设A是有限集,A中元素的个数称为集合A的元素数,记为A。特别,|=0,|φ}=1 AcB子集和元素的区别符号包含属于 A=B当且仅当AcB且BcA。(用于证明) 是否存在集合A和B,使得A∈B且AcB?若存在,请举一例 设A={a},B={a,ab,c},则有A∈B且AcB 再例如:φ∈且φ 设A是集合,A的所有子集为元素做成的集合称为A的幂集,记以pA)或2。|2^=2 P(A=SSCAN 例:A={ab,c},则 P(A=O, ablc, a, b]a, c)b, c), fa, b,c) 幂集合仍然是集合。例写出集合{a,b}的幂集合 正确的写法:p(A)=φa}ba, 错误的写法:p(A)=ψa}bab} 集合A一共有Cn0+Cn+…+C"个子集 设C是一个集合。若C的元素都是集合,则称C为集合族 若集合族C可表示为C=Sd∈D}.则称D为集合族C的标志(索引)集 设A,B是两个集合。由属于集合A而不属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与 B的差集记以AB,或A\B 设A,B是两个集合。则A与B的环和(对称差)记以AB定义为AB=(A-B∪(B-A) A与B的对称差还有一个等价的定义,即AB=(A∪B)(A∩B 设A,B是两个集合,则A与B的环积定义为A⑧B=AB 1.分配律A∩(BUC)=(A∩B)∪(Anc) A∪(Bnc)=(A∪B)n(A∪C。 证明:A∩BUC=(A∩B)∪(A∩C) 先证An(B∪C)s【A∩B)u(Anc) 任取a∈A∩(B∪C) 则a∈A并且a∈BUC 由a∈BUC知,a∈B或a∈C。 若a∈B,则a∈A∩B 若a∈C,则a∈A∩C
设 A 是有限集，A 中元素的个数称为集合 A的元素数，记为A。特别，| |=0，|{}|=1 A B 子集和元素的区别 符号 包含 属于 A=B 当且仅当 AB 且 BA。（用于证明） 是否存在集合 A 和 B, 使得 AB 且 AB ？若存在，请举一例 设 A={a} ，B={a,{a},b,c}，则有:AB 且 AB 再例如： {}且{} 设 A 是集合，A 的所有子集为元素做成的集合称为 A 的幂集，记以(A)或 2 A。|2A | =2n (A)={S|S A} 例： A={a,b,c} ，则 (A)={, {a},{b},{c}, {a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}} 幂集合仍然是集合。例. 写出集合{a, b}的幂集合： 正确的写法：(A)={,{a},{b},{a,b}} 错误的写法：(A)= ,{a},{b},{a,b} 集合 A 一共有 Cn 0 + Cn 1 +… + Cn n 个子集 ➢ 设 C 是一个集合。若 C 的元素都是集合，则称 C 为集合族。 ➢ 若集合族 C 可表示为 C={SddD}，则称 D 为集合族 C 的标志（索引）集。 设 A，B 是两个集合。由属于集合 A而不属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A与 B 的差集，记以 A-B，或 A\B。 设 A，B 是两个集合。则 A 与 B 的环和(对称差),记以 AB, 定义为 AB=(A-B)∪(B-A)。 A 与 B 的对称差还有一个等价的定义，即 AB=(A∪B)-(A∩B)。 设 A，B 是两个集合，则 A 与 B 的环积定义为 A B = AB 1. 分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)， A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。 证明： A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 先证 A∩ (B∪C) （A∩B）∪（A∩C）。 任取 a∈A∩ (B∪C)， 则 a∈A 并且 a∈ B∪C。 由 a∈ B∪C 知，a∈B 或 a∈ C。 若 a∈B，则 a∈A∩B； 若 a∈C，则 a∈A∩C
因此,a∈A∩B或a∈A∩C 即a∈(A∩B)∪(A∩C 再证A∩B)∪(A∩CcA∩(BUC)。 任取a∈(A∩B∪(A∩C 则a∈A∩B或a∈A∩C 若a∈A∩B,则a∈A且a∈B 若a∈A∩C,则a∈A且a∈C 总之,a∈A,且a∈B或a∈C, 即a∈A且a∈BUC, 亦即a∈An(BUC) 综上:(A∩B)nA∩C=A∩(BUC 将(a1a2;…a称为有序n元组,其中,a1是其第一个元素,a2是其第二个素 an是其第n个元素 对于有序n元组,当n=2时,将其称作有序对,也称作序偶,或有序二元组 设A,B是两个集合,所有有序对(x,y)做成的集合(其中x∈A,ye∈B),称为A,B的 笛卡儿积(直乘积),记以AxB。不满足交换律和结合律 AxB=(x,y)∈A且y∈B
因此，a∈A∩B 或 a∈A∩C, 即 a∈(A∩B)∪(A∩C)。 再证(A∩B) ∪(A∩C) A∩ (B∪C) 。 任取 a∈(A∩B)∪(A∩C), 则 a∈A∩B 或 a∈A∩C。 若 a∈A∩B，则 a∈A 且 a∈ B； 若 a∈A∩C，则 a∈A 且 a∈ C。 总之，a∈A，且 a∈B 或 a∈C， 即 a∈A 且 a∈ B∪C， 亦即 a∈A∩(B∪C)。 综上： (A∩B)∩(A∩C)=A∩(B∪C)。 将(a1,a2 ,… ,an)称为有序 n 元组，其中，a1是其第一个元素， a2是其第二个素，… ， an是其第 n 个元素 对于有序 n 元组，当 n=2 时，将其称作有序对，也称作序偶，或有序二元组 设 A，B 是两个集合，所有有序对(x, y)做成的集合(其中 xA，yB)，称为 A，B 的 笛卡儿积(直乘积)，记以 AB。不满足交换律和结合律 AB={(x，y)xA 且 yB}
方法1利用定义来证明集合的包含关系。 要证明AcB, 首先任取x∈A,再演绎地证出x∈B成立。 特别,当A是无限集时,因为不能对ⅹ∈A,逐一地证明ⅹ∈B成立,所以证明时 x是任取的”就特别重要。 >方法2设法找到一个集合T满足AcT且T≌B由包含关系的传递性有AcB. 方法3利用AcB的等价定义即A∪B=BA⌒B=A或A-B=来证 例.证明AcC且BcC当且仅当 AuBcC 证明必要性 (AUBC=(AUBUCUC=(AUC)(BUC)=CUC=C, 所以ABcC 充分性 AUC(A∪CB=(A∪BC=C,CcAC 所以AUC=C,故AcC 同理可证BcC 方法5反证法 例证明若A∩CcB⌒C且A-CcB-C,则AB 证明:若不然,则有x∈A且xEB. 若x∈C,则x∈A∩C但xB∩C,与ACB∩C矛盾 若x∈C,则x∈A-C但xB-C,与A-CcB-C矛盾 因此,AcB 证明集合相等的常用方法 方法1若A,B是有限集,证明A=B可通过逐一比较两集合所有元素均一—对 应相等,若A,B是无限集,通过证明集合包含关系的方法证AcB,BA 方法2反证法。 方法3利用集合的基本算律以及已证明的集合等式,通过相等变换将待证明的 等式左(右)边的集合化到右(左)边的集合,或者两边同时相等变换到同一 集合 例设A,B,C是三个集合
➢ 方法 1 利用定义来证明集合的包含关系。 要证明 AB， 首先任取 xA，再演绎地证出 xB 成立。 特别，当 A 是无限集时，因为不能对 x A，逐一地证明 xB 成立，所以证明时 “x 是任取的”就特别重要。 ➢ 方法 2 设法找到一个集合 T,满足 AT 且 TB,由包含关系的传递性有 AB. ➢ 方法 3 利用 AB 的等价定义,即 AB=B,AB=A 或 A-B=来证. 例. 证明 AC 且 BC 当且仅当 ABC. 证明:必要性. (AB)C=(AB)CC=(AC)(BC)=CC=C, 所以 ABC. 充分性. AC(AC)B=(AB)C=C，CAC， 所以 AC=C，故 AC. 同理可证 BC. ➢ 方法 5 反证法 ➢ 例. 证明若 ACBC 且 A-CB-C，则 AB. 证明：若不然，则有 xA 且 xB. 若 xC ,则 xAC 但 xBC，与 ACBC 矛盾； 若 xC，则 xA–C 但 xB-C，与 A-CB-C 矛盾。 因此，AB. 证明集合相等的常用方法 ➢ 方法 1 若 A，B 是有限集，证明 A=B 可通过逐一比较两集合所有元素均一一对 应相等，若 A，B 是无限集，通过证明集合包含关系的方法证 A B，B A 即 可。 ➢ 方法 2 反证法。 ➢ 方法 3 利用集合的基本算律以及已证明的集合等式，通过相等变换将待证明的 等式左（右）边的集合化到右（左）边的集合，或者两边同时相等变换到同一 集合。 例 设 A，B，C 是三个集合
已知A∩B=A∩C,AUB=AC,求证B=C 用方法2:使用反证法。 假设B≠C,则必存在x,满足x∈B,且xgC, 或者XgB,且x∈C。不妨设x∈B,且xgC ①若X∈A,则x∈A∩B,但xgA∩C 与A∩B=A∩C矛盾。 ②2若xgA,则x∈A∪B,但 XE AUC 与AUB=A∪C矛盾。 所以原假设不对,B=C 用方法3:利用已知以及集合运算的交换律、分配律与吸收律,有 B=B(A∪B)=B⌒(AUC=(B^A(B∩C =(C∩A)U(B∩C=C⌒(AUB)=C⌒(AuC C
已知 AB=AC， AB=AC，求证 B=C。 用方法 2：使用反证法。 假设 B≠C，则必存在 x，满足 x B，且 x C， 或者 x B，且 x C。不妨设 x B，且 x C， ① 若 x A，则 x AB，但 x AC， 与 AB=AC 矛盾。 ② 若 x A，则 x AB，但 x AC， 与 AB=AC 矛盾。 所以原假设不对，B=C。 用方法 3：利用已知以及集合运算的交换律、分配律与吸收律，有 B = B(AB) = B(AC)= (BA)(BC) = (CA) (BC)= C(AB)= C(AC) = C ➢
