高中知识点之集合 集合的有关概念 1定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2表示方法:集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母ABC…表示, 而元素用小写的拉丁字母ab,c…表示。 3集合想等:构成两个集合的元素完全一样 4.元素与集食的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于g两种) (1)若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a∈A (2)若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作agA 5.裳用的数集及记法 非负整数集(或自然数集),记作N 正整数集,记作N或N;N内排除0的集 整数集,记作Z:有理数集,记作Q 实数集,记作R 6.关于集食的元表的特t (1)确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如:“地球上的四大洋”(太平洋大西洋,印度洋,北冰洋)。“中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性:而“比较大 的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的 2)互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的 如方程x2)(x12=0的解集表示为{1-2},而不是{12} (3)无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于g”两种) (1)若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a∈A (2)若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作agA。 二、集合的表示方法 1列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫 列举法。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2}, 说明:(1)书写时,元素与元素之间用逗号分开 (2)一般不必考虑元素之间的顺序; (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序; (4)集合中的元素可以为数,点,代数式等 第1页
第1页 高中知识点之集合 一、集合的有关概念 ⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母 a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于 ”及“不属于 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A； ⑵若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作 N； 正整数集，记作 N*或 N+；N 内排除 0 的集. 整数集，记作 Z； 有理数集，记作 Q； 实数集，记作 R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点 P 周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 1,-2 ,而不是 1,1,-2 ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于 ”及“不属于 ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A； ⑵若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。 二、集合的表示方法 ⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫 列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3 -x，x 2+y2}，…； 说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开； ⑵一般不必考虑元素之间的顺序； ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； ⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；
(5)列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单: 若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可 以用列举法表示。 (6)对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号,象自然数集N用列举法表示为{2,345… 2描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画 一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一般格式:{x∈A|p(x)} 如:{xx-3>2},{(x,y)=x2+1},{x直角三角形},…; 用符号描述法表示集合时应注意 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真, 而不能被表面的字母形式所迷惑 三、集合的分类 有限集:含有有限个元素的集合 集合的分类无限集:含有无限个元素的集合 空集:不含有任何元素的集合a(empy-gn) 四、集合的基本关系 1子集:对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个 集合有包含关系,称集合A是集合B的子集( subset)。 记作:A≤B(或B2A)读作:A包含于B,或B包含A 当集合A不包含于集合B时,记作AgB(或BA 用venn图表示两个集合间的“包含”关系 A))表示:A≌B 2集合相等定义:如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则集合A与集合B 中的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,即若AB且BcA,则A=B。 如:A={xx=m+1,m∈Z},B={x=2n-1,n∈2},此时有A=B 3真子集定义:若集合AcB,但存在元素x∈B,且xgA,则称集合A是集合B的真子集 记作:A≡B(或BA)读作:A真包含于B(或B真包含A) 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作:p 5.几个重要的结论 (1)空集是任何集合的子集;对于任意一个集合A都有φA (2)空集是任何非空集合的真子集; (3任何一个集合是它本身的子集 (4)对于集合A,B,C,如果AcB,且BcC,那么AcC。 五、集合间的基本运算: 第2页
第2页 ⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单； 若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可 以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为 1,2,3,4,5,...... ⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画 一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式：x A p x ( ) 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…； 用符号描述法表示集合时应注意： １、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？ ２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真， 而不能被表面的字母形式所迷惑。 三、集合的分类 集合的分类 : : : ( ) empty set − 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含有任何元素的集合 四、集合的基本关系 ⒈子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这 两个 集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集（subset）。 记作： A B B A ( ) 或 读作：A 包含于 B，或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A⊈B(或 B⊉A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： ⒉集合相等定义：如果 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，即若 A B B A 且 ，则 A B = 。 如：A={x|x=2m+1，m Z}，B={x|x=2n-1，n Z}，此时有 A=B。 ⒊真子集定义：若集合 A B ，但存在元素 x B x A ,且 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作：A B（或 B A） 读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A） 4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作： 5.几个重要的结论： ⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合 A 都有 A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集； ⑷对于集合 A，B，C，如果 A B ，且 B C ，那么 A C 。 五、集合间的基本运算； B A 表示： A B
1.并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B 的并集,即A与B的所有部分, 记作AUB,读作:A并B 即A∪B={xx∈A或x∈B}。 venn图表示: 3.交集定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A、B的 交集( Intersection set), 记作:A∩B读作:A交B 即:A∩B={xx∈A,且x∈B} venn图表示: 阴影部分即为A与B的交集) 常见的五种交集的情况: A(B) B 4全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集记作U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念 补集的定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,叫作集 合A相对于全集U的补集 记作:CA,读作:A在U中的补集,即CA={xxeU,且xg4} venn图表示:(阴影部分即为A在全集U中的补集) A 补充:集合中元素的个数 在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫 做有限集,用card(A)表示集合A中元素的个数。例如:集合A={abc}中有三个元素,我们记 作card(A)=3 结论:已知两个有限集合A,B,有: card(aUB= card(A)+ card(B- card(a∩B) 个集合当中有N个元素,那么该集合的子集有2N个 真子集有2N-1个 非空真子集有2N-2个 第3页
第3页 1.并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，即 A 与 B 的所有部分， 记作 A∪B， 读作：A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。 Venn 图表示： 2. 3.交集定义：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫作集合 A、B 的 交集（intersection set）， 记作：A∩B 读作：A 交 B 即：A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B} Venn 图表示： 常见的五种交集的情况： 4.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作 U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 5.补集的定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作： C AU ，读作：A 在 U 中的补集，即 C A x x U x A U = ,且 Venn 图表示：（阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集） A U CUA 补充：集合中元素的个数 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A 叫 做有限集，用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如：集合 A={a,b,c}中有三个元素，我们记 作 card(A)=3. 结论:已知两个有限集合 A，B，有：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 一个集合当中有 N 个元素，那么该集合的子集有 2 N 个 真子集有 2 N -1 个 非空真子集有 2 N -2 个 B A A(B) A B A B A B （阴影部分即为 A 与 B 的交集）