§23空间直角坐标系典型习题 选择题 1.以棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空 间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为 A.(0,0.5,0.5)B.(0.5,0,0.5)C.(0.5,0.5,0)D.(0.5,0.5,0.5) 2.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点,则A、B两点距离为() A.10B.√10c.√38D.38 3.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体 ABCO-AB'CD,AC的中点E 与AB的中点F的距离为() B 4.一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到平面xoy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收, 那么光所走的路程是() A.√37B.√47c.√33D.√57 5.点P(x,y,z)满足√(x-1)2+(y-1)2+(x+1)2=2,则点P在 A.以点(1,1,-1)为圆心,以2为半径的圆上 B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体上 C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上 D.无法确定 6.若A、B两点的坐标是A(3cosa,3sin),B(2cos,2sin),则AB的取值范围是() A.[0,5]B.[1,SC.(1,5)D.[1,25 7.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是() ①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z) ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z);
§2.3 空间直角坐标系典型习题 一、选择题 1．以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线为坐标轴，建立空 间直角坐标系，则平面 AA1B1B 对角线交点的坐标为（ ） A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5） 2．设点 B 是点 A（2，-3，5）关于 xOy 面的对称点，则 A、B 两点距离为（ ） A．10 B． 10 C． 38 D．38 3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为（ ） A． a 2 B． 2a 2 C．a D． 2a 1 4．一束光线自点 P（1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收， 那么光所走的路程是（ ） A． 37 B． 47 C． 33 D． 57 5．点 P（x，y，z）满足 2 2 2 (x −1) + ( y −1) + (z +1) =2，则点 P 在（ ） A．以点（1，1，-1）为圆心，以 2 为半径的圆上 B．以点（1，1，-1）为中心，以 2 为棱长的正方体上 C．以点（1，1，-1）为球心，以 2 为半径的球面上 D．无法确定 6．若 A、B 两点的坐标是 A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ） A．[0，5] B．[1，5] C.（1，5） D．[1，25] 7．在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（ ） ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，﹣y，z）； ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2（x，﹣y，﹣z）；
③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z); ④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z D.0 8.设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0),则AB中点M到C点的距离为() 9.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则OB等于()B A.√14 B.√13 C.23 D.√11 10.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D 的坐标为() A.(3.5,4,-1)B.(2,3,1) C.(-3,1,5)D.(5,13,-3) 已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(x,y,15)三点共线,那么x,y的值分别 是() A.0.5,4 12.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是() 6 、填空题(每小题5分,共20分) 13.点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1,P关于坐标平面xOz的对称点为P2,则PP2= 4.已知三角形的三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则BC边上 的中线长为 5.已知x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2的最小值是 16.已知点A(-3,1,4),则点A关于原点的对称点B的坐标为 AB的长 三、解答题(共70分) 17.如图所示,过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2, OP=2,连接AP、BP、CP、DP,M、N分别是AB、BC的中点,以O为原点,射线OM、 ON、OP分别为Ox轴、O轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系.若E、F分别为PA PB的中点,求A、B、C、D、E、F的坐标
③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，﹣y，z）； ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（﹣x，﹣y，﹣z）． A．3 B．2 C．1 D．0 8．设 A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则 AB 中点 M 到 C 点的距离为（ ） A． B． C． D． 9．点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）B A． B． C． D． 10．已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点 D 的坐标为（ ） A．（3.5，4，﹣1） B．（2，3，1） C．（﹣3，1，5） D．（5，13，﹣3） 11．已知点 A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么 x，y 的值分别 是（ ） A．0.5，4 B．1，8 C．-0.5，﹣4 D．﹣1，﹣8 12．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为 P1，P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2，则|P1P2|= ____ 14．已知三角形的三个顶点为 A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则 BC 边上 的中线长为 _____________ 15．已知 x，y，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么 x 2+y2+z2 的最小值是 ____________ 16. 已知点 A（﹣3，1，4），则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为 ；AB 的长 为 ． 三、解答题（共 70 分） 17．如图所示，过正方形 ABCD 的中心 O 作 OP⊥平面 ABCD，已知正方形的边长为 2， OP=2，连接 AP、BP、CP、DP，M、N 分别是 AB、BC 的中点，以 O 为原点，射线 OM、 ON、OP 分别为 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若 E、F 分别为 PA、 PB 的中点，求 A、B、C、D、E、F 的坐标．
18.在空间直角坐标系中,解答下列各题:(1)在ⅹ轴上求一点P,使它与点P(4,1,2) 的距离为√30:(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1) 的距离最小 19.已知空间直角坐标系Oxyz中点A(1,1,1),平面a过点A且与直线OA垂直,动 点P(x,y,z)是平面a内的任一点.(1)求点P的坐标满足的条件 (2)求平面a与坐标平面围成的几何体的体积 20.如图,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a,M为BD的中点,点N在AC上,且 AN=3NC,试求MN的长 21.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问 (1)在y轴上是否存在点M,满足MA=MB? (2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M坐标 参考答案: 、选择题 1.以棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空 间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为 A.(0,0.5,0.5)B.(0.5,0,0.5)C.(0.5,0.5,0)D.(0.5,0.5,0.5)
18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0（4，1，2） 的距离为 30 ；（2）在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1） 的距离最小． 19．已知空间直角坐标系 O-xyz 中点 A（1，1，1），平面 α 过点 A 且与直线 OA 垂直，动 点 P（x，y，z）是平面 α 内的任一点．（1）求点 P 的坐标满足的条件； （2）求平面 α 与坐标平面围成的几何体的体积． 20．如图，已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 a，M 为 BD′的中点，点 N 在 A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求 MN 的长． 21．在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，1）和 B（1，0，﹣3），试问 （1）在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|=|MB|？ （2）在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 坐标． 参考答案： 一、选择题 1．以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线为坐标轴，建立空 间直角坐标系，则平面 AA1B1B 对角线交点的坐标为（ ） A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5）
【解答】x 解:由题意如图,平面AA1B1B对角线交点是 横坐标为AB的中点值,竖坐标为AA1的中点值,纵坐标为0,所以平面AA1B1B对角线交 点的坐标为(0.5,0,0.5).故选 2.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点,则A、B两点距离为() A.10B.√10C D.38 解答】解:点B是A(2,-3,5)关于xoy平面对称的点,∴B点的横标和纵标与A点相 同,竖标相反,∴B(2,-3,-5)∴AB的长度是5-(-5)=10,故选A 3.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-AB'CD,AC的中点E 与AB的中点F的距离为() B oi... 【解答】解:如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD, ∵A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a), AC的中点E与AB的中点F,∴F(a 0),E( aa 222 EF=(a-a)2+(-a)2+(0-9)2=√2 4.一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到平面xoy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收, 那么光所走的路程是 A.√37B.√47C.√33 解答】解:点P(1,1,1)平面xoy的对称点的M坐标(1,1,-1),一束光线自点P (1,1,1)发出,遇到平面xoy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收, 那么光所走的路程是:√(3-1)2+(3-1)2+(6+12=√57.故选
【解答】 解：由题意如图，平面 AA1B1B 对角线交点是 横坐标为 AB 的中点值，竖坐标为 AA1 的中点值，纵坐标为 0，所以平面 AA1B1B 对角线交 点的坐标为（0.5，0，0.5）．故选 B． 2．设点 B 是点 A（2，-3，5）关于 xOy 面的对称点，则 A、B 两点距离为（ ） A．10 B． 10 C． 38 D．38 【解答】解：点 B 是 A（2，-3，5）关于 xoy 平面对称的点，∴B 点的横标和纵标与 A 点相 同，竖标相反，∴B（2，-3，-5）∴AB 的长度是 5-（-5）=10，故选 A． 3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为（ ） A． a 2 B． 2a 2 C．a D． 2a 1 【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′， ∵A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A′（a，0，a）， A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F，∴F（a， 2 a ，0），E（ 2 a ， 2 a ， 2 a ）， |EF|= 2 2 2 ) (0 ) 2 ( ) ( a a a a a a a − + − + − = 2 2 a． 4．一束光线自点 P（1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收， 那么光所走的路程是（ ） A． 37 B． 47 C． 33 D． 57 【解答】解：点 P（1，1，1）平面 xoy 的对称点的 M 坐标（1，1，-1），一束光线自点 P （1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收， 那么光所走的路程是： 2 2 2 (3 −1) + (3 −1) + (6 +1) = 57 ．故选 D．
5.点P(x,y,z)满足√(x-1)2+(y-1)2+(x2+1)2=2,则点P在 A.以点(1,1,-1)为圆心,以2为半径的圆上 B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体上 C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上 D.无法确定 解答】解:式子x-1y2+(,-1)2+(=+1y==2的几何意义 是动点P(x,y,z)到定点(1,1,-1)的距离为2的点的集合.故选C 6.若A、B两点的坐标是A(3cosa,3sina),B(2cos),2sin0),则AB的取值范围是() [1,5]C.(1,5)D.[1,25 【解答】解:由题意可得AB= (3cos ce-2 cos B)-+(3sin c-2 sin B) =√⑨+4-12 coS a cos p+ sin a sin B=√13-12cos(a 1scos(aB)sl,∴ls1312cos(a-B)s25,∴1s√3-12cos(a-B≤5,故选B 7.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是()C ①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z); ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z); ③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z) ④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z). A.3 B.2 8.设A(3,3,1)、B(1,0,.5)、C(0,1,0),则AB中点M到C点的距离为()C 2 9.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则OB等于()B A.√14 3 10.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D 的坐标为()D A.(3.5,4,-1)B.(2,3,1) C.(-3,1,5)D.(5,13,-3) 1l.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(x,y,15)三点共线,那么ⅹ,y的值分别 是()C A.0.5,4 B.1,8 C.-0.5,-4 D.-1,-8 12.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是(A) A.√6 、填空题(每小题5分,共20分) 13.点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P,P关于坐标平面xOz的对称点为P2,则PP2=
5．点 P（x，y，z）满足 2 2 2 (x −1) + ( y −1) + (z +1) =2，则点 P 在（ ） A．以点（1，1，-1）为圆心，以 2 为半径的圆上 B．以点（1，1，-1）为中心，以 2 为棱长的正方体上 C．以点（1，1，-1）为球心，以 2 为半径的球面上 D．无法确定 【解答】解：式子 2 2 2 (x −1) + (y −1) + (z +1) =2 的几何意义 是动点 P（x，y，z）到定点（1，1，-1）的距离为 2 的点的集合．故选 C． 6．若 A、B 两点的坐标是 A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ） A．[0，5] B．[1，5] C.（1，5） D．[1，25] 【解答】解：由题意可得|AB|= 2 2 (3cos − 2cos ) + (3sin − 2sin ) = 9 + 4 −12cos cos + sin sin = 13−12cos( − ) ． ∵-1≤cos（α-β）≤1，∴1≤13-12cos（α-β）≤25，∴1≤ 13−12cos( − ) ≤5，故选 B． 7．在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（ ）C ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，﹣y，z）； ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2（x，﹣y，﹣z）； ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，﹣y，z）； ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（﹣x，﹣y，﹣z）． A．3 B．2 C．1 D．0 8．设 A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则 AB 中点 M 到 C 点的距离为（ ）C A． B． C． D． 9．点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）B A． B． C． D． 10．已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点 D 的坐标为（ ）D A．（3.5，4，﹣1） B．（2，3，1） C．（﹣3，1，5） D．（5，13，﹣3） 11．已知点 A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么 x，y 的值分别 是（ ）C A．0.5，4 B．1，8 C．-0.5，﹣4 D．﹣1，﹣8 12．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是（ A） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为 P1，P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2，则|P1P2|= ____2 14
【解答】解:∵点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1,所以P1(-1,2,-3),P关于坐 标平面xOz的对称点为P2,所以P2(1,-2,3), PP2√(-1-12+(2+2)2+(-3-3)2=2√14.故答案为:2√14 14.已知三角形的三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则BC边上 的中线长为 【解答】解:∵B(3,2,-6),C(5,0,2),∴BC边上的中点坐标是D(4,1,-2) BC边上的中线长为√(4-2)2+(1+1)2+(-2-4)2=2√2,故答案为:2√11 15.已知x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+2=2,那么x2+y2+2的最小值是 解答J解:由题意可得P(x,y,z),在以M(3,4,0)为球心,√2为半径的球面上, x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方,显然当O,P,M共线且P在O,M之间时,)OPl 最小 此时OP=OM√2=√32+4.2=√2,所以0P=2710√.故答案为:2710√2 16.已知点A(-3,1,4),则点A关于原点的对称点B的坐标为 AB的长 为 、解答题(共70分) 17.如图所示,过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2 OP=2,连接AP、BP、CP、DP,M、N分别是AB、BC的中点,以O为原点,射线OM ON、OP分别为Ox轴、O轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系.若E、F分别为PA PB的中点,求A、B、C、D、E、F的坐标. 解:【解答】解:如图所示,B点的坐标为(1,1,0 因为A点关于ⅹ轴对称,得A(1,-1,0),C点与B点关于y轴对称,得C(-1,1,0), D与C关于x轴对称,的D(-1,-1,0),又P(0,0,2),E为AP的中点,F为PB的 中点,由中点坐标公式可得E(0.5,-0.5,1),F(0.5,0.5,1) 18.在空间直角坐标系中,解答下列各题:(1)在ⅹ轴上求一点P,使它与点P(4,1,2) 的距离为√30;(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1) 的距离最小 解:【解答J解:(1)设点P的坐标是(x,0,0),由题意POP=√30,即 (x-4)2+12+22=√30,∴(x-4)2=25.解得x=9或x=1
【解答】解：∵点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为 P1，所以 P1（-1，2，-3），P 关于坐 标平面 xOz 的对称点为 P2，所以 P2（1，-2，3）， ∴|P1P2|= 2 2 2 (−1−1) + (2 + 2) + (−3 − 3) =2 14 ．故答案为：2 14 14．已知三角形的三个顶点为 A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则 BC 边上 的中线长为 _____________2 11 【解答】解：∵B（3，2，-6），C（5，0，2），∴BC 边上的中点坐标是 D（4，1，-2） ∴BC 边上的中线长为 2 2 2 (4 − 2) + (1+1) + (−2 − 4) =2 2 ，故答案为：2 11 15．已知 x，y，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么 x 2+y2+z2 的最小值是 ____________27-10 2 ． 【解答】解：由题意可得 P（x，y，z），在以 M（3，4，0）为球心， 2 为半径的球面上， x 2+y2+z2 表示原点与点 P 的距离的平方，显然当 O，P，M 共线且 P 在 O，M 之间时，|OP| 最小， 此时|OP|=|OM|- 2 = 3 4 2 + - 2 =5 2 ，所以|OP|2=27-10 2 ．故答案为：27-10 2 ． 16. 已知点 A（﹣3，1，4），则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为 ；AB 的长 为 ．（3，-1，-4）2 三、解答题（共 70 分） 17．如图所示，过正方形 ABCD 的中心 O 作 OP⊥平面 ABCD，已知正方形的边长为 2， OP=2，连接 AP、BP、CP、DP，M、N 分别是 AB、BC 的中点，以 O 为原点，射线 OM、 ON、OP 分别为 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若 E、F 分别为 PA、 PB 的中点，求 A、B、C、D、E、F 的坐标． 解：【解答】解：如图所示，B 点的坐标为（1，1，0）， 因为 A 点关于 x 轴对称，得 A（1，-1，0），C 点与 B 点关于 y 轴对称，得 C（-1，1，0）， D 与 C 关于 x 轴对称，的 D（-1，-1，0），又 P（0，0，2），E 为 AP 的中点，F 为 PB 的 中点，由中点坐标公式可得 E（0.5，-0.5，1），F（0.5，0.5，1）． 18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0（4，1，2） 的距离为 30 ；（2）在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1） 的距离最小． 解：【解答】解：（1）设点 P 的坐标是（x，0，0），由题意|P0P|= 30 ，即 2 2 2 (x − 4) +1 + 2 = 30 ，∴（x-4）2=25．解得 x=9 或 x=-1．
点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).先设点M(x,1-x,0),然后利用空间两点的 距离公式表示出距离,最后根据二次函数研究最值即可 (2)设点M(x,1-x,0)则MN=√2(x-1)2+51∴当x=1时, NMin=√51.∴点M 的坐标为(1,0,0)时到点N(6,5,1)的距离最小 19.已知空间直角坐标系Oxyz中点A(1,1,1),平面a过点A且与直线OA垂直,动 点P(x,y,z)是平面a内的任一点.(1)求点P的坐标满足的条件 (2)求平面a与坐标平面围成的几何体的体积 解:【解答J解:(1)因为OA⊥a,所以OA⊥AP,由勾股定理可得:OAP+AP=OP, 即3+(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=x2+y2+z2,化简得:x+y+z=3 (2)设平面a与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H, 则M(3,0,0)、N(0,3,0)、H(0,0,3).所以MN=NH=MH+3√2 所以等边三角形MNH的面积为:√3/4x(3√2)=9√3/2 又OA=√3,故三棱锥OMNH的体积为:1x9√3/2x√3=4.5 20.如图,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a,M为BD的中点,点N在AC上,且 AN|=3NCl,试求MN的长 【解答】解:以D为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为a,所以B(a,a 0),A'(a,0,a),C"(0,a,a),D(0,0,a).由于M为BD的中点,取AC中点 O,所以M( 2·22),0(2,2,a)·因为AN=3NC,所以N为AC的四等分 从而N为OC的中点,故N(4,4a,a),根据空间两点距离公式,可得MN= V24 21.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问 (1)在y轴上是否存在点M,满足MA=MB? 2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M坐标 解答】解:(1)假设在y轴上存在点M,满足MA=MBl 因M在y轴上,可设M(0,y,0),由MA=MB, 可得√32+y2+12=√h+y2+32显然,此式对任意y∈R恒成立 这就是说y轴上所有点都满足关系MA=|MB,(2)假设在y轴上存在点M,使△MAB为
∴点 P 坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点 M（x，1-x，0），然后利用空间两点的 距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可． （2）设点 M（x，1-x，0）则|MN|= 2( 1) 51 2 x − + ∴当 x=1 时，|MN|min= 51 ．∴点 M 的坐标为（1，0，0）时到点 N（6，5，1）的距离最小． 19．已知空间直角坐标系 O-xyz 中点 A（1，1，1），平面 α 过点 A 且与直线 OA 垂直，动 点 P（x，y，z）是平面 α 内的任一点．（1）求点 P 的坐标满足的条件； （2）求平面 α 与坐标平面围成的几何体的体积． 解：【解答】解：（1）因为 OA⊥α，所以 OA⊥AP，由勾股定理可得：|OA| 2+|AP|2=|OP|2， 即 3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3． （2）设平面 α 与 x 轴、y 轴、z 轴的点分别为 M、N、H， 则 M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=3 2 ， 所以等边三角形 MNH 的面积为： 3 /4×(3 2 ) 2=9 3 /2． 又|OA|= 3 ，故三棱锥 0-MNH 的体积为： 3 1 ×9 3 /2× 3 =4.5． 20．如图，已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 a，M 为 BD′的中点，点 N 在 A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求 MN 的长． 【解答】解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为 a，所以 B（a，a， 0），A'（a，0，a），C'（0，a，a），D'（0，0，a）．由于 M 为 BD'的中点，取 A'C'中点 O',所以 M（ 2 a ， 2 a ， 2 a ），O'（ 2 a ， 2 a ，a）．因为|A'N|=3|NC'|，所以 N 为 A'C'的四等分, 从而 N 为 O'C'的中点，故 N（ 4 a ， 4 3 a，a）．根据空间两点距离公式，可得|MN|＝ 2 2 2 ) 2 ) ( 4 3 2 ) ( 2 4 ( a a a a a a − + − + − ＝ 4 6 a 21．在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，1）和 B（1，0，﹣3），试问 （1）在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|=|MB|？ （2）在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 坐标． 【解答】解：（1）假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA|=|MB|． 因 M 在 y 轴上，可设 M（0，y，0），由|MA|=|MB|， 可得 2 2 2 2 2 2 3 + y +1 = 1 + y + 3 显然，此式对任意 y∈R 恒成立． 这就是说 y 轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|．（2）假设在 y 轴上存在点 M，使△MAB 为
等边三角形.由(1)可知,y轴上任一点都有MA=MB,所以只MA=AB就可以使得△ MAB是等边三角形.因为MAF√(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2=√0+y2 MAB|=√-3)2+(0-0)2+(3-12=√20于是√0+y2=√20,解得y=±√10 故y轴上存在点M使△MAB等边,M坐标为(0,√10,0),或(0,-√10,0 空间直角坐标系优化训练 同步测控 1.已知点A(-1,2,7),则点A关于x轴对称点的坐标为( B.(-1,-2,7) C.(1,-2,-7) D.(1,2,-7) 2.点P(-2,0,3)位于 A.y轴上 B.z轴上 C.xOz平面内 D.yOz平面内 3.如图所示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为() B.2 D.4 4.点P(-3,2,1)关于Q(1,2,-3)的对称点M的坐标是 5在空间直角坐标系Oxyz中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为,在平面xOy 上的射影的坐标为 在Jz平面上的射影的坐标为 课时训练 1.如图,在正方体 ABCDA′BC"D中,棱长为1,|BP=|BD|,则P点的坐标 为() A 32-3 2.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是( A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称 C.关于坐标原点对称D.关于y轴对称 3.已知空间直角坐标系中有一点M(x,y,z)满足xy>z,且x+y+z=0,则M点的位
等边三角形．由（1）可知，y 轴上任一点都有|MA|=|MB|，所以只|MA|=|AB|就可以使得△ MAB 是等边三角形．因为|MA|= 2 2 2 (3 − 0) + (0 − y) + (1− 0) ＝ 2 10 + y |AB|= 2 2 2 (1− 3) + (0 − 0) + (3 −1) ＝ 20 于是 2 10 + y ＝ 20 ，解得 y＝± 10 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 等边，M 坐标为（0， 10 ，0），或（0，− 10 ，0）． 空间直角坐标系 优化训练 1．已知点 A(－1,2,7)，则点 A 关于 x 轴对称点的坐标为( ) A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7) C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7) 2．点 P(－2,0,3)位于( ) A．y 轴上 B．z 轴上 C．xOz 平面内 D．yOz 平面内 3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．点 P(－3,2,1)关于 Q(1,2，－3)的对称点 M 的坐标是________． 5．在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 P(2,3,4)在 x 轴上的射影的坐标为______，在平面 xOy 上的射影的坐标为______，在 yOz 平面上的射影的坐标为______． 1．如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，棱长为 1，|BP|＝ 1 3 |BD′|，则 P 点的坐标 为( ) A．( 1 3 ， 1 3 ， 1 3 ) B．( 2 3 ， 2 3 ， 2 3 ) C．( 1 3 ， 2 3 ， 1 3 ) D．( 2 3 ， 2 3 ， 1 3 ) 2．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关系是( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 yOz 平面对称 C．关于坐标原点对称 D．关于 y 轴对称 3．已知空间直角坐标系中有一点 M(x，y，z)满足 x>y>z，且 x＋y＋z＝0，则 M 点的位
置是() A.一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限B.一定在第Ⅷ卦限 C.可能在第Ⅰ卦限 D.可能在xOz平面上 4.在空间直角坐标系中,点P(,VE,√3),过点P作平面xOy的垂线P,垂足为 则Q的坐标为() A.(0,V2, B.(0,√2 C.(1,0,√3) 5.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7),则△ABC的 重心坐标为() B.4, 6.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( A.一个平面 B.一条直线 C.一个圆 D.一个球 7.在xOy平面内有两点A(-2,4,0),B(3,2,0),则AB的中点坐标是 8.已知口ABCD的两个顶点A(2,-3,-5),B(-1,3,2)以及它的对角线交点E(4,-1,7), 则顶点C的坐标为 D的坐标为 9.点P(a,b,c)关于原点的对称点P在x轴上的投影A的坐标为 10.在三棱锥S-ABC中,SA⊥AB,SHA⊥AC,AB⊥AC,且SA=AB=AC=a,D为BC的中点, E为SD的中点,建立适当的坐标系,求点S、A、B、C、DE的坐标 11.如图,在长方体OABC-DABC中,|O=1,|OC1=3,|OD|=2,点E在 线段AO的延长线上,且|OE=,写出B",C,E的坐标 E
置是( ) A．一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限 B．一定在第Ⅷ卦限 C．可能在第Ⅰ卦限 D．可能在 xOz 平面上 4. 在空间直角坐标系中，点 P(1， 2， 3)，过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ，垂足为 Q， 则 Q 的坐标为( ) A．(0， 2，0) B．(0， 2， 3) C．(1,0， 3) D．(1， 2，0) 5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ABC 的 重心坐标为( ) A. 6， 7 2 ，3 B. 4， 7 3 ，2 C. 8， 14 3 ，4 D. 2， 7 6 ，1 6．设 z 是任意实数，相应的点 P(2,2，z)运动的轨迹是( ) A．一个平面 B．一条直线 C．一个圆 D．一个球 7．在 xOy 平面内有两点 A(－2,4,0)，B(3,2,0)，则 AB 的中点坐标是________． 8．已知▱ABCD 的两个顶点 A(2，－3，－5)，B(－1,3,2)以及它的对角线交点 E(4，－1,7)， 则顶点 C 的坐标为________，D 的坐标为________． 9．点 P(a，b，c)关于原点的对称点 P′在 x 轴上的投影 A 的坐标为________． 10．在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，且 SA＝AB＝AC＝a，D 为 BC 的中点， E 为 SD 的中点，建立适当的坐标系，求点 S、A、B、C、D、E 的坐标． 11. 如图，在长方体 OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝1，|OC|＝3，|OD′|＝2，点 E 在 线段 AO 的延长线上，且|OE|＝ 1 2 ，写出 B′，C，E 的坐标．
2.如图,有一个棱长为1的正方体ABCD-ABCD,以点D为坐标原点,分别以射线DA, D,D的方向为正方向,以线段DA,DC,D的长度为单位长,建立三条数轴:x轴,y轴 z轴,从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz.一只小蚂蚁从点A出发,不返回地沿着棱爬行了 2个单位长,请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置 D 空间直角坐标系优化训练 ◆◆同步测控◆◆ 1.已知点A(-1,2,7),则点A关于x轴对称点的坐标为( B.(-1 C.(1,-2,-7) D.(1,2,-7) 答案:A 2.点P(-2,0,3)位于 A.y轴上 B.z轴上 C.xOz平面内 D.JOz平面内 解析:选C.由点P纵坐标为零知P(-2,0,3),在xOz平面内 3.如图所示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为() B.2 答案:C 4.点P(-3,2,1)关于Q(1,2,-3)的对称点M的坐标是 解析:设M坐标为(x,,2,则有1=x3,2=2+, 1+z 2,解得 z=-7∴M(5,2,-7) 答案:(5,2,-7) 5.在空间直角坐标系Oxyz中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为,在平面xOy 上的射影的坐标为,在yOz平面上的射影的坐标为 答案:(2,0,0)(2,3,0)(0,3,4) ◆◆课时训练◆ 1.如图,在正方体 ABCDA B"CD中,棱长为1,|BP=|BD|,则P点的坐标 为() DL
12. 如图，有一个棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1，以点 D 为坐标原点，分别以射线 DA， DC，DD1 的方向为正方向，以线段 DA，DC，DD1 的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴， z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系 Oxyz.一只小蚂蚁从点 A 出发，不返回地沿着棱爬行了 2 个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置． 空间直角坐标系 优化训练 1．已知点 A(－1,2,7)，则点 A 关于 x 轴对称点的坐标为( ) A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7) C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7) 答案：A 2．点 P(－2,0,3)位于( ) A．y 轴上 B．z 轴上 C．xOz 平面内 D．yOz 平面内 解析：选 C.由点 P 纵坐标为零知 P(－2,0,3)，在 xOz 平面内． 3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 4．点 P(－3,2,1)关于 Q(1,2，－3)的对称点 M 的坐标是________． 解析：设 M 坐标为(x，y，z)，则有 1＝ x－3 2 ，2＝ 2＋y 2 ，－3＝ 1＋z 2 ，解得 x＝5，y＝2， z＝－7∴M(5,2，－7)． 答案：(5,2，－7) 5．在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 P(2,3,4)在 x 轴上的射影的坐标为______，在平面 xOy 上的射影的坐标为______，在 yOz 平面上的射影的坐标为______． 答案：(2,0,0) (2,3,0) (0,3,4) 1．如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，棱长为 1，|BP|＝ 1 3 |BD′|，则 P 点的坐标 为( )