备课资讯2集合的解题方法与技 巧 集合是学习数学的基础和工具,是 高考的必考内容之一,由于集合知 识的抽象性,给相关问题的解决 带来一定的困难,利用定义法、具 体化方法、直观 化方法和简单化方法可以帮您走出 困境 利用定义法 概念、定义是构建数学大厦的基石, 些数学定义 本身就是方法,利用定义可以顺利 解题
备课资讯2 集合的解题方法与技 巧 集合是学习数学的基础和工具，是 高考的必考内容之一，由于集合知 识的抽象性，给相关问题的解决 带来一定的困难，利用定义法、具 体化方法、直观 化方法和简单化方法可以帮您走出 困境． 一、利用定义法 概念、定义是构建数学大厦的基石， 一些数学定义 本身就是方法，利用定义可以顺利 解题．
【例1】a,b∈R,集合{1,a+b,a}=10,,b a 则b-a等于 B.-1 C.2 D.-2 解析利用集合相等的定义,后面集合中含有元 素0,前面集合中也必含有元素0,且只可能a+b 或a为0.注意后面集合中含有元素,故a≠0,只 a 能a+b=0,即b=-a.集合变成了{1,0,a}={0, 1,-a},显然a=-1,b=1,b-a=2,选C 点评解集合相等问题,要从特殊元素入手
解析 利用集合相等的定义，后面集合中含有元 素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a＋b 或a为0.注意后面集合中含有元素 b a ，故a≠0，只 能a＋b＝0，即b＝－a.集合变成了{1,0，a}＝{0， －1，－a}，显然a＝－1，b＝1，b－a＝2，选C. 点评 解集合相等问题，要从特殊元素入手． 【例1】 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ 0， b a ，b ， 则b－a等于 ( ) A. 1 B．－1 C．2 D．－2
【例2】设P和Q是两个集合,定义集合P-Q= x|x∈P,且xQ},如果P={x|1ogx(1},Q={x|x 2|(1},那么P-Q等于 A.{x|0<x〈1} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x2} D.{x|2≤x3} 解析先将集合P、Q简单化,得P={x|0x<2}, Q={x1<x<3}.由定义PQ={x|0x≤1},故选B 点评集合中新定义问题很多,主要考查理解、应变 能力,解这类问题关键在于通过阅读,准确理解 新定义及运算法则
【例 2】 设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P－Q ＝ {x|x∈P，且 x∉Q }，如果 P＝{x|log2x<1}，Q ＝{x||x －2|<1}，那么 P－Q 等于 ( ) A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1} C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3} 解析 先将集合 P、Q 简单化，得 P＝{x|0<x<2}， Q ＝{x|1<x<3}．由定义 P－Q ＝{x|0<x≤1}，故选 B. 点评 集合中新定义问题很多，主要考查理解、应变 能力，解这类问题关键在于通过阅读，准确理解 新定义及运算法则．
二、具体化方法 将抽象问题具体化,更容易看清问题的本质 【例3】已知全集IN,集合A={x|x=2n, n∈N},B={x|x=4n,n∈N},则( A. AUB B I=CA)UB C.I=AU(CB) D.I(A)∪(CB) 解析用列举法有A={2,4,6,8,…},B= 4,8,12,16,…},∴CB=(1,2,3,5,6,7,9,…}, 选C 点评具体化使问题一目了然
二、具体化方法 将抽象问题具体化，更容易看清问题的本质． 【例 3】 已知全集 I＝N *，集合 A＝{x|x＝2n， n∈N* }，B＝{x|x＝4n，n∈N * }，则 ( ) A．I＝A∪B B．I＝(∁IA)∪B C．I＝A∪(∁IB) D．I＝(∁IA)∪(∁IB) 解析 用列举法有 A＝{2,4,6,8，…}，B＝ {4,8,12,16，…}，∴∁IB＝{1,2,3,5,6,7,9，…}， 选 C. 点评 具体化使问题一目了然．
【例4】设集合S={A,A1,A2,A3},在S上定义 运算为:A1A=Ak,其中k为i被4除的余数, i、子=0,1,2,3,则满足关系式(xx)A2=A0的 x(x∈S)的个数为 B.2 C.3 D.4 解析A表示由被4除的余数ii=0,1,2,3)组成的集 ,若x=Ao,则xx=AoA0=Ao,AA2=A2≠A 若x=A1,则xx=A1A1=A2,A2A2=A.可以验证x A3、A2,分别与x=A1、Ao,情况相同,所以选B. 点评对集合中元素个数较少的计数问题,可以用列 举法逐一考虑,注意不要遗漏
【例4】 设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义 运算 为：Ai Aj＝Ak，其中k为i＋j被4除的余数， i、j＝0,1,2,3，则满足关系式(x x) A2＝A0的 x(x∈S)的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 对集合中元素个数较少的计数问题，可以用列 举法逐一考虑，注意不要遗漏． 解析 Ai表示由被4除的余数i(i＝0,1,2,3)组成的集 合，若x＝A0，则x x＝A 0 A0＝A0，A0 A2＝A2≠A0； 若x＝A1，则x x＝A1 A1＝A2，A2 A2＝A0.可以验证x ＝A3、A2，分别与x＝A1、A0，情况相同，所以选B. 点评
三、直观化方法 把抽象的数学问题与直观、具体的图形结合起 来,使问题由难变易,易于解决. 【例5】设集合A={(x,y)y≥dx-2|, B={(x,y)y≤-|x|+b},A∩B≠0 (1)b的取值范围是 (2)若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则 b的值是
三、直观化方法 把抽象的数学问题与直观、具体的图形结合起 来，使问题由难变易，易于解决． 【例5】 设集合A＝ (x，y)|y≥ 1 2 |x－2| ， B＝{(x，y)|y≤－|x|＋b}，A∩B≠∅. (1)b的取值范围是________； (2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则 b的值是________．
解析(1)A表示由折线y=x-2及其上 方的点为元素组成的集合,B表示由 折线y=-|x|+b及其下方的点为元素组 成的集合,如右图.若A∩B≠,只 需b≥1,即b∈[1,+∞). (2)设x2y=t长9,y=-+,表示直线在y轴上 222 的截距.而长9,知 t大,即一最大 ∵(x,y)∈A∩B, ∴0.,)为A∩B围成图形内在y轴上的最高点 所以b 2 点评以形的直观辅助计算,使计算更有目的性
| 2 | 2 1 y = x − 2 , 2 2 x t t y = − + . 2 9 2 t 的截距．而t≤9，知 t最大，即 最大． ∵(x，y)∈A∩B， ∴ 为A∩B围成图形内在y轴上的最高点， 所以 点评 ) 2 9 (0, . 2 9 b = 以形的直观辅助计算，使计算更有目的性． 解析 (1)A 表示由折线 及其上 方的点为元素组成的集合，B 表示由 折线 y=-|x|+b 及其下方的点为元素组 成的集合，如右图．若 A∩B≠∅，只 需 b≥1，即 b∈[1，+∞)． (2)设 x+2y=t，t≤9， 表示直线在 y 轴上 2 t
四、简单化方法 【例6】设功为全集,S、S2、S3是啪三个非空子集 且S1∪S2∪S3=L,则下面论断正确的是() A.CS∩(S2US)=0 B. Ss ∩ C.CS1∩(CS2∩Cs)=aD.Ss(CS2UCSs) 解析构造S1={1,2},S2={1,3},S3={1,4},I 1,2,3,4},验算知选C 点评命题对一般情况成立,对特殊情况也成立; 对特殊情况不成立,对一般情况必不成立.选取集 合时也要注意,本题若取S1={1},S2={2},S3= 3},I={1,2,3},选项B、C、D都成立,不能得出 结论,还需进一步检验
四、简单化方法 【例6】 设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集 且S1∪S2∪S3＝I，则下面论断正确的是 ( ) A．∁IS1∩(S2∪S3)＝∅ B．S1⊆(∁IS2∩∁IS3) C．∁IS1∩(∁IS2∩∁IS3)＝∅ D．S1⊆(∁IS2∪∁IS3) 命题对一般情况成立，对特殊情况也成立； 对特殊情况不成立，对一般情况必不成立．选取集 合时也要注意，本题若取S1＝{1}，S2＝{2}，S3＝ {3}，I＝{1,2,3}，选项B、C、D都成立，不能得出 结论，还需进一步检验． 解析 构造S1＝{1,2}，S2＝{1,3}，S3＝{1,4}，I＝ {1,2,3,4}，验算知选C. 点评
【例7】已知集合P={x4≤x≤5,x∈R,Q= x|k+1≤x≤2k-1,x∈R},求当P∩Q≠Q时,实 数k的取值范围 解析若P∩Q=Q时,则QsP 当Q=时,k+1>2k-1,解得k<2; k+1≥4, 当Q≠时,则应有2k-1≤5, 解得k=3. k+1≤2k-1, 所以当k<2或k=3时,P∩Q=Q 故当k≥2且k≠3时,P∩Q≠Q
【例7】 已知集合P＝{x|4≤x≤5，x∈R}，Q ＝ {x|k＋1≤x≤2k－1，x∈R}，求当P∩Q ≠Q 时，实 数k的取值范围． 解析 若 P∩Q ＝Q 时，则 Q ⊆P. 当 Q ＝∅时，k＋1>2k－1，解得 k<2； 当 Q ≠∅时，则应有 k＋1≥4， 2k－1≤5， k＋1≤2k－1， 解得 k＝3. 所以当 k<2 或 k＝3 时，P∩Q ＝Q . 故当 k≥2 且 k≠3 时，P∩Q ≠Q
点评P∩Q≠Q的情况较复杂,若正面求解,需要 列举出来分别讨论,然后再求并集,运算量 大,且不容易考虑周全.注意到“≠”的反面比较 单纯,从问题的反面去思考探究,就容易得到正面 结论,这其实就是补集思想的应用. 返
点评 P∩Q ≠Q 的情况较复杂，若正面求解，需要 一一列举出来分别讨论，然后再求并集，运算量 大，且不容易考虑周全．注意到“≠”的反面比较 单纯，从问题的反面去思考探究，就容易得到正面 结论，这其实就是补集思想的应用. 返回