3)回顾点与圆的位置关系,你能不能探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系 (小组交流合作) 2、讲解新知:利用直线与圆的交点情况,引导学生分析、小结三种位置关系:(1)直线 圆没有交点,称为直线与圆相离 (2)直线与圆只有一个交点,称为直线与圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共 点叫切点 (3)直线与圆有两个交点,称为直线与圆相交。此时这条直线叫做圆的割线
设计意图 （一） 创设情景，孕育新知，引入新课 1、微机演示唐朝诗人王维《使至塞上》： 单车欲问边，属国过居延。 征蓬出汉塞，归雁入胡天。 大漠孤烟直，长河落日圆。 萧关逢候骑，都护在燕然。 第三句以出色的描写，道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感。“荒芜人烟的戈壁滩 上只有烽火台的浓烟直冲天空”，如果我们从数学的角度看到的将是这样一幅几何图形：一 条直线垂直于一个平面。那么“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”又是怎样的几何图形呢？ 请同学们猜想并动手画一画。 借助微机展示“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”的动画图片从而展现直线与圆的三种位置 关系。 3、引入课题——直线与圆的位置关系 提出问题，引导学生思考和探索；深入学生，了解学生探究情况 展示动画但不明示学生三种位置关系的名称 教师板书题目 观察思考，动手探究，交流发现 通过直观画面展示问题情景，学生大胆猜想，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同 时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。符合“数学教学应从生活经验出发” 的新课程标准要求。 （二） 启发诱导、讲解新知，探索结论； 1、提出问题（让学生带着问题去学习）： （1）、概括直线与圆的有哪几种位置关系，你是怎样区分这几种位置关系的？ （2）如何用语言描述三种位置关系？ （3）回顾点与圆的位置关系，你能不能探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。 （小组交流合作） 2、讲解新知：利用直线与圆的交点情况，引导学生分析、小结三种位置关系：（1）直线与 圆没有交点，称为直线与圆相离 （2）直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共 点叫切点。 （3）直线与圆有两个交点，称为直线与圆相交。此时这条直线叫做圆的割线
大胆猜想,探索结论 微机演示三个图形,观察圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系 (当dr时,直线在圆的外部,与圆没有交点,因此此时直线与圆相离 当d=r时,直线与圆只有一个交点,此时直线与圆相切 当dr时,直线与圆有两个交点,此时直线与圆相交) 即:dr直线与圆相离 d=r直线与圆相切 dr直线与圆相交 反之:若直线与圆相离,有dr吗? 若直线与圆相切,有d=r吗? 若直线与圆相交,有dr吗 总结 d 直线与圆相离 直线与圆相切 d<r 直线与圆相交 教师层层设问,让学生思维自然发展,教学有序的进入实质部分。在第(1)个问题中,学 生如果回答“从直线与圆的交点个数上来进行区分”,则顺利地进行后面的学习:如果回答 类比点与圆的位置关系比较圆半径r与圆心到直线的距离d的大小进行区分”,则在补充 交点个数多少的区分方法 教师引导小组合作、组织学生完成 教师板书讲解内容并总结:可利用直线与圆的交点个数判断直线与圆的三种位置关系。特别 强调“只有一个交点”的含义 教师重复演示引导学生探索,学生归纳总结之后教师对提出的问题给予肯定回答,并强调: 利用圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系也可以判断直线与圆的三种位置关系 观察、思考、猜测、概括 学生回答问题,概括定义 学生观察图形,积极思考,归纳总结,获得直线与圆的位置关系的两种判断方法 通过学生概括定义,培养学生归纳概括能力。由点与圆的位置关系的性质与判定,迁移到直 线与圆的位置关系,学生较容易想到画图、测量等实验方法,小组交流合作,教师适时指导, 探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系 在本环节中教师应关注如下几点:1、学生是否有独自的见解:2、学生能否理解“互逆”的 关系。如有需要,教师应在课中或课后加以解释 讲练结合,应用新知,巩固新知 已知圆的直径为10cm,圆心到直线的距离是:(1)3cm;(2)5cm;(3)7cm。直线和 圆有几个公共点?为什么 已知Rt△ABC的斜AB=6cm,直角边AC=3cm。圆心为A,半径分别为2cm、4cm的两个圆与 直线BC有怎样的位置关系?半径r多长时,BC与⊙A相切?
大胆猜想，探索结论： 微机演示三个图形，观察圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 之间的大小关系。 （当 d›r 时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离； 当 d=r 时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切； 当 d‹r 时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交） 即：d›r 直线与圆相离 d=r 直线与圆相切 d‹r 直线与圆相交 反之：若直线与圆相离，有 d›r 吗？ 若直线与圆相切，有 d=r 吗？ 若直线与圆相交，有 d‹r 吗？ 总结： d›r 直线与圆相离 d=r 直线与圆相切 d‹r 直线与圆相交 教师层层设问，让学生思维自然发展，教学有序的进入实质部分。在第（1）个问题中，学 生如果回答“从直线与圆的交点个数上来进行区分”，则顺利地进行后面的学习；如果回答 “类比点与圆的位置关系比较圆半径 r 与圆心到直线的距离 d 的大小进行区分”，则在补充 交点个数多少的区分方法。 教师引导小组合作、组织学生完成 教师板书讲解内容并总结：可利用直线与圆的交点个数判断直线与圆的三种位置关系。特别 强调“只有一个交点”的含义 教师重复演示引导学生探索，学生归纳总结之后教师对提出的问题给予肯定回答，并强调： 利用圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 之间的大小关系也可以判断直线与圆的三种位置关系。 观察、思考、猜测、概括 学生回答问题，概括定义 学生观察图形，积极思考，归纳总结，获得直线与圆的位置关系的两种判断方法 通过学生概括定义，培养学生归纳概括能力。由点与圆的位置关系的性质与判定，迁移到直 线与圆的位置关系，学生较容易想到画图、测量等实验方法，小组交流合作，教师适时指导， 探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。 在本环节中教师应关注如下几点：1、学生是否有独自的见解；2、学生能否理解“互逆”的 关系。如有需要，教师应在课中或课后加以解释。 （三） 讲练结合，应用新知，巩固新知 已知圆的直径为 10cm，圆心到直线 l 的距离是：（1）3cm ；（2）5cm ；（3）7cm。直线和 圆有几个公共点？为什么？ 已知 Rt△ABC 的斜 AB=6cm，直角边 AC=3cm。圆心为 A，半径分别为 2cm、4cm 的两个圆与 直线 BC 有怎样的位置关系？半径 r 多长时，BC 与⊙A 相切？
变式训练1、在上题中,“圆心为C,半径分别为2cm、4cm的两个圆与直线AB有怎样的位 置关系?半径r多长时,直线AB与⊙C相切 变式训练2、在上题中,若将直线AB改为边AB,⊙C与边AB相交,则圆半径r应取怎样的 值 组织学生完成,引导学生探索 教师加强个别指导,收集信息评估回授,充分发挥教学评价的激励、调控功能,及时采取补 救措施,使全体学生即使是学习有困难的学生都达到基本的学习目标,获得成功感 观察分析,独立完成,同桌点评,自我修正 观察分析 积极思考, 小组交流 合作 本环节的练习难度层层加大,其目的是让学生加强对新知的理解和应用,培养学生解决问题 的能力:基础题目和变式题目的结合既面向全体学生,也考虑到了学有余力的学生的学习, 体现了因材施教的教学原则 在本环节中,一定要充分教师的主导作用,发挥教学评价的激励、调控功能 (四) 知识拓展、深化提高 在某张航海图上,标明了三个观测点的坐标,如图,O(0,0),B(6,0),C(6,8),由 三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区。 求圆形区域的面积(取3.14) 某时刻海面上出现一渔船A,在观察点O测得A位于北偏东45,同时在观测点B测得A位 于北偏东30,那么当渔船A向正西方向航行时,是否会进入海洋生物保护区? 帮助学生理清思路,规范解题格式:让学生明白解此题的关键是:圆半径的大小、点A的 坐标。学会将实际问题转化为数学问题,把“渔船A向正西方向航行时,是否会进入海洋 生物保护区”的问题转化为直线与圆的位置关系的几何问题 分组讨论,理解数学建模思想和转化化归思想 这一阶段是学生形成技能、技巧,发展智力的重要阶段,但也是学生因疲劳而注意力易分散 的时期。如果教师此时教学设计得当、选题新颖,由于学生前面已尝到成功的甜蜜,则会乘 胜追击,破解难题;否则学生会就此罢休,无法达到预期目的。同时向学生渗透数学建模思 想和转化化归的数学思想,也适时进行环保教育 (五)
变式训练 1、在上题中，“圆心为 C，半径分别为 2cm、4cm 的两个圆与直线 AB 有怎样的位 置关系？半径 r 多长时，直线 AB 与⊙C 相切？ 变式训练 2、在上题中，若将直线 AB 改为边 AB，⊙C 与边 AB 相交，则圆半径 r 应取怎样的 值？ 组织学生完成，引导学生探索 教师加强个别指导，收集信息评估回授，充分发挥教学评价的激励、调控功能，及时采取补 救措施，使全体学生即使是学习有困难的学生都达到基本的学习目标，获得成功感。 观察分析，独立完成，同桌点评，自我修正 观察分析 积极思考， 小组交流 合作 本环节的练习难度层层加大，其目的是让学生加强对新知的理解和应用，培养学生解决问题 的能力；基础题目和变式题目的结合既面向全体学生，也考虑到了学有余力的学生的学习， 体现了因材施教的教学原则。 在本环节中，一定要充分教师的主导作用，发挥教学评价的激励、调控功能。 （四） 知识拓展、深化提高 在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0），B（6，0），C（6，8），由 三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区。 求 圆形区域的面积（取 3.14） 某时刻海面上出现一渔船 A，在观察点 O 测得 A 位于北偏东 45，同时在观测点 B 测得 A 位 于北偏东 30，那么当渔船 A 向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？ 帮助学生理清思路，规范解题格式；让学生明白解此题的关键是：圆半径的大小、点 A 的 坐标。学会将实际问题转化为数学问题，把“渔船 A 向正西方向航行时，是否会进入海洋 生物保护区”的问题转化为直线与圆的位置关系的几何问题。 分组讨论，理解数学建模思想和转化化归思想。 这一阶段是学生形成技能、技巧，发展智力的重要阶段，但也是学生因疲劳而注意力易分散 的时期。如果教师此时教学设计得当、选题新颖，由于学生前面已尝到成功的甜蜜，则会乘 胜追击，破解难题；否则学生会就此罢休，无法达到预期目的。同时向学生渗透数学建模思 想和转化化归的数学思想，也适时进行环保教育。 （五）
小结新知,画龙点睛 、填表:直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置 相交 相切 相离 公共点的个数 圆心到直线距离d与半径r的关系 无 直线名称 二、直线与圆的位置关系的两种判断方法 直线与圆的交点个数的多少 圆心到直线距离d与半径r的大小关系 教师提问,注意数学语言的简洁、准确 学生回答,同时反思不足 通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习—一总结一一再学习的良好学习 习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果
小结新知，画龙点睛 一、填表：直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置 相交 相切 相离 公共点的个数 圆心到直线距离 d 与半径 r 的关系 无 直线名称 无 二、直线与圆的位置关系的两种判断方法： 直线与圆的交点个数的多少 圆心到直线距离 d 与半径 r 的大小关系 教师提问，注意数学语言的简洁、准确 学生回答，同时反思不足 通过提问方式进行小结，交流收获与不足，让学生养成学习——总结——再学习的良好学习 习惯，有利于帮助学生理清知识脉络，同时明确本节课的学习目标，巩固学习效果
(六) 布置作业,复习巩固 阅读教材55、56页 P56练习123 提高练习:台风是一种在沿海地区较为常见的自然灾害,它在以台风中心为圆心的数十千米 乃至数百千米范围内肆虐,房屋、庄稼、汽车等将遭到极强破坏。2006年8月7日,台湾 省的东南方向距台湾省500公里处有一名叫“桑美”的台风中心形成。其中心最大风力为 14级,每离开台风中心30km风力将降低一级。若此台风中心沿着北偏西15的方向以15km/h 的速度移动,且台风中心风力不变。若城市所受到的台风风力为不小于4级,则称为受台风 台湾省会受到“桑美”台风的影响吗? 若会受影响,那会台风将会影响台湾省多长时间呢?最大风力将会是几级呢? 本环节的设计:一方面让学生养成课后复习阅读的良好习惯并通过适量的练习复习巩固课堂 知识,另一方面设计提高练习,旨在培优,体现了分层教学的原则和因材施教的原则,同时 渗透爱国注意教育。 教案设计说明: 本节课的设计体现了“学会学习,为终身学习作准备”的理念,让学生在“数学活动”中获 得学习的方法、能力和数学的思想,同时获得对数学学习的积极情感。 教师是教学工作的服务者,教师的责任是为学生的发展创造一个和谐、开放、富有情趣的学 习新知识的探究氛围。本课引用唐朝诗人王维的千古绝唱“大漠孤烟直,长河落日圆”配以 美伦美奂的景色,营造了探索问题的氛围:例题和提高练习的选用,让学生体会到数学知识 无处不在,应用数学无处不有,让学生感受到“生活处处不数学”,从而在生活中主动发觉 问题加以解决,达到“乐学”的目的:把实际问题与数学知识紧密联系,逐步渗透数学建模 的思想方法,让学生掌握到更多的技能技巧 课前设问,呈现本课知识目标。课前的3个设问,直奔主题,学生对本课应掌握的知识一目 了然,重点分明。 变式训练,把学生置于创新思维的深入培养过程之中。众所周知,实施素质教育的突破口是 创新教育,要培养学生的创新能力,就要有让学生进行创新思维的问题,而变式训练就是让 学生展开创新思维的主阵地。教师在教学活动中应努力的去挖掘教材,有意识的去训练学生 的思维,从而使学生逐渐形成良好的个性思维品质和良好的数学学习习惯
（六） 布置作业，复习巩固 阅读教材 55、56 页 P56 练习 1.2.3 提高练习：台风是一种在沿海地区较为常见的自然灾害，它在以台风中心为圆心的数十千米 乃至数百千米范围内肆虐，房屋、庄稼、汽车等将遭到极强破坏。2006 年 8 月 7 日，台湾 省的东南方向距台湾省 500 公里处有一名叫“桑美”的台风中心形成。其中心最大风力为 14 级，每离开台风中心 30km 风力将降低一级。若此台风中心沿着北偏西 15 的方向以 15km/h 的速度移动，且台风中心风力不变。若城市所受到的台风风力为不小于 4 级，则称为受台风 影响 台湾省会受到“桑美”台风的影响吗？ 若会受影响，那会台风将会影响台湾省多长时间呢？最大风力将会是几级呢？ 本环节的设计：一方面让学生养成课后复习阅读的良好习惯并通过适量的练习复习巩固课堂 知识，另一方面设计提高练习，旨在培优，体现了分层教学的原则和因材施教的原则，同时 渗透爱国注意教育。 教案设计说明： 本节课的设计体现了“学会学习，为终身学习作准备”的理念，让学生在“数学活动”中获 得学习的方法、能力和数学的思想，同时获得对数学学习的积极情感。 教师是教学工作的服务者，教师的责任是为学生的发展创造一个和谐、开放、富有情趣的学 习新知识的探究氛围。本课引用唐朝诗人王维的千古绝唱“大漠孤烟直，长河落日圆”配以 美伦美奂的景色，营造了探索问题的氛围；例题和提高练习的选用，让学生体会到数学知识 无处不在，应用数学无处不有，让学生感受到“生活处处不数学”，从而在生活中主动发觉 问题加以解决，达到“乐学”的目的；把实际问题与数学知识紧密联系，逐步渗透数学建模 的思想方法，让学生掌握到更多的技能技巧。 课前设问，呈现本课知识目标。课前的 3 个设问，直奔主题，学生对本课应掌握的知识一目 了然，重点分明。 变式训练，把学生置于创新思维的深入培养过程之中。众所周知，实施素质教育的突破口是 创新教育，要培养学生的创新能力，就要有让学生进行创新思维的问题，而变式训练就是让 学生展开创新思维的主阵地。教师在教学活动中应努力的去挖掘教材，有意识的去训练学生 的思维，从而使学生逐渐形成良好的个性思维品质和良好的数学学习习惯